2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.一元二次方程x2=3x的解为()
A. x=0
B. x=3
C. x=0或x=3
D. x=0且x=3
2.下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
3.把抛物线y=−3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为
()
A. y=−3(x−2)2−3
B. y=−3(x+2)2−3
C. y=−3(x−3)2+2
D. y=−3(x−3)2−2
4.平面直角坐标系内与点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是()
A. (3,−2)
B. (2,3)
C. (2,−3)
D. (−3,−3)
5.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3√2cm，则直线l与⊙O的位置关系为()
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法确定
6.若关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有实数根，则k的取值范围为()
A. k≥9
4B. k≤9
4
且k≠0 C. k<9
4
且k≠0 D. k≤9
4
7.有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则x满足的方程是()
A. (1+x)2=242
B. (2+x)2=242
C. 2(1+x)2=242
D. (1+2x)2=242
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC=3cm，则∠A的度数为()
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 10°
9.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，
AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=4，则四边形ABCD
的面积为()
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
10.抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，与x轴的负半轴的交点坐标是(x1,0)，
且−1<x1<0，它的部分图象如图所示，有下列结论：
①abc<0；②b2−4ac>0；③9a+3b+c<0；④3a+c<0．
其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11.在函数y=x−1
中，自变量x的取值范围是______．
x+2
12.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为______ cm．
13.若关于x的方程x2+2mx+n=0的一个根为2，则代数式4m+n的值为______ ．
14.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分
别交PA、PB于E、F，且PA=4√3cm，则△PEF的周长为______ cm．
15.已知⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为点P，且CD=6，则AP的长为______ ．
16.在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解
析式为y=ax2，水面宽AB=6m，AB与y轴交于点C，OC=3m，当水面上升1m时，水面宽为______ m.
17.如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形
OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；…；按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分）
|.
18.计算：2−1+√16−(3−√3)0+|√2−1
2
19.(1)请你用公式法解方程：2x2−4x−1=0；
(2)请你用因式分解法解方程：x2−3x+2=0．
20.已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球．
(1)求从袋中任意摸出一个球是红球的概率．
(2)若要使摸到红球的概率为2
，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？
3
21.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在边AB上，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，交
AB于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若∠BAC=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
22.某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨
价1元，日销售量就减少1千克．
(1)请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式．
(2)若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？
(3)当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．
23.综合与实践
在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．
动手操作：
第一步：在图1中，测得三角形纸片ABC中，∠ACB=60°，BC<AC．
第二步：将图1中的△ABC纸片折叠，使点B落在边AC上的点E处，然后展平，得到折痕CD，连接BE、DE，如图2．
解决问题：
请根据图2完成下列问题：
(1)BD______ DE(请正确选择“>”、“=”、“<”中的一个)；
(2)试判断△BCE的形状，并给予证明．
拓展探究：
(3)将图2中的纸片△BCE剪下来，在△BCE内选一点F，连接BF、EF，BF=EF=√2，∠BFE=90°，
如图3．
①将△EFB绕点E顺时针旋转60°得到△EMN，连接BM，请你直接写出线段BM的长；
②将①中的△EMN绕点E顺时针旋转360°的过程中，请你直接写出线段BM长的取值范围．
24.综合与探究
如图，已知点B(3,0)、C(0,−3)，经过B、C两点的抛物线y=x2−bx+c 与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
(3)已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点
F，连接EC，若点E(2,−3)，请直接写出△FEC的面积．
(4)在(3)的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、E、P为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：方程移项得：x2−3x=0，
分解因式得：x(x−3)=0，
解得：x=0或x=3，
故选：C．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=−3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=−3(x+2)2；
