福建省龙岩市第二中学2020-2021学年九年级上学期第一次质量检测数学试题

福建省龙岩市第二中学2020-2021学年九年级上学期第一次
质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程2210x x ++=的解是（ ）
A ．121,1x x ==-
B ．121x x ==
C ．121x x ==-
D ．121,2x x =-=
2．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(1,3)-
D ．(1,3)-- 3．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣2＝0（k 为实数）根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．不能确定
4．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）
A ．0
B ．±1
C ．1
D ．1- 5．1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2- B ．3- C ．4 D ．6-
6．已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）
A ．122y y >>
B ．212y y >>
C ．122y y >>
D ．212y y >> 7．已知抛物线24y x bx =++经过()2,n -和()4,n 两点，则n 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．12 D ．4
8．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A ．2(4)6y x =--
B ．2(1)3y x =--
C ．2(2)2
y x =-- D ．2(4)2y x =-- 9．已知二次函数242y x x =-+，关于该函数在﹣1≤x ≤3的取值范围内，下列说法
正确的是（ ）
A ．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B ．有最大值0，有最小值﹣1
C ．有最大值7，有最小值﹣1
D ．有最大值7，有最小值﹣2
10．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
二、填空题
11．若关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．
12．一元二次方程()33x x x -=-的根是________．
13．己知3x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根是________． 14．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．
15．已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y ＝x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为__．
16．若两个连续整数的积是56，则它们的和是_______．
三、解答题
17．解方程：
（1）2280x x --=
（2） 22125x x -+=
（3）2168128x x x -+=-
（4）2244169x x x x -+=++
18．求经过(1,)(054,)1,1()A B ---、、C 三点的抛物线的表达式?
19．已知于x 的一元二次方程28250x x a -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ， （1）求a 的取值范围；
（2）若22121220x x x x +-≤，且a 为整数，求a 的值．
20．已知关于x 的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．
21．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
22．已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？ （2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？
（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2？说明理由．
23．某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y （台）和销售单价x （万元）对应的点(x ，y )在函数y =kx + b 的图象上，如图：
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？
24．已知直线2y x m =+与抛物线2y ax ax b =++有一个公共点()1,0M ，且a b <．
（1）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点．
参考答案
1．C
【分析】
利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
【详解】
∵2210x x ++=，
∴()2
10x +=，
则10x +=，
解得121x x ==-，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．A
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵2(1)3y x =-+，
∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．
3．A
【分析】
利用一元二次方程的根的判别式即可求
【详解】
由根的判别式得，△=b 2-4ac=k 2+8＞0
故有两个不相等的实数根
故选A ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b 2-4ac ）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，上述结论反过来也成立．
4．D
【分析】
根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程22
(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，
∴210a -=，10a -≠，
则a 的值为：1a =-．
故选D ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
5．A
【分析】
先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值
【详解】
将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，
得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
6．A
【分析】
分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【详解】
当x=1时,y1=−(x+1) 2+2=−(1+1) 2+2=−2；
当x=2时,y 1=−(x+1) 2+2=−(2+1) 2+2=−7；
所以122y y >>.
