四川省棠湖中学2022届高三数学下学期第二次月考试题文202206140280

2022年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试
数学〔文科〕
一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1.复数2
(2)z i =-的虚部为〔 〕
A ．-4
B ．4i
C ．4i -
D ．3
2.集合22(,)145x y A x y ⎧⎫⎪⎪
=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，2{|}B y y x ==，那么A B 中元素的个数为〔 〕
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3.假设,x y 满足约束条件1
122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，那么目标函数2z x y =+的最小值为〔 〕
A ．2
B ．1 C. -2 D ．-1
4.“搜索指数〞是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为根底所得到的统计指标.“搜索指数〞越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.以下图是2022年9月到2022年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图. 根据该走势图，以下结论正确的选项是〔 〕
A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
5.一个简单几何体的三视图如下图，其中正视图是等腰直角三角形， 侧视图是边长为2的等边三角形，那么该几何体的体积等于〔 〕 A ．
33 B ．233
C. 3 D ．2 6.我国古代数学名著?增删算法统宗?中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？〞意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？〔注3π≈〕〔 〕
A ．125.77
B ．864
C ．123.23
D ．369.69 7.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，那么输出的S =〔 〕 A ．7 B ．20 C.22 D ．54 8.在ABC ∆中，,""B A >是B A sin sin >的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．假设3)4
tan(=-π
α，那么=-αα2cos 32sin =〔 〕
A ．
57 B ．57- C ．4- D ．5
8- 10.椭圆C ：22
143
x y +=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 在C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是〔 〕
A ．33,84
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11．1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2
244g x x ax a =-++的零点，
且满足121x x -≤，那么实数a 的最小值是〔 〕
A ．1-
B ．2-
C ．222-
D ．122- 12．当[]1.0∈x 时，函数2)1(m x y -
=的图象与m
x m
y 1
1
2+
=的图象有且只有一个交点，那么正实数m 的取值范围是〔 〕
A ．〔0，1]∪[3，+∞〕
B ．(][)+∞,321,0
C ．(][)
+∞,322,0
D ．(]
[)+∞,32,0
第二卷〔共90分〕
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13.向量a ，b 满足a b ⊥，||2a =，|2|23a b +=，那么||b = ．
14．偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()45f =，假设()215f x +<，那么x 的取值范围是 ．
15．设抛物线2
8y x =的焦点为,F M 是抛物线上一点，FM 的延长线与y 轴相交于点N ，假设2NM MF =，那么FN = ． 16．设函数()2
32(0)2
f x x ax a =
->与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，那么实数b 的最大值为 .
三、解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤；17～21每题12分，选做题10分，共70分〕
17．〔本小题总分值12分〕
数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S a =，(1,12)n
b =-满足条件a ⊥b
〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设n n
n
c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图.该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x 〔单位:盒，
100200x ≤≤〕表示这个开学季内的市场需求量，y 〔单位:元〕表示这个开学季内经销该
产品的利润.
〔Ⅰ〕根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数； 〔Ⅱ〕将y 表示为x 的函数；
〔III 〕根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，
2AB =，PD =O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．
〔Ⅰ〕证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
〔Ⅱ〕假设//PD 平面EAC ，求三棱锥P EAD -的体积． 20．〔本小题总分值12分〕
设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率12
e =，左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线交
椭圆于H E ,两点，假设直线EH 垂直于x 轴时，有2
3
=EH 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕设直线l ：1x =-上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B 〔B 异于
点A 〕，直线BQ 与x 轴相交于点D .假设APD △AP 的方程. 21．函数()()()2
1ln 122
f x x ax a x a =-+
+--∈R . 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间； 〔Ⅱ〕假设0a >，求证：()32f x a
≥-
. 请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t
y t =-⎧⎨
=-+⎩
〔t 为参数〕，在以直角坐标系的
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θ
ρθ
=.
〔Ⅰ〕求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
〔Ⅱ〕假设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲
定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． 〔Ⅰ〕求a 的值；
〔Ⅱ〕假设p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2
2
2
3p q r ++≥．
2022年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试
数学〔文科〕答案
一．选择题
二．填空题
13.2 14.),23()25,(+∞--∞ 15.10 16.
