河北辛集中学2019届高三文科数学上学期第四次模拟试卷附答案解析

8
故答案为： ． 15．
依题意，设直线 的方程为
，
将点 代入，解得
，故直线
，
联立
，整理得
，
所以
. 故答案为：
16．27.如图所示，因为 平面 ，所以
，
因为
，
，所以 平面 ，所以
设 的中点为 ，则
，所以 为三棱锥
，
，
，
外接球的球心，
由题知
，解得 ，
在
中，
，所以
，在
中，
,
，所以
，在
中，
，
所以三棱锥
的表面积为
先把复数 的分母实数化， 3．D
，根据共轭复数的概念易得答案 C。
由数列满足
，根据等差中项公式，可得数列 为等差数列，
故
，即 ，又 ，所以
，
则
，故选 D.
4．B
由题意，设全班人数为 ，由扇形统计图可知，一等奖占 ，二等奖占 ，三等奖占 ，
参与奖占 .获得参与奖的人数最多，故 A 正确；各奖项的费用：一等奖
，所以 或
所以存在点 且坐标为 或
．
使得无论非零实数 怎么变化，总有
21．（1）
；（2）见解析
， 为直角.
（1）依题意，
，故
又
，故所求切线方程为
， .
（2）依题意
.
令
，则
，且当
时，
当
所以函数 在 单调递减，在
单调递增，
当 时， 函数 在区间
恒成立，
.
单调递增， 无极值点；
时，
， ，
当 时，
，
故存在
和
.
故答案为：27.
17．（1） ；（2）
(1)由题意，根据三角形的面积公式，可得
即
，又
，
．
(2）由余弦定理可得
，即
，解得
，
， 9
又
，
，则
，解得 .
18．（1）见解析；（2）
（1)由题意知
，
,且
所以四边形 是正方形，连接 ，所以
，
又因为
，
，所以四边形 是平行四边形，
所以
，则
.
因为平面
平面
，
，平面
平面
“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”
是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，
即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的 的值为 ，
输出的 的值为（ ）.
A．
B．
C．
8．已知由射线
则
（ ）.
4.
本题选择 A 选项.
6．B
由题意，根据给定的三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖出两个圆锥体，
如图所示.
由图中知圆锥的半径为 ，高为 ，
该几何体的体积为
，故选 B.
7．B 由题意，执行循环结构的程序框图，可得：
第 1 次循环：
，不满足判断条件；
第 2 次循环：
，不满足判断条件；
第 3 次循环： 故选 B． 8．A
逆时针旋转到射线
A．
B．
C．
D． ≤0)的位置，两条射线所成的角为 ，
D．
2
2x y 2 0 9．已知实数 x, y 满足不等式组{ x y 1 0 ，则 z x 3 y 的最大值为（ ）
2 y0
A．0 B．3 C．9 D．11
10．已知数列 的前 项和为
，将该数列按下列格式（第 行有 个数）排成一个
__________．
15．已知直线 ， 两点，则
16．已知三棱锥
，抛物线
，若过点 与直线 垂直的直线 与抛物线 交于
__________． 的各顶点都在球面上，
, 平面 ,
，
,若该球的
体积为
，则三棱锥
的表面积为__________．
三、解答题
3
17．已知在
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，边 上的高为
7
又 f（x）＝f（ x），
∴f（x）的图象的对称轴为 x ，
∴2• θ＝kπ ，k∈Z，又
，
∴θ ，f（x）＝sin（2x ）．
将 f（x）的图象向左平移 个单位得 G（x）＝sin（2x
）＝cos2x 的图象，
令 2kπ≤2x≤2kπ+π，求得 kπ≤x≤kπ ，则 G（x）＝cos2x 的单调递减区间是[kπ，
，满足判断条件，输出结果
，
由题意，设 射线
的倾斜角为 ，则
，
，
的倾斜角为 ，
，
，
6
所以
，
故选 A.
9．C
2x y 2 0 【解析】{ x y 1 0
y0
1 \ *GB3① 2 \ *GB3② 3 \ *GB3③
{
1 2
\ *GB3① \ *GB3②
3，4 z
里，每天租用该款汽车上、下班各一次，由于堵车及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间 (分
钟）是一个随机变量，现统计了 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下
表所示：
时间 （分 钟）
频数
（1）写出小李上班一次租车费用 （元）与用车时间 (分钟）的函数关系式； （2）根据上面表格估计小李平均每次租车费用； （3）“众秦云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”，规则为每个月收取租金 元，若小李每个月上班时间平均按 天计算，在不计电费的情况下，请你为小李选择一种省钱 的租车方式.
，
（1）求角 的大小；
（2）若
的周长为
，求边 的长。
18．已知四棱锥
中，四边形
为梯形，
,平面
， 为线段 的中点，
.
． 平面
（1）证明： 平面 ；
（2）若
，求点 到平面 的距离.
19．某汽车公司推出了共享汽车“Warmcar”，有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车，其中
一种租用方式“分时计费”规则为： 元/分钟 元/公里.已知小李家离上班地点为 公
，
由
，消去 并整理得
，
令点
，
，则
，
所以 23．（1）
或 ；（2）
（1）由题意，不等式
，可得
. ，
可转化为不等式组 所以不等式的解集为
，解得 或 ， 或．
（2）因为
，所以
，
所以不等式
恒成立，即
在
所以
，即
，
又因为 所以
在 是增函数，
，所以
.
上恒成立，
12
的单价分别为：一等奖 元、二等奖 元、三等奖 元、参与奖 元，获奖人数的分配情况如图， 则以下说法不．正．确．的是（ ）.
A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中参与奖的总费用最高 C．购买每件奖品费用的平均数为 元 D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件 数和的二倍
5． F1, F2 分别是双曲线 C :
x2 9