故选A
【点睛】
此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况 7．C
【分析】
将(2)(4)n n -，，，分别代入抛物线2
4y x bx =++中，转化为解关于n 、b 的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．
【详解】
将(2)(4)n n -，，，代入2
4y x bx =++中得， 4241644b n b n -+=⎧⎨++=⎩①②
把①代入②，解得2b =-，
把2b =-代入①得
12n =
212
b n =-⎧∴⎨=⎩ 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．D
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：()2
26534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-， 把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-， 所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．D
【分析】
把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
解：∵y ＝x 2−4x ＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，有最小值−2，
当x ＝−1时，有最大值为y ＝9−2＝7．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
10．C
【解析】
试题分析：设这个小组的人数为x 个，则每个人要送其他（x ﹣1）个人贺卡，则共有（x ﹣1）x 张贺卡，等于72张，由此可列方程．
解：设这个小组有x 人，
则根据题意可列方程为：（x ﹣1）x =72，
解得：x 1=9，x 2=﹣8（舍去）．
故选C ．
11．98
m = 【分析】
根据题意直接列出()2
3420∆=--⨯=m ，求解出m 的值即可解决本题．
【详解】
解：∵2230x x m -+=有两个相等的实数根，
∴()23420∆=--⨯=m ， 解得：98
m =
． 故答案为：98m =． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程中根据根的个数求参数，注意掌握判别式的值与个数的关． 12．13x =，21x =
【分析】
此题应对方程进行变形，提取公因式3x -，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】
解：由原方程，得
()()130x x --=，
∴30x -=或10x -=，
解得，13x =，21x =．
故答案是：13x =，21x =．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟悉相关的解法是解题的关键．
13．23
- 【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系列式计算即可．
【详解】
解：设方程的另一个根是a ，
则32a =-，
解得，23
a =-
， 故答案为：23-． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系为：12b x x a +=-，12c x x a
=是解题的关键． 14．22()1y x =-+
【分析】
利用配方法整理即可得解．
【详解】
解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，
所以22()1y x =-+．
故答案为22()1y x =-+．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：2(y ax bx c =++
0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；
(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．
15．（0，10）．
【分析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征，把A （a−2b ，2−4ab ）代入y ＝x 2＋4x ＋10后整理得（a ＋2）2＋4（b−1）2＝0，根据非负数的性质解得a ＝−2，b ＝1，则点A 的坐标为（−4，10），再计算出抛物线的对称轴，利用轴对称的性质求解．
【详解】
解：把A （a−2b ，2−4ab ）代入y ＝x 2＋4x ＋10得（a−2b ）2＋4（a−2b ）＋10＝2−4ab ， 整理得：a 2＋4a ＋4b 2−8b ＋8＝0，
∴（a ＋2）2＋4（b−1）2＝0，
∴a ＝−2，b ＝1，
则点A 的坐标为（−4，10），
因为抛物线的对称轴为直线x ＝−2，
所以点A （−4，10）关于直线x ＝−2的对称点的坐标为（0，10）．
故答案为（0，10）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象和性质，将点的坐标代入抛物线解析式求出a ，b 的值是解题关键．
16．±15
【分析】
根据56=7×8或56=（-7）×（-8），即可求得答案为：7+8=15或（-7）+（-8）=-15．
【详解】
解：∵56=7×8或56=（-7）×（-8），
∴它们的和为：7+8=15或（-7）+（-8）=-15．
故答案为：±15．
【点睛】
本题考查的是有理数的计算，注意“两数相乘，同号得正”，认识到本题有两种情况是解决本题的关键．
17．（1）1242x x ==-，；（2）1264x x ==-，；（3）14x =±
；（4）12243
x x ==-，． 【分析】
（1）由十字相乘法解题；
（2）完全平方公式、直接开平方法解题；
（3）直接开平方法解题；
（4）分组分解法、直接开平方法解题．
【详解】
（1）2280x x --= (4)(2)0x x -+=
1242x x ∴==-，
（2） 22125x x -+=
2(1)25x -=
15x ∴-=±
1264x x ∴==-，
（3）2168128x x x -+=-
2161x =
14
x ∴=± （4）2244169x x x x -+=++
22(21)(3)x x -=+
21(3)x x ∴-=±+
12243
x x ∴==-， 【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，其中涉及直接开方法、十字相乘法、分组分解法、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．2234y x x =+-
【分析】
设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，将(1,)(054,)1,1()A B ---、、C 代入，求a 、b 、
c 的值，可得结果．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．
由题意可得：541a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩
解得：234a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
∴抛物线的解析式为：2234y x x =+-．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是本题的关键．
19．（1）112a <
；（2）5a =． 【分析】
（1）根据二次项系数非零及根的判别式△0>，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围；
（2）根据一元二次方程28250x x a -++=中有128x x +=，1225x x a =+，将22121220x x x x +-≤化为()21212320x x x x +-≤，然后代入即可得到296
a ≥
，根据（1）可得291162a ≤<，即可得到a 的值． 【详解】
解：（1）关于x 的一元二次方程28250x x a -++=有两个不相等的实数根， ∴()()2841250a ∆=--⨯⨯+>， 解得：112
a <； （2）一元二次方程28250x x a -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，
∴128x x +=，1225x x a =+，
∵22121220x x x x +-≤，即()2
1212320x x x x +-≤， 将128x x +=，1225x x a =+代入()2
1212320x x x x +-≤，
得：()2832520a -+≤， 解之得：296
a ≥，
∴291162
a ≤<， 则5a =．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）m 的值为±2，方程的另一个根是4.