再向下平移3个单位为：y=−3(x+1)2−3，即y=−3(x+2)2−3．
故选：B．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，得
点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)，
故选：C．
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5.【答案】A
【解析】解：∵圆心到直线的距离为3√2cm，⊙O的半径为5cm，
5>3√2，
∴直线和圆相交．
故选：A．
根据圆心到直线的距离为3√2cm少于圆的半径5，则直线和圆相交．
此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．
6.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有实数根，
∴{k≠0
△=(−3)2−4×k×1≥0，
∴k≤9
4
且k≠0．
故选：B．
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：依题意得：2(1+x)2=242．
故选：C．
根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵OB=OC=BC=3，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠A=1
2
∠BOC=30°．
故选：C．
连接OB、OC，如图，先判断△OBC为等边三角形，则∠OBC=60°，然后根据圆周角定理计算∠A的度数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
9.【答案】B
【解析】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△ADF中，
{∠1=∠3
∠AEB=∠AFD AB=AD
，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是边长为4的正方形，
∴S
四边形ABCD =S
正方形AECF
=42=16，
故选：B．
过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠3，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，则
S
四边形ABCD =S
正方形AECF
，然后根据正方形的面积公式计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等．也考查了矩形的性质．
10.【答案】D
【解析】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为(x2,0)且2<x2<3；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，
故①正确；
②抛物线与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，
故②正确；
③∵x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，
故③正确；
④∵x=−b
2a
=1，即b=−2a，
而x=−1时，y=0，即a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
故④正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】x≠−2
【解析】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠−2．
故答案为：x≠−2．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】6
【解析】解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，
即n=60，l=2π，
，
根据弧长公式l=nπr
180
得2π=60πr
，
180
即r=6cm．
故答案为：6．
根据已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径r．
此题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．13.【答案】−4
【解析】解：把x=2代入方程x2+2mx+n=0得4+4m+n=0，
所以4m+n=−4．
故答案为−4．
先把x=2代入方程，从而得到代数式4m+n的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.【答案】8√3
【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，
∵直线EF与⊙O相切于点C，
∴EA=EC，FC=FB，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=
2×4√3=8√3(cm)．
故答案为8√3．
利用切线长定理得到PA=PB，EA=EC，FC=FB，然后利用等线段代换得到△PEF的周长=2PA．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
15.【答案】9或1
【解析】解：分两种情况：
①当点P在OB上时，连接OC，如图所示：
∵⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于P，
CD=3，
∴OC=OA=OB=5，CP=DP=1
2
∴OP=√OC2−CP2=√52−32=4，
∴AP=OA+OP=5+4=9；
②当点P在OA上时，
同①得：OP=4，
∴AP=OA−OP=5−4=1；
综上所述，AP的长为9或1，
故答案为：9或1．
分两种情况：①当点P在OB上时，连接OC，先由垂径定理求出CP=3，再由勾股定理求出OP=4，则AP=OA+OP=9；
②当点P在OA上时，同①得OP=4，则AP=OA−OP=5−4=1．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16.【答案】2√6
【解析】解：∵AB=6m，OC=3m，
∴点B坐标为(3,−3)，
将B(3,−3)代入y=ax2得：
−3=a×32，
∴a=−1
，
3
x2．
∴y=−1
3
∴当水面上升1m时，即纵坐标y=−2时，有：
−2=−1
x2，
3
∴x2=6，
∴x1=−√6，x2=√6．
∴水面宽为：√6−(−√6)=2√6(m)．
故答案为：2√6．
根据题意可得点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式y=ax2，解得a的值，从而可得抛物线的解析式；当水面上升1m时，即纵坐标y=−2时，从而可得关于x的方程，解得x的值，则可求得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】(−1,−1)
【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B(1,1)，
连接OB，OB1，OB2，OB6，OB4…，
由勾股定理得：OB=√2，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=⋯=√2，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB =∠BOB 1=∠B 1OB 2=⋯=45°，
∴B 1(0,√2)，B 2(−1,1)，B 3(−√2,0)，B 4(−1,−1)，…，
发现是8次一循环，所以2020÷8=252 (4)
∴点B 2020的坐标为(−1,1)，
故答案为(−1,−1)．
