四川省成都市四川天府新区综合高级中学2024届高三一诊模拟2数学(理)试题

一、单选题
二、多选题
1. 在四面体
中，
，则四面体
外接球表面积是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2.
要得到函数
的图像，只需将
的图像上所有的点（ ）
A
．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C
．向左平移个单位长度
D ．向右平移个单位长度
3. 已知平面向量
的夹角为
，若
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4. 已知向量
，
，
，则与的夹角为（ ）
A
．B
．C
．D
．
5. 如图，已知椭圆
和双曲线具有相同的焦点
，，A 、B 、C 、D
是它们的公共点，且都在圆
上，直线与x 轴交于点P ，直线与双曲线
交于点，记直线
、
的斜率分别为
、
，若椭圆
的离心率为
，则
的值为
（
）
A ．2B
．C
．
D ．4
6. 在
中，已知
，
，
，若
，且
，
，则
在
上的投影向量
为
（为与
同向的单位向量），则m 的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．D
．
7. 已知空间中，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．
，B ．
，C ．
，
，
与异面
D ．
，
，
8. 已知函数
，若，则
（ ）
A ．4
B ．2
C
．
D ．0
9. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A ．表面积为的球体B
．体积为的正四面体C ．体积为的圆柱体D ．底面直径为，高为
的圆锥
10. 设
，
是双曲线
的左、右焦点，O
是坐标原点，过作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若
四川省成都市四川天府新区综合高级中学2024届高三一诊模拟2数学（理）试题
三、填空题
四、填空题
五、填空题
六、解答题
七、解答题
，则下列说法正确的是（ ）
A
．
B
．双曲线的离心率为C ．点P
在直线
上
D
．双曲线的渐近线方程为
11.
已知复数
，
，下列说法正确的是（ ）
A ．若
纯虚数，则B
．若为实数，则
，C ．若，则
或D ．若
，则m
的取值范围是
12.
在平面直角坐标系
中，圆关于直线对称的圆为
，则的方程为______．
13. 某圆柱的高为2，底面周长为16
，其三视图如图，圆柱表面上的点
在正（主）视图上的对应点为，圆柱表面上的点在侧（左）视图
上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从
到的路径中，最短路径的长度为__________
．
14.
已知函数
，则
______．
15.
已知二项式
的展开式中含
的项的系数为15，则______，展开式中各项系数和等于______.
16. 用
表示不超过的最大整数，已知数列满足：
，，
.
若
，
，则
________
；若
，则
________.
17.
已知数列
的前
项和为，且
，记，则
________；若数列
满足，
则
的最小值是________．
18. 化简求值：
（1
）（2
）已知
，
，求
的值；
19. 每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代人的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区
间
的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：
八、解答题
九、解答题
(1)根据上表，在给定坐标系中画出这500
名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；
(2)
填写下面
列联表，并根据
列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60
岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；
，其中．
20. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，
随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况频数
“一个”6“一些”4“一穷”2“一条”
2
其他
假设用频率估计概率.
(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为
，求的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写
中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
21. 长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料，新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长
绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上，新疆某农科所为了研究不同土壤环境下长绒棉的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植，在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到下表（单位：份）：
十、解答题
马克
隆值甲地247101485乙地
7
9
10
11
7
4
2
棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，根据现行国家标准规定，马克隆值可分为，，三级，
级品质最好，级为标准级，级品质最差，其分类标准如下表所示：
马克隆值
或
或
级别
(1)现从甲地这50
份样本的马克隆值为级或级的棉花中，利用分层抽样的方法，随机抽取6份，再从这6份中随机抽取3份作其它质量指标
检测，求这3
份中取到级品1份，级品2份的概率；
(2)完成下面列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关？
级或
级
级合计
甲地乙地合计
附：
0.050
0.0100.001k
3.841
6.635
10.828
22. 已知函数，
.
(1)
当
时，求函数
的极小值；
(2)若存在与函数，
的图象都相切的直线，求实数的取值范围.。