最新上册数学压轴题试题(Word版 含答案)

最新上册数学压轴题试题（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；
（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
2．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段
AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .
（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；
①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求
a
b
的值. 3．我们知道，如图1，AB 是⊙O 的弦，点F 是AFB 的中点，过点F 作EF ⊥AB 于点E ，易得点E 是AB 的中点，即AE ＝EB ．⊙O 上一点C （AC ＞BC ），则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”．
（1）当点C 在弦AB 的上方时（如图2），过点F 作EF ⊥AC 于点E ，求证：点E 是“折弦ACB ”的中点，即AE ＝EC+CB ．
（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径
为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．
4．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2
y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．
5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．
（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．
（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
7．如图1,已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为(−3，3),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0<t<．．．．3．) ①是否存在这样的t ，使7FB?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②连接FC,以点F 为旋转中心,将△FEC 按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x ．轴与．．抛物线在．．．．x ．轴上方的部分围成的图形中．．．．．．．．．．．．(．包括边界．．．．)．
时,求t 的取值范围.(直接写出答案即可) 8．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 关于线段AB 的视角． 如图2，点Q 在直线l 上运动，当点Q 关于线段AB 的视角最大时，则称这个最大的“视角”
为直线l关于线段AB的“视角”．
（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为度，x轴关于线段AB的视角为度；
（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF ＝1，当直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，求k的值；
（3）如图5，在平面直角坐标系中，P（3，2），Q（3+1，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，且关于线段PQ的视角为45°，求这条直线的解析式．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．
①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；
（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4
x
（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，
D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．
10．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝4
5
，O为坐标原点，A点在x轴的正半
轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA时，求t的值；
（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；
（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．
11．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．
（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ； （2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；
（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．
12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，
DE
DC
等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE
DC
的值； （3）如图③，若DE CF ，求
DE
DC
的值.
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一、压轴题
1．（1）点B（3，4），点C（﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作
⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝∠CDE ＝45°＝∠BDE＝∠BCH，可证CH＝BH，∠BHC＝90°，由两点距离公式可求解．
【详解】
解：（1）∵A（﹣5，0），OA＝OC，
∴OA＝OC＝5，
∵点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0），
∴OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），
∴5
∴a＝3，
∴点B（3，4），
∴点C（﹣3，﹣4）；
（2）∵点B（3，4），点C（﹣3，﹣4），点A（﹣5，0），
∴BC＝10，AB＝，AC＝
∵BC2＝100，AB2+AC2＝80+20＝100，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，
∴CO＝DO，
又∵CO＝BO，
∴DO＝BO＝CO，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，
∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，
∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ， ∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°， ∵BC ＝10，
∴BH ＝CH ＝2，OH ＝OB ＝OC ＝5， 设点H （x ，y ）， ∵点H 在第四象限， ∴x ＜0，y ＞0，
∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50， ∴x ＝4，y ＝3， ∴点H （4，﹣3），
∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）． 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
2．（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34
a b =. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】
（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒. ∴90B A ∠=︒-∠
9028=︒-︒
62=︒，
∵BC BD =，
∴1802
B
BCD BDC ︒-∠∠=∠=
180622
︒-︒
=
59=︒.
∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠
9059=︒-︒ 31=︒.
（2）①BD BC a ==， ∴AD AB BD =- AB a =-.
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，
AB =
=
∵2220x ax b +-=，
∴x =
a =- a AB =-±.
∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =， 又∵AD EC =， ∴2
b AE EC ==， ∴2
b AD =
. 在Rt ABC ∆中，
222AB AC BC =+，
∴2
222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 2
2
224
b a ab b a ++=+，
∴
2
34
b ab =. ∵0b >， ∴
3
4
b a =，
∴
34a b =. 【点睛】
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH 的长为3﹣1或3+1． 【解析】 【分析】
（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.