y2 7
1 的左、右焦点，
P 为双曲线 C 右支上一点，且
PF1
8 ，则
F1F2 PF2
（
）
A．4 B．3 C． 2 2 D．2
6．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为 ，则该几何体的体积为（ ）.
1
A．
B．
C．
D．
7．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调。
数阵，则该数阵第 行从左向右第 个数字为（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．已知
（其中
，的最小值为
，将 的图像向左平移 个单位得 ，则 的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数 A．
二、填空题
则函数 B．
的零点个数为（ ）.
C．
D．
13．已知平面向量 ， 之间的夹角为 ，若
，
，则
14．函数 的图象在原点处的切线方程为__________．
20．已知椭圆
的左顶点为 ，离心率为 ，点
在椭圆 上.
4
（1)求椭圆 的方程；
（2）若直线
与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，求证：
在 轴上存在点 ，使得无论非零实数 怎样变化，总有
为直角，并求出点 的坐标.
21．已知函数 （1）若 ，求曲线
. 在点
（2）求函数 的极值点个数.
处的切线方程；
22．已知曲线 的极坐标方程为 （1）求曲线 的直角坐标方程；
，直线 的参数方程为
（2）若直线 经过点
且与曲线 交于 ， 两点，求 .
23．已知函数
.
（1）若 （2）当
，求不等式 时，不等式
的解集； 恒成立，求 的取值范围.
（ 为参数，
）.
1．C ，
2．C
，则
文科数学试题 参考答案
，选 .
一、单选题 1．已知集合 A．
河北辛集中学 2019 届高三上学期第四次模拟 数学（文）试卷
2， ，
，则
B．
C．
D．
2．复数 的共轭复数是（
A．
B．
C．
） D．
3．已知数列 满足
．若
，且 ，则 （ ）.
A．
B．
C．
D．
4．某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品
kπ ]， 12．B 由题意，令
，得
，
令
,由
，得 或 ，
作出函数 的图象，如图所示，
结合函数 故选 B.
的图象可知，
有 个解，
有 个解，故
的零点个数为 ，
13．8
由题意，平面向量 ， 之间的夹角为 ，若
，
，
所以
．
故答案为：8.
14．
由题意，函数 的导数为 所以在原点处的切线方程为
，则在原点处的切线斜率为 ， ，即为 ，
，所以
，
，构成首项为 ，公比为 的等比
由等比数列的前 项和公式知，该数阵第 行从左到右第 个数为数列 的第
所以该数为
，故选 B.
11．A
项，
∵f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0， ），f'（x1）＝f'（x2）＝0，|x2﹣x1|min ，
∴ •T
，
∴ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+θ）．

3
34 2
9
{2 2
\ *GB3② \ *GB3②
1，0 z

1
1
{
1 3
\ *GB3① \ *GB3③
1，0 z
1
1
z x 3 y 的最大值为 9 2
故选 C
10．B
由题意，知
，
当 时， ，当 又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列 ， ， ， ， 数列，
，所以
，
又因为
，则 平面 .
， ，故
平面
（2）
，
，
的面积为 ，
又由（1）知 平面
，
，
又在
中， ，
，
，
由（1）知
，
的面积为
，
设点 到平面 19．(1) 解：(1)
的距离为 ，则 （元）(2)
，即
.
元(3) 分时计费
（元）
(2) 平均每次用车时间为：
（分钟）
平均一次租车费用
（元）
(3) 租用方式为“分时计费”一个月总费用为
，使得
，
当
时，
，
当
时，
，
11
当 时，
，所以函数 在
单调递减，在
和
函数 的极大值点， 为函数 的极小值点. 综上所述，当 时， 无极值点；当 时， 有 个极值点.
22．（1）
；（2）8
单调递增，所以 为
（1)由题意，曲线
，可化为
，
又由
，可得曲线的直角坐标方程为
.
（2）根据条件直线 经过两定点 和 ，所以直线 的方程为
，二
等奖
，三等奖占
，参与奖占
，
5
可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故 B 错误；
平均费用
元，故 C 正确；
一等奖奖品数为 ，二等奖奖品数为
，三等奖奖品数为
，故 D 正确.
故选 B.
5．A
【解析】由双曲线的定义可知，
PF1 PF2
2a 6, PF2
2, F1F2
2c 8, F1F2 PF2
元
因为
<元
所以，对小李租车仅用于上下班的情况，采用“分时计费”更省钱．
.所以
20．（1）
；（2）见解析
（1)依题意，
，所以
①，
又因为点
在椭圆 上，所以
②，
10
由①②解得 ，（Leabharlann ）设，，所以椭圆方程为
.
，则
，不妨令 .
由
可得
，解得
，
，
，所以 所在直线方程为
，
所在直线方程为
，
可得
，同理可得
，
所以
，
，
所以，