根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
18.【答案】解：2−1+√16−(3−√3)0+|√2−12|
=12+4−1+√2−12 =3+√2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
19.【答案】解：(1)∵2x 2−4x −1=0，
∴a =2，b =−4，c =−1，
∴△=16+8=24，
∴x =
−b±√b 2−4ac 2a =4±√244=2±√62， x 1=2+√62或x 2=2−√62
(2)∵x 2−3x +2=0，
∴(x −1)(x −2)=0，
∴x −1=0或x −2=0，
∴x 1=1或x 2=2．
【解析】(1)根据公式法即可求出答案．
(2)根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)∵袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球，共有18个球， ∴任意摸出一球，摸到红球的概率是318=16；
(2)设需要在这个口袋中再放入x 个红球，根据题意得：
3+x 18+x =23，
解得：x=27，
经检验x=27是原方程的解，
答：需要在这个口袋中再放入27个红球．
【解析】(1)用红球的个数除以总球的个数即可得出答案；
(2)设需要在这个口袋中再放入x个红球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∵∠ACD=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
(2)∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
又∵OD=2，
∴BD=2√3，
∴阴影部分的面积=S△OBD−S扇形ODE
=1
2
×BD⋅OD−
60π×4
360
=1
2
×2√3×2−
2π
3
=2√3−2π
3
．
【解析】(1)连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
(2)阴影部分的面积=三角形ODB的面积−扇形EOD的面积即可．
本题考查了切线的性质和判定，含30度角的直角三角形，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：
y=(x−40)[50−1×(x−50)]
=(x−40)(100−x)
=−x2+140x−4000，
∴日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式为y=−x2+140x−4000．
(2)当y=800时，−x2+140x−4000=800，
解得x1=60，x2=80．
∴售价应定为60元或80元．
(3)y=−x2+140x−4000
=−(x−70)2+900，
∵a=−1<0，抛物线开口向下，
∴当x=70时，y最大值=900，
∴当售价定为70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元．
【解析】(1)根据每千克的利润乘以实际销售量可列出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式，化简即可．
(2)由题意可得关于x的方程，求解即可．
(3)将(1)中所得的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．
23.【答案】=
【解析】解：(1)∵将△ABC纸片折叠，
∴BD=DE，
故答案为：=；
(2)△ABC是等边三角形，
理由如下：∵将△ABC纸片折叠，
∴BC=CE，
又∵∠ACB=60°，
∴△BCE是等边三角形；
(3)如图3，连接BN，延长BM交EN与H，
∵BF=EF=√2，∠BFE=90°，
∴BE=√2EF=2，
∵将△EFB绕点E顺时针旋转60°得到△EMN，
∴EN=EB=2，∠NEB=60°，NM=BF=EM=EF，
∴△NEB是等边三角形，
∴BN=BE，
又∵MN=ME，
∴BM 是NE 的垂直平分线，
∴BH ⊥NE ，NH =HE =1， ∴BH =√BE 2−HE 2=√4−1=√3，
∵∠MEN =∠MNE =45°，
∴∠HEM =∠HME =45°，
∴HE =HM =1，
∴MB =√3−1；
②∵将①中的△EMN 绕点E 顺时针旋转360°，
∴点M 在以E 为圆心，EF 为半径的圆上，
∴当点M 在线段BE 上时，BM 有最小值为BE −EM =2−√2，
当点M 在线段BE 的延长线上时，BM 有最大值为BE +EM =2+√2．
∴2−√2≤BM ≤2+√2．
(1)由折叠的性质可求解；
(2)由等边三角形的判定可求解；
(3)①连接BN ，
延长BM 交EN 与H ，由等腰直角三角形的性质可求BE =√2EF =2，由旋转的性质可得EN =EB =2，∠NEB =60°，NM =BF =EM =EF ，可证BM 是NE 的垂直平分线，可得BH ⊥NE ，
NH =HE =1，由勾股定理和等腰直角三角形的性质可求解；
②当点M 在线段BE 上时，BM 有最小值为BE −EM =2−√2，当点M 在线段BE 的延长线上时，BM 有最大值为BE +EM =2+√2，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24.【答案】解：(1)将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得{0=9−3b +c c =−3，解得{b =2c =−3
， 故抛物线的表达式为y =x 2−2x +3；
(2)点B 是点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴于点D ，则点D 为所求点．
理由：△ACD 的周长=AC +AD +CD =AC +BD +CD =AC +BC 为最小，
由点B 、C 的坐标得：直线BC 的表达式为y =x −3，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x =1，
当x =1时，y =x −3=−2，
故点D(1,−2)；
(3)由点C 、E 的坐标知，CE//x 轴，而FE//y 轴，则EF ⊥CE ，
当x =2时，y =x −3=−1，
故点F(2,−1)，则EF =−1−(−3)=2，
由CE 的坐标知，CE =2，
则△FEC 的面积=12×CE ⋅EF =12×2×2=2；
(4)设点P 的坐标为(s,t)，
①当AB 是平行四边形的边时，
点A 向右平移4个单位得到点B ，则点E(P)向右平移4个单位得到点P(E)，
则2±4=s ，t =−3，
∴s =6或−2，
故点P 的坐标为(6,−3)或(−2,−3)；
②当AB 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：{12(−1+3)=12(2+s)12
(0+0)=12(−3+t)，解得{s =0t =3， 故点P 的坐标为(0,3)；
综上，点P 的坐标为(6,−3)或(−2,−3)或(0,3)．
【解析】(1)将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)点B 是点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴于点D ，则点D 为所求点，进而求解；
(3)由点C 、E 的坐标知，CE//x 轴，而FE//y 轴，则EF ⊥CE ，则△FEC 的面积=12×CE ⋅EF =12×2×2=2；
(4)分AB 是平行四边形的边、AB 是平行四边形的对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性、平行四边形的性质、中点公式得运用、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．。