广丰区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

广丰区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 设函数对一切实数都满足，且方程恰有6个不同的实根，则这()y f x =x (3)(3)f x f x +=-()0f x =6个实根的和为（ ）A. B.
C.
D.181290
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.2． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0
B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0
C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0
D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0
3． 已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，4）
D ．（4，+∞）
4． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）
A ．-2或-1
B ．1或2
C.1±或2 D ．2±或-1
5． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m ），则该工程需挖掘的总土方数为（
）
A ．560m 3
B ．540m 3
C ．520m 3
D ．500m 3
6． 设为虚数单位，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 变量x 、y 满足条件，则（x ﹣2）2+y 2的最小值为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．5
8． 设a=lge ，b=（lge ）2，c=lg
，则（
）
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
9． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（
）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
10．下列函数中，，都有得成立的是（ ）
a ∀∈R ()()1f a f a +-=A ．
B
．())f x x =-2
()cos ()
4
f x x π
=-
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
C ．
D ．2()1
x
f x x =
+11
()212
x f x =
+-11．经过两点
，
的直线的倾斜角为（
）
A ．120°
B ．150°
C ．60°
D ．30°
12．下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S （
）
二、填空题
13．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．
14．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）
15．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．　
16．下列命题：
①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
，k ∈Z}；
②在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；③把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移
个单位长度得到y=3sin2x 的图象；
④函数y=sin （x ﹣
）在[0，π]上是减函数
其中真命题的序号是 ．　
17．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是
．　
18．设α为锐角，若sin （α﹣
）=，则cos2α= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图中，已知点在边上，且，．
ABC ∆D BC 0AD AC ⋅=u u u r u u u r sin BAC ∠=AB =BD =（Ⅰ）求的长；
AD
cos C
（Ⅱ）求．
20．设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；
（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
21．若数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有，求证：对任意正整数n≥2，总有
．
22．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（I）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；
（II）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
23．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R
（1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）
（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分）
（3）g（x）=（1﹣a）x，若使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.
24．
广丰区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A.
【解析】，∴的图象关于直线对称，(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-()f x 3x =∴个实根的和为，故选A.63618⋅=2． 【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0，故选：C ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．　
3． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=﹣log 2x ，∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0，满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点，故选：C
4． 【答案】D 【解析】
试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以
422
2
4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.
考点：等比数列的性质.5． 【答案】A
【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1
），其方程为y=﹣
，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S 1==2
=4，
下部分矩形面积S 2=24，
故挖掘的总土方数为V=（S 1+S 2）h=28×20=560m 3．故选：A ．
【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．　
6． 【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C 7． 【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x ﹣2）2+y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D （2，0）的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小．由
得
，即C （0，1），
此时z=（x ﹣2）2+y 2=4+1=5，故选：D ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．　
8． 【答案】C
【解析】解：∵1＜e ＜3＜
，
∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．
【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．　
9． 【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ；∴A ⊆B ∩C={0，2}
∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素，故最多有4个子集．故选：B ．　
10．【答案】B
【解析】选项A ．，排除；
()()0f a f a +-=
选项B ．，1cos(2)
112()sin 2222
x f x x π
+-=
=+∴，故选B ．
()()1sin 2sin(2)1f a f a x x +-=++-=11．【答案】A
【解析】解：设经过两点，
的直线的倾斜角为θ，
则tan θ=
=﹣
，
∵θ∈[0°，180°），∴θ=120°．故选：A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
12．【答案】D
【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．
二、填空题
13．【答案】　3　．
【解析】解：∵抛物线y 2=4x=2px ，∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+=4，∴x=3，故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．　
14．【答案】　24　
【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，
因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
15．【答案】　必要不充分　
【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，
∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5
∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
16．【答案】　③　．
【解析】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}，故①错误；
②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0，
∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，
∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．
∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；
③、由题意得，y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确；
④、由y=sin（x﹣）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．
17．【答案】　（，+∞）　．
【解析】解：由题意，a ＞1．
故问题等价于a x ＞x （a ＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．构造函数f （x ）=a x ﹣x ，则f ′（x ）=a x lna ﹣1，由f ′（x ）=0，得x=log a （log a e ），
x ＞log a （log a e ）时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；0＜x ＜log a （log a e ），f ′（x ）＜0，f （x ）递减．则x=log a （log a e ）时，函数f （x ）取到最小值，故有﹣log a （log a e ）＞0，解得a ＞．
故答案为：（
，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．　
18．【答案】　﹣　．
【解析】解：∵α为锐角，若sin （α﹣）=，
∴cos （α﹣）=
，
∴sin
=
[sin （α﹣
）+cos （α﹣
）]=
，
∴cos2α=1﹣2sin 2α=﹣．
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为，所以,AD AC ⊥sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫
∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭
所以 3分cos BAD ∠=
在中，由余弦定理可知，ABD ∆222
2cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠即,解之得或,
28150AD AD -+=5AD =3AD =由于,所以．…… 6分
AB AD >3AD =
（Ⅱ）在中，由可知 …… 7分ABD ∆cos BAD ∠=
1
sin 3
BAD ∠= 由正弦定理可知，,sin sin BD AB
BAD ADB
=
∠∠
所以…… 9分sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==
因为，即…… 12分
2
ADB DAC C C π
∠=∠+∠=+∠cos C =20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ） f'（x ）=ae x （x+2），g'（x ）=2x+b ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a ，g'（0）=b ，
∴2a=b ，f （0）=a=g （0）=2，∴a=2，b=4，
∴f （x ）=2e x （x+1），g （x ）=x 2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ） f'（x ）=2e x （x+2），由f'（x ）＞0得x ＞﹣2，由f'（x ）＜0得x ＜﹣2，∴f （x ）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t ＞﹣3，∴t+1＞﹣2
①当﹣3＜t ＜﹣2时，f （x ）在[t ，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当t ≥﹣2时，f （x ）在[t ，t+1]单调递增，∴；
∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）令F （x ）=kf （x ）﹣g （x ）=2ke x （x+1）﹣x 2﹣4x ﹣2，由题意当x ≥﹣2，F （x ）min ≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵∀x ≥﹣2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，∴F （0）=2k ﹣2≥0，∴k ≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣F'（x ）=2ke x （x+1）+2ke x ﹣2x ﹣4=2（x+2）（ke x ﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x ≥﹣2，由F'（x ）＞0得，∴；由F'（x ）＜0得
∴F （x ）在单调递减，在
单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
①当
，即k ＞e 2时，F （x ）在[﹣2，+∞）单调递增，
，不满足F （x ）min ≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当，即k=e 2时，由①知，，满足F （x ）min ≥0．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当
，即1≤k ＜e 2时，F （x ）在
单调递减，在
单调递增
，满足F （x ）min ≥0．
综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
==（n+1）（n﹣1）．
∴当n≥2时，==．
∴=+…+=＜=，
又=．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．
所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，
．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ0123
P
．
23．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），
∴…（2分）
，解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a＜e时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）
24．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，），
X=0，1，2，3；
P（X=0）=×（）3=；
P（X=1）=×（）2×=；
P（X=2）=×（）×（）2=；
P（X=3）=×（）3=，
∴X的分布列为：
X0123
P
即E（X）=0×=．
【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力。