（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明. （3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论. 【详解】
解：（1）如图2，
在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ， ∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ， 在△FAG 和△FBC 中，
,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FAG ≌△FBC （SAS ）， ∴FG ＝FC ， ∵FE ⊥AC ， ∴EG ＝EC ，
∴AE ＝AG+EG ＝BC+CE ；
（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ， 理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，
∴FA＝FB，FA FB
=,
∴∠FCG＝∠FCB，
在△FCG和△FCB中，
,
CG CB
FCG FCB
FC FC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FCG≌△FCB（SAS），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴
1
223
2
BC AB AC
===
，，
当点P在弦AB上方时，如图4，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，
在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PCG ≌△PCB （SAS ），
∴PG ＝PB ，
∴PA ＝PG ，
∵PH ⊥AC ，
∴AH ＝GH ，
∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ，
∴22AH =+，
∴1AH =，
当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴∠APB ＝90°，
∵∠PAB ＝45°，
∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，
∴PA ＝PB ，
在△PAG 和△PBC 中，
,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAG ≌△PBC （SAS ），
∴PG ＝PC ，
∵PH ⊥AC ，
∴CH ＝GH ，
∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ，
∴22CH ，
=+
∴1CH =，
∴
)
11AH AC CH =-==， 即：当∠PAB ＝45°时，AH
1
1.
【点睛】
考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3(1,)2；（3）14m <≤或78
m =
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得出点B 的坐标，将点B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，求出b 、c 的值即可．
（2）在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，要使得EAB 的周长最小，即要使EB+EA 的值最小，即要使EA+EC 的值最小，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，求出直线AC 的解析式，最后求出直线AC 与对称轴的交点坐标即可．
（3）求出直线CD 以及射线BD 的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B 时，将点B 的坐标代入二次函数解析式，求出m 的值，写出m 的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x 的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即0∆=，列式求出m 的值即可．
【详解】
（1）矩形OABC ， ∴OC=AB ，
A(2，0)，C(0，3)，
∴OA=2，OC=3，
∴B(2，3)，
将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，
4233b c c -++=⎧⎨=⎩
， ∴23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++．
（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最
小，即EAB 的周长最小，
设直线解析式为：y =kx +b ，
将点A 、C 的坐标代入可得：
203k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：323
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴一次函数解析式为：3=32
y x -+． 2y x 2x 3=-++=2(1)4x -+-，
∴D(1，4)，
令x =1，y =332-+=32
． ∴E(1，32
)．
（3）设直线CD 解析式为：y =kx +b ，
C(0，3)，D(1，4)，
∴43k b b +=⎧⎨=⎩
, 解得13k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线CD 解析式为：y =x +3，
同理求出射线BD 的解析式为：y =－x +5(x ≤2)，
设平移后的顶点坐标为(m ，m +3)，
则抛物线解析式为：y =－(x －m )2+m +3，
①如图，当抛物线经过点B 时，
－(2－m )2+m +3=3，
解得m =1或4，
∴当1<m ≤4时， 平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，
将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m )2+m +3=－x +5，
即x 2－(2m +1)x +m 2－m +2=0，
要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，
即要使一元二次方程有两个相等的实数根，
∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=-+⨯-+=－，
解得78
m =． 综上所述，14m <≤或78m =
时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．
【点睛】
本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．
5．（1）y＝x2+2x﹣3，m＝﹣3，n＝5；（2）17413）存在；Q点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），M（t+3，t2+2t﹣6），根据点M在直线y＝x+3上，即可求解；
（3）存在．设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同即可求解．
【详解】
解：（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，
∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线解析式，解得：a＝1，b＝2，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3…①，
则C（0，﹣3）；
（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，
设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），
∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵点M在直线y＝x+3上，
∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4，
∴P 点坐标为（3，12）或（﹣4，5），
则线段OP 的长度为：317或41；
（3）存在．
设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）
过点C 和C ′分别做AB 的平行线，交抛物线于点Q 、Q ′，
则：△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同，
直线QC 和Q ′C 的方程分别为：y ＝x ﹣3和y ＝x +9…②，
将①、②联立，解得：x ＝﹣1或x ＝3或x ＝﹣4，
∴Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．（1）2114y x =
-；（2）点P 37(,)216-；（3）(222,222M --+ 【解析】
【分析】
（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解；
（2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （21,
14
t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解； （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN CNE MNE S S S =+即可求解．
【详解】
（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1）
∴AB=4
∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0
代入A 点坐标得2021a =- 解得14
a = ∴G 的解析式为2114y x =
- 故答案为2114
y x =-
（2）当1x =-时，34y =-
,即：点D 为（31,4--） ∴直线OD 为：34y x =
设P （21,14t t -），则Q 为（22141,1334
t t --），则： 22214141325()()33333212
PQ t t t t t =--=-++=--+ ∴当32t =时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216
- （3）设点21,
14M m m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则N ()214,414m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ ∵C 点坐标为(0,1)-
∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：14k m =
∴直线CM 为114
y mx =- 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14,414m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭
∴4EN m =--
∵()()12CMN CNE MNE C N N M S
S S x x x x EN ⎡⎤=+=-+-•⎣⎦ ∴()()104=22
m m --- ∴2440m m +-=
解得：1222m =--，2222m =-+（舍去）
∴M (222,222--+
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析．
7．（1）y=−x 2+3；（2）①2或5 63⩽t 6【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出AB 和CD 的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）①由D （3，3），则平移后坐标为D´（3，3），F （t ，-t 2+3）；则有DF 2=（3）2+（-t 2+3-3）2；FB 2=（-t 2+3）2，再根据7FB ，即可求得t ；
②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出的取值范围，确定限制条件是解题的关键
【详解】
(1)由题意得AB 的中点坐标为3，0),CD 的中点坐标为(0，3)， 分别代入y=ax 2
+b 得：3a b 0b 3+=⎧⎨=⎩，解得a 1b 3=-⎧⎨=⎩， ∴y=−x 2+3.
（2）①D （33），则平移后坐标为D´（3+t ，3），F （t ，-t 2+3）；
DF 2=（3）2+（-t 2+3-3）2；FB 2=（-t 2+3）2
DF=7FB，则（−3+t-t）2+（-t2+3-3）2=7（-t2+3）2
解得：t2=2或5，则t=2或t=5；
②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N.
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足：EE′⩽BE且MN⩾C′N.
∵F(t,3−t2),∴EF=3−(3−t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2，
由EE′⩽BE,得2t2⩽3,解得t
6
∵3∴C′点的横坐标为3
∴3)2,又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2
由MN⩾C′N,得32⩾3−2t2,解得t63或t⩽63舍去).
∴t63t⩽
6 2
【点睛】
本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
.
8．（1）45，45；（2）k＝3
3）y332
【解析】
【分析】
（1）如图3，连接AC，则∠ABC=45°；设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，
∠AOB=45°，该视角最大，即可求解；
（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，当圆与直线y=kx相切时，直线y=kx （k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF=90°，则MQ⊥直线OE，OQ=1，OM=2，故直线的倾斜角为30°，即可求解；
（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，
RQ=RP=1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由
（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ=2RQ=2，故点Q′（3-1，1），即可求解．
【详解】
（1）如图3，连接AC，则∠ABC＝45°；
设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，∠AOB＝45°，该视角最大，
由此可见：当△ABC为等腰三角形时，视角最大；
故答案为：45，45；
（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，
当圆与直线y＝kx相切时，直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF＝90°，
则MQ⊥直线OE，MQ＝1，OM＝2，故直线的倾斜角为30°，故k＝
3 ；
（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，RQ＝RP＝1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，
由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ＝2RQ＝2，故点Q′31，1），
直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，则直线的表达式为：y3，
将点Q′的坐标代入上式并解得：
直线的表达式为：y332
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序求解，一般比较容易．
9．（1）35，
57
84
y x
=+；（2
2
r≤.
