【典型题】高中必修二数学下期中模拟试卷(含答案)(1)

【典型题】高中必修二数学下期中模拟试卷(含答案)(1)
一、选择题
1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若m α⊂，则m β⊥
B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α
D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥
2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．202π+
B ．203π+
C ．242π+
D ．243π+ 3．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）
A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．310cm
B ．320cm
C ．330cm
D ．340cm
5．已知点()1,2-和33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的
取值范围是 ( )
A ．,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）
图1 图2
（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；
（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线
③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．
的是( )
A ．MN 与1CC 垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行 D ．MN 与11A B 平行
10．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）
A ．相交且过圆心
B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离
11．已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.
A ．若//m α且//m β，则//m l
B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥
C ．若M m ∈且//m l ，则//m β
D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点
E 、
F ，且EF=12
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ；
②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；
④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．
14．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.
15．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面
角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ． 16．若直线y x b =+与曲线234y x x =+-有公共点，则b 的取值范围是______． 17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .
18．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．
19．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2
:422C y x =
--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.
20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________. 三、解答题
21．已知圆22
:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．
（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．
22．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.
（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；
（2）求证：//EF 平面111A B C .
23．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，
11
2AA AC AC AB BC =====，且点O 为AC 中点.
(1)证明：1A O ⊥平面ABC ；
(2)求三棱锥1C ABC -的体积.
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．
（1）求证：//AB 平面DEF ；
（2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；
（3）求三棱锥1E ACB -的体积.
25．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．
（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；
（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．
26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.
（1）求证：//MN 平面11ABB A ；
（2）求证：1AN A B ⊥.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.
故选C.
2．B
解析：B
【解析】 该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为
2215221122032
S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．A
解析：A
【解析】
分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.
详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，
PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，
所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即2R ==
246R ππ=，故选A.
点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：
①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；
②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；
④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：
棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，
∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．
考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.
5．D
解析：D
【解析】
设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()
121, 3.0130PA PB k k ---==-==-- ∵点(1,−2)和(3,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ<3，tanθ≠0.
解得30,34
ππ
θθπ<<<<.
本题选择D 选项. 6．D
解析：D
【解析】
该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为
,选D.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；
（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即
AE FC ⊥；
（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；
（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立.
【详解】
（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，
则BC AB ⊥，又平面ABE 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，
AE ⊂平面ABC ，此时AE BC ⊥；
（2）设AB BC a ==，则2AC a =，且有AE CF a ==，
翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥，
即AE FC ⊥；
（3）如下图所示：
翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，
取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .
ABE ∆是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.
平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .
DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，
DE ⊄平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT .
G 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，
AB ⊄平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .
DE AB D =，∴平面//EAB 平面FGT ；
（4）假设AE 与BC 可能平行，
BC AB ⊥，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行.
因此，可能正确命题的个数为3.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；
CN 与BE 平行，故②错误；
连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；
由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.
【详解】
如图：连接1C D ，BD ，
在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．
1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；
AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；
∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．
【详解】
根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.
直线的方程为2161
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)221025
19d -⨯--=
=<+，即直线与圆相交.
故选A.
【点睛】
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程. 11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.
【详解】
选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；
选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；
选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；
选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.
12．B
解析：B
【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
二、填空题
13．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问
解析：4x －5y +1=0
【解析】
【分析】
先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.
【详解】
因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014
MQ y x x y +-=
--+=+. 【点睛】
本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题.
14．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查解析：
34
【解析】
【分析】
设三棱锥P ABC
-外接球球心为O，半径为R，如图所示作辅助线，设
1
OO h
=，则()2
22
222
1
R PD h OH
R h CO
⎧=-+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，解得答案.
【详解】
设三棱锥P ABC
-外接球球心为O，半径为R，
90
BAC
∠=︒，故O在平面ABC的投影为BC中点1O，D为AC中点，
PA PC
=，故PD AC
⊥，侧面PAC⊥底面ABC，故PD⊥底面ABC.
连接1
O D，作OH PD
⊥于H，易知1
OO DH为矩形，设
1
OO h
=，
则
()2
22
222
1
R PD h OH
R h CO
⎧=-+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，22
PD=，12
OH DO
==，
1
22
CO，解得
34
R=.
故答案为：
34
.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
15．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A ＝120°AB ＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60 解析：32
【解析】
【分析】
【详解】
设AC 与BD 交于点O ．
在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1．
过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求．
由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°．
在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝3．
16．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b 与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b 的取值范围【详
解析：122,3⎡⎤-⎣⎦
【解析】
【分析】
由曲线24x x -x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线24x x -2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围．
【详解】
由曲线24x x -
得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，
∵直线y=x+b 与曲线24x x -
∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2， 即23212b 1+222b
d -+=≤⇒-≤≤
∵0≤x≤4，
∴x=4代入曲线24x x -y=3，
把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，② 联立①②，得-1b 122≤≤+
∴实数b 的取值范围是[﹣1，2]． 故答案为1,122⎡-+⎣.