【解析】
试题分析：（1）移项，整理化成方程的一般形式，求出根的判别式，即可判断方程根的情况.（2）把x=1代入原方程，可得出m 的值，再把m 的绝对值代回原方程，解出x 的另一个值.
试题解析：（1）移项整理成一般形式：2560x x m -+-=，
Δ=24b ac -=1+4m ，∵m ≥0，∴1+4m >0，∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，
则（1-3）（1-2）=m ，∴m=±
2,∴2x －5x ＋6=2,（x-4）（x-1）=0,∴x=4,x=1,∴m 的值是±
2，方程的另一个根是4.
考点：解一元二次方程及判断根的情况.
21．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x ，
根据题意得：400（1﹣x ）2=361，
解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22．（1）1；（2）2；（3）不能．
【分析】
（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm 则△PBQ 的面积等于12
×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令
12×2x （5-x ）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】
设t 秒后，则：AP =tcm ，BP =（5﹣t ）cm ；BQ =2tcm ．
（1）S △PBQ =BP ×BQ ，即1(5)242
x x -⨯=，解得：t =1或4．（t =4秒不合题意，舍去） 故：1秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2．
（2）PQ =5，则PQ 2=25=BP 2+BQ 2，即25=（5﹣t ）2+（2t ）2，t =0（舍）或2．
故2秒后，PQ 的长度为5cm ．
（3）令S △PQB =7，即：BP ×2BQ =7，1(5)272
x x -=，整理得：t 2﹣5t +7=0． 由于b 2﹣4ac =25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB 的面积不等于7cm 2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
23．（1）y 与x 的函数关系式是1080y x =-+；（2）该设备的销售单价是4万元．
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出月销售量y 与销售单价x 的函数关系式； （2）设该设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（2x -）万元，销售数量为（1080x -+）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，
解之取其小于5的值即可得出结论．
【详解】
（1）∵点(3，50)和点(4，40)在函数y kx b =+的图象上，
∴350440k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得1080k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 的函数关系式是1080y x =-+；
（2）设该设备的销售单价为x 万元/台，依题意，得(2)(1080)80x x --+=，
整理，得210240x x -+=，
解得1246x x ==，（不合题意，舍去），
∴4x =，
答：该设备的销售单价是4万元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（1）1(2
-，9)4a -；（2）证明见详解． 【分析】
（1）把M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与a 的关系，可用a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y ，可得到关于x 的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
【详解】
解：（1）抛物线2
y ax ax b =++过点(1,0)M ， 0a a b ∴++=，即2b a =-，
222192()24
a y ax ax
b ax ax a a x ∴=++=+-=+-， ∴抛物线顶点Q 的坐标为1
(2-，9)4
a -；
（2）直线2y x m =+经过点(1,0)M ，
021m ∴=⨯+，解得2m =-，
∴直线的解析式是22y x =-
联立直线与抛物线解析式，即有：2222ax ax a x +-=-
可得2
(2)220ax a x a +--+= ∴△()()()22
22422912432a a a a a a =---+=-+=-，
由（1）知2b a =-，且a b <， 0a ∴<，
∴△0>，
∴方程2(2)220ax a x a +--+=有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点；
【点睛】
本题考察的是二次函数的顶点式，根的判别式，一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．。