【解析】
【分析】
（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；
②由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；
（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小
，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大
，即可得出结果．
【详解】
（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，
∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；
②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，
∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），
设AC表达式为y＝kx+b，
∴
32
23
k b
k b
=-+
⎧
⎨
-=-+
⎩
或
32
26
k b
k b
=-+
⎧
⎨
-=+
⎩
∴
5
13
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
8
7
4
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴y＝5x+13或
57
84
y x
=-+；
（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：
∵点D （1，1），
∴OD 所在的直线表达式为y ＝x ， ∴点E 的坐标为（2，2），
∴OE ＝222+2=22，
∴⊙P 的半径最小r ＝2，
②当DE ∥x 轴时，即：点E 的纵坐标为1，如图2所示：
∵点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝
4x （x ＞0）的图象上一点 ∴1＝4
x ，解得x ＝4， ∴OE ═
224+117， ∴⊙P 的半径最大r ＝172
， 172r ≤
． 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．
10．（1）t ＝3；（2）P （
35t +2，45t ﹣4）；（3）t 的值为209秒或4秒或16秒或1609
秒 【解析】
【分析】
（1）如图1，过点C 作CP ⊥OA ，交x 轴于点P ．就可以求出OP 的值，由勾股定理就可以求出的OP 值，进而求出结论；
（2）t ＜10时，P 在OA 或AB 上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P 在OA 上，OP=t ，可得P 的坐标；②当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P 的坐标；
（3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况： ①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；
②当P 在OC 上时，同理可得结论．
【详解】
（1）如图1，
当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 4
5CP C OC
＝＝， 4455
CP CP 即＝，＝， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，
∴331
t ＝＝
（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，
∴P （t ，0）；
当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，
过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，
则∠AOC ＝∠PAH ，
∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 4
5
C ＝， 44 4555
PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴3
33255
HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，
∴
34
P t+2t4
55
（，﹣）；
（3）设切点为G，连接PG，分两种情况：
①当P在OA上时，如图3，
⊙P与直线AB相切，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAG，
∴sin∠AOC＝sin∠OA
4
5
PG
G
AP
＝＝，
t4
5-t5 ＝，
∴
20
9
t＝；
⊙P与BC相切时，如图4，
则PG＝t＝OP＝4；
②当点P在OC上时，
⊙P与AB相切时，如图5，
∴OP＝PG＝4，
∴4×5﹣t＝4，
t＝16，
⊙P与直线BC相切时，如图6，
∴PG⊥BC，
∵BC∥AO，
∴∠AOC＝∠GCP，
∴sin∠AOC＝sin∠GC
4
5
PG
P
PC
＝＝，
∵OP＝PG＝20﹣t，
∴420
51
t
t
-
=
-
，
∴
160
9
t＝，
综上所述，t的值
20160
416
99
为秒或秒或秒或秒
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．
11．（1）4﹣32）3
2
；（3）455
【解析】
【分析】
（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；
（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，
∵AB＝CD＝2，
∴DG＝22
CD
CG-＝22
42
-＝23，
∴AG＝AB﹣BG＝4﹣23，
故答案为:4﹣23．
（2）如图2中，
由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，
∵点G在线段AE上，
∴∠AGC＝90°，
∵CA＝CA，CB＝CG，
∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．
∴∠ACB＝∠ACG，
∵AB∥CD
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACH＝∠HAC，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m＝5
2
，
∴AH＝5
2
，GH22
AH AG
-
2
2
5
2
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
3
2
．
（3）在Rt△ABC中，2225
AC AB BC
=+=,
1
5
2
OC AC，
由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即
△OGE的面积最小，最小值＝1
2
×OG×EG＝
1
2
×2×（4﹣5）＝4﹣5．
当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝1
2
×E′G′×OG′＝
1
2
×2×（4+5）＝4+5.
综上所述，455
【点睛】
本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.
12．（1）1
2
；（2）tan EAD
∠=
1
3
；（3）
51
DE
CD
-
=
【解析】
【分析】
（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△ADE≌△CDO，得到DE=DO，根据O是AD的中点，AD=CD，即可得到答案；
（2）先证明△AFD≌△DOC，得到∠AFD=∠DOC，进而得到∠OPD=90°，即可得到
△OPD∽△FAD，根据对应边成比例得到DP OD
AD DF
=,设AF=OD=x，则AD=2x，5x，得
到DP=
5
5
x
，求出PF=
35
5
x
，再证明△DEP∽△FAP，得到
2
3
DE
AF
=，根据AF=
1
2
CD，
即可得到答案；
（3）先证明△FCD≌△EDA，得到∠EAD=∠FDC，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角
三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，OC=5x ，可得PC=OC-OP=5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到514
OD FC +=，进而得到251251
CF CD -==+，即可得到结论. 【详解】
（1）如图①中，
∵四边形ABCD 是正方形，
PDA PDC ∴∠=∠，
DP DP =，DA DC =，
PDA ∴≌()PDC SAS ，
DAE DCO ∴∠=∠，
90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，
ADE ∴≌()CDO ASA