(完整)安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析

(完整)安徽普高专升本统考《高等数学》
试题答案解析
一、选择题
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)在x = 0处的极值
为（）
A. 0
B. -3
C. 3
D. 无极值
解析：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，得
x = ±1。

然后求二阶导数f''(x) = 6x，可知f''(0) = 0，
f''(±1) = ±6。

因为f''(0) = 0，不能判断极值类型；而
f''(1) > 0，f''(-1) < 0，所以f(x)在x = 0处取得极小值，且极小值为f(0) = 0。

故选A。

二、填空题
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)的驻点。

解析：求导数f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，得x =
±1。

所以f(x)的驻点为x = ±1。

三、解答题
1. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 3，求f(x)的单调区间。

解析：首先求导数f'(x) = 2x + 2。

令f'(x) > 0，得
x > -1；令f'(x) < 0，得x < -1。

因此，f(x)在区间(-∞, -1)上单调递减，在区间(-1, +∞)上单调递增。

2. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，求f(x)在x = 0处
的泰勒展开式。

解析：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x，f''(x) = 6x - 6，f'''(x) = 6。

所以f(0) = 4，f'(0) = 0，f''(0) = -6，f'''(0) = 6。

根据泰勒公式，f(x)在x = 0处的泰勒展开式为：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + o(x^3)
= 4 - 6x^2/2! + 6x^3/3! + o(x^3)
= 4 - 3x^2 + x^3 + o(x^3)
3. 设函数f(x) = e^x - 2x，求f(x)的极值。

解析：首先求导数f'(x) = e^x - 2。

令f'(x) = 0，得
x = ln2。

然后求二阶导数f''(x) = e^x，可知f''(ln2) > 0。

所以f(x)在x = ln2处取得极小值，且极小值为f(ln2) =
e^ln2 - 2ln2 = 2 - 2ln2。

4. 设函数f(x) = x^2e^x，求f(x)的极值。

解析：首先求导数f'(x) = 2xe^x + x^2e^x。

令f'(x) = 0，得x = 0。

然后求二阶导数f''(x) = 2e^x + 4xe^x +
x^2e^x，可知f''(0) = 2 > 0。

所以f(x)在x = 0处取得极
小值，且极小值为f(0) = 0。

5. 设函数f(x) = sinx + cosx，求f(x)的周期。

解析：因为sinx和cosx都是周期函数，且周期为2π，所以f(x) = sinx + cosx也是周期函数，周期为2π。

综上所述，安徽普通高等学校专升本统考《高等数学》试题涉及函数的性质、导数、泰勒展开、极值等多个方面的知识点。

通过对试题的解析，可以帮助考生更好地理解和掌握高等数学的基本概念和求解方法。

在复习过程中，考生应注重基础知识的学习，加强练习，提高解题能力。