2
21e 17．解：〔1〕∵a ⊥b ,∴221
-=+n n S ,
当2≥n 时，n
n n n S S a 21=-=-， 当1=n 时，211==S a 满足上式，∴n
n a 2
=
〔2〕2n n n c =
1211212222
n n n n n T --=++++两边同乘12，
得231112122222n n n n n
T +-=++++，两式相减得： 211
11112
1222222n n n n n n T +++=++-=-
， ()2
22
n n n T n N ++∴=-∈．
18．解：〔1〕需求量为[)100,120的频率0.005200.1=⨯=， 需求量为[)120,140的频率0.01200.2=⨯=， 需求量为[)140,160的频率0.015200.3=⨯=， 需求量为[)160,180的频率0.0125200.25=⨯=， 需求量为[)180,200的频率0.0075200.15=⨯=.
那么平均数1100.11300.21500.31700.251900.15153x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 〔2〕因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，
所以当100160x ≤≤时，()3010160401600y x x x =-⨯-=-， 当160200x <≤时，160304800y =⨯=，所以401600,100160
4800,160200
x x y x -≤≤⎧=⎨
<≤⎩
〔3〕因为利润不少于4000元，解得4016004000x -≥，解得140x ≥. 所以由〔1〕知利润不少于4000元的概率10.30.7p =-=. 19.〔1〕证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC PD ⊥．
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥． 又∵PD
BD D =，∴AC ⊥平面PBD ，
而AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBD ． 〔2〕连接OE ，
∵//PD 平面EAC ，平面EAC
平面PBD OE =，∴//PD OE ．
∵O 是BD 的中点，∴E 是PB 的中点， 取AD 的中点H ，连接BH ，
∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，∴BH AD ⊥，又BH PD ⊥，AD PD D =，
∴BH ⊥平面PAD ，且2
BH AB =
=，
故111112223622
P EAD E PAD B PAD PAD V V V S BH ---∆==
=⨯⨯⨯=⨯⨯=． 20.解：〔1〕设(,0)(0)F c c ->，因为12e =所以有2a c =，又由2
3=EH 得23
22=a b ， 且2
2
2
c b a +=，得4
3,12
==b a ，因此椭圆的方程为：13422
=+y x …4分 〔2〕设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点
2(1,)P m --，故2(1,)Q m -.将1x my =+与22
413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，
解得0y =，或2634
m
y m -=
+.由点B 异于点A ，
可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2
(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为
22262342
()(1)(1)()03434m m x y m m m m
--+-+-+-=++，令0y =， 解得2
22332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+. 所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.
又因为APD △22
162232||2
m m m ⨯⨯=+，
整理得2
3|20m m -+=，解得||m =
，所以m =.
所以，直线AP 的方程为330x +-=，或330x --=.
21．解：〔Ⅰ〕x
x ax x x a ax a ax x x f )
1)(1(1)1()1(1)(2+-=
--+=-++-='． ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，那么)(x f 在)0(∞+，
上单调递减； ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>
，由0)(<'x f 解得a
x 1
0<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1
(∞+，
a
上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，
；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1
(∞+，a
．
(Ⅱ) 由〔Ⅰ〕知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1
(∞+，
a 上单调递增， 那么121
ln )1()(min --
==a
a a f x f ． 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11
-a ≥0，
即证a ln ≥a
11-
构造函数11
ln )(-+
=a a a μ，那么22111)(a
a a a a -=-='μ，
由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，
即)(a μ在)10(，
上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 011
1
1ln )1()(min =-+==μμa ，
即11
ln -+
a
a ≥0成立． 从而)(x f ≥a
23
-
成立． 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：〔Ⅰ〕由曲线C 的极坐标方程为
22sin cos θ
ρθ=
，得22
cos 2sin ρθρθ=，
所以曲线C 的直角坐标方程是22x y =．
由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨
=-+⎩，
，
〔t 为参数〕，得直线l 的普通方程10x y +-=．
〔Ⅱ〕由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩，，〔t 为参数〕
，得21x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩，，〔t 为参数〕，
代入22x y =
，得2120t -+=，
设A
B ，两点对应的参数分别为12t t ，，
那么121212t t t t +==，
所以
12||||AB t t =-=，
因为原点到直线10x y +-=
的距离
d =
=，
所以
11||22AOB S AB d =
=⨯=△
23.解：〔1〕因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()f x 的最小值等于3，即3a =．
〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为p ，q ，r 是正数，
∴2
2
2
2
2
2
2
2
()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，
即222
3p q r ++≥．。