马鞍山市2021届高二上学期数学期末试卷

马鞍山市2021届高二上学期数学期末试卷
一、选择题
1．函数1x y e =-在0x =处的切线方程为( ) A ．y x =
B ．y x =-
C ．0y =
D ．1y x =+
2．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是
A ．求a ，b ，c 三数中的最大数
B ．求a ，b ，c 三数中的最小数
C ．将a ，b ，c 按从小到大排列
D ．将a ，b ，c 按从大到小排列
3．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气
温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程A ．68
B ．67
C ．65
D ．64
4．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为（ ）
A ．
4n
m
B ．
4m
n
C ．
2n m
D ．
2m
n
5．一元二次不等式2201920200x x -++>的解集是 ( ) A ．()1,2020-
B ．()2020,1-
C ．()(),12020,-∞-⋃+∞
D ．()(),20201,-∞-⋃+∞
6．在等比数列{}n a 中，若142,16a a ==，则{}n a 的前5项和5S 等于（ ） A.30
B.31
C.62
D.64
7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 8．曲线21x
y xe x =+-在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．31y x =-
B ．31y x =--
C ．31y x =+
D ．21y x =--
9．已知点A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足
PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
（ ）
A.
1
2
1
C.
1
2
1
10．已知*
n N ∈，设215n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）
A.-250
B.250
C.-500
D.500
11．函数()2sin 2x
f x x x x
=
+-的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知()ln f x x x =，若关于x 的方程22
[()](21)()0f x m f x m m --+-=恰好有4个不相等的实数
根，则实数m 的取值范围是（ ） A.1(,)e e
B.(1,)e e -
C.11(,1)e e
+
D.1(1,1)e
+
二、填空题
13．已知抛物线C ：2
16y x =的焦点为F ，准线是l ，点P 是曲线C 上的动点，点P 到准线l 的距离为d ，点()1,6A ，则PA d +的最小值为______．
14．设ABC ∆的内角A ∠、B Ð、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且满足3
cos cos 5
a B
b A
c -=
.则tan tan A
B
=______. 15．若抛物线的焦点与双曲线
的右顶点重合，则p=_________。

16．23x =，24
log 3
y =，则x y +=__________. 三、解答题 17．在中，角的对边分别为
，
为
的面积，若
．
（1）求；
（2）若，求
的值． 18．已知函数
.
（1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当
时，
，求的取值范围.
19．已知曲线的参数方程为为参数）
（1）写出曲线的直角坐标方程； （2）求曲线
上的点到直线
距离的最小值。

20．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
．
(1)证明：；
(2)若面
面
，
，
，
，求
到平面
的距离．
21．如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，，，
，
四边形
为正方形，平面
平面
.
（1）若点是棱的中点，求证：平面；
（2）求直线
与平面所成角的正弦值.
22．如图所示，以2为半径的半圆弧所在平面垂直于矩形
所在平面，
是圆弧
上异于
、
的点.
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大为8时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
13．
14．4
15．4
16．2
三、解答题
17．（1）；（2）
【解析】
【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得的大小，进而求得的值.（2）结合（1）用的余弦定理，化简得出，结合可求出点的值.
【试题解析】
（1）由有，得，
由可得，故．
（2）由余弦定理有：，得，即，可得
，由，解得：．
18．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析：（1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）求出曲线C上的点的坐标为（1+cosθ，sinθ），曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离
d，由此能求出曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离的最小
值．
【详解】
（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．
（2）设曲线C上的点的坐标为（1+cosθ，sinθ），
∴曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离：
d，
∴当sin（）＝1时，曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离的最小值为．
【点睛】
本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接交于，连接.通过证明,证得平面由此证得.（2）先证得是三棱锥的高，利用题目所给条件计算出和，根据等
体积列方程，解方程求得到平面的距离.
【详解】
（1）连接交于，连接.
在菱形中，，是的中点，又因为，所以所以，又，
所以
又，所以.
（2）因为面面，面面，
，，所以，即是三棱锥的高
依题意可得，是等边三角形，所以，，
在等腰，，
经计算得，，
等腰三角形的面积为
设到平面的距离为，则由可得
，解得
所以到平面的距离为
【点睛】
本小题主要考查空间线线垂直的证明，考查空间点到平面距离的求法，属于中档题.
21．（1）见解析；（2）．
【解析】
试题分析：
（1）要证线面平行，一般先证线线平行，由是中点及其他已知可证与平行且相等，从而得平行四边形，也就有线线平行，从而得线面平行；
（2）由已知证得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平行的法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值可得结论．
试题解析：
（1）证明：由已知得//，且.
因为为等腰梯形，所以有//.
因为是棱的中点，所以．
所以//，且，
故四边形为平行四边形,
所以//.
因为平面，平面，
所以//平面．
解：（2）因为四边形为正方形，所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
在△中，因为，，
所以由余弦定理，得，
所以．
在等腰梯形中，可得.
如图，以为原点，以所在直线分别为
轴，建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由
所以，取，则，得．
设直线与平面所成的角为，
则
所以与平面所成的角的正弦值为.
22．（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）由平面平面，可得平面，得，又，从而得到
平面利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由题意可知在圆弧的中点上且在
、上取中点、，以点O为原点，OE,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求平
面SAD和平面SCD的法向量，然后利用向量的夹角公式进行运算即可.
【详解】
（1）由已知，平面平面，交线为，
且，平面
所以平面，故
是圆弧上异于、的点，且为直径，所以
又，所以平面
又平面，所以平面平面
（2）显然当四棱锥的体积最大时，在圆弧的中点上，
，所以
分别在、上取中点、，则可得、、三者两两垂直，
分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，
，，
因为平面，可取是平面的一个法向量
设是平面的法向量
所以，
取，可得，，
设平面与平面所成的锐二面角大小为
则
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理的应用，考查利用空间向量解决二面角问题，考查空间想象能力和计算能力.。