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．
17．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因 解析：
12
【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，
所以30BAD BCA ∠==.
由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅
2222222cos12012=+-⨯⨯=， 所以23AC =
设AD x =，则023t <<23DC x =.
在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅
22222cos30x x =+-⋅2234x x =
-+.
故2234BD x x =-+.
在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==. 由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222
PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.
过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =
则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=
⨯=⋅∠， 2112342sin 3022
x x d x -+=⋅， 解得2234d x x =-+.
而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222
S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.
故四面体PBCD 的体积
211111sin (23)33332234
BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21
(23)6234x x x x -=-+ 设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤. 则231x t -=-
（1）当03x ≤≤
时，有2331x x t ==- 故231x t =-
此时，221(31)[23(31)]t t V -----= 21414()66t t t t
-=⋅=-.
214()(1)6V t t
=--'，因为12t ≤≤， 所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612
V t V ≤=
-=.
（2x <≤x x =-=
故x =
此时，16V t
+= 21414()66t t t t
-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=
-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12
. 18．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系
解析：4
【解析】
试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为
5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4
考点：直线和圆的位置关系
19．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值
【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆 解析：15
【解析】
【分析】
将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值.
【详解】
将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩
.
则直线l 过定点()1,1P -，
将曲线C 的方程变形为()()()22
2242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：
由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -=
=+. 故答案为：
15
. 【点睛】 本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：23
【解析】
【分析】
作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.
【详解】
设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =
++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）34
m =-，5 【解析】
【分析】 （1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可.
【详解】
（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为
()2740x y m x y +-++-=，令27040
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1. （2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l
与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，()()2231125AC =
-+-=
当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短， 211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121
m m +-=+，解得34m =-，
此时弦长为225545-=.
故当34m =-
时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为45. 【点睛】
本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.
22．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）可证1AD CC ⊥，AD BC ⊥，从而可证AD ⊥平面11BCC B .
（2）取11A C 的中点为G ，连接1,EG B G ，可证1//EF B G ，从而可证//EF 平面111A B C .
【详解】
由正三棱柱111ABC A B C -可得1C C ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，
故1AD CC ⊥.
因为ABC ∆为等边三角形，BD DC =，故AD BC ⊥，
因为1BC CC C =，BC ⊂平面11BCC B ，1C C ⊂平面11BCC B ，
所以AD ⊥平面11BCC B .
（2）取11A C 的中点为G ，连接1,EG B G .
在11A AC ∆，因为111,A G GC AE EC ==，故111//,2
EG AA EG AA =. 由正三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，故1111,//AA BB AA BB =， 而1112B F BB =，所以11111//,2
B F AA B F AA =，故11//,EG B F EG B F =， 故四边形1B FEG 为平行四边形，1//EF B G .
因为EF ⊄平面111A B C ， 1B G ⊂平面111A B C ，故//EF 平面111A B C .
【点睛】
本题考查线面垂直与线面平行的证明，前者转化为线线垂直，注意平面中的两条直线需为
相交直线，后者转化为线线平行，注意一条线是平面外，另一条线是平面内，本题属于中档题.
23．（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得1A O AC ⊥，利用面面垂直的性质可得1A O ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明11||A C 平面ABC ，可得1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得
11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132
⨯⨯=. 试题解析：（1）∵11AA A C =，且O 为AC 的中点.
∴1A O AC ⊥.
又∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⋂平面ABC AC =，
且1AO ⊂平面11AAC C ，
∴1A O ⊥平面ABC .
∵BC ⊂平面ABC ，
∴1A O BC ⊥.
（2）∵11||A C AC ，11A C ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴11||A C 平面ABC .
即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离.
由（1）知1A O ⊥平面ABC 且1
AO ==
∴三棱锥1C ABC -的体积：
11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132
⨯⨯=. 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
23. 【解析】
【分析】
（1）由题意可知DE AB ，从而得证；
（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果.
【详解】
（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB ,
又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B ,
于是DE AB ,
AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ,
所以AB 平面DEF .
(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC
所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥,
又AC BC ⊥,
1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,
所以AC ⊥平面11C BC B ,
EF ⊂平面11C BC B ,
所以AC EF ⊥ ,
又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，
所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ ,
而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC ,
所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB ,
所以EF ⊥平面1ACB ,
又EF ⊂平面DEF ,
所以平面1ACB ⊥平面DEF .
（3） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==
⋅= . 【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
25．(1) 13+24y x = 【解析】
【分析】
(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.
【详解】
（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112
CP k -=--，
∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24
y x = （2）当直线l 的倾斜角为45时，斜率为1，直线l 的方程为1+
2y x = 圆心C 到直线l 的距离为1103222
d -+
==，又∵圆的半径为2，
∴弦AB 的长为22324622(
)4-=. 【点睛】 本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.
26．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；
（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥.
【详解】
解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P 分别是,AC AB 的中点，
//PM BC ∴，且12
PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ， ∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴，
而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，
//MN ∴平面11ABB A .
（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =，
∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，
又侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ， 又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥
【点睛】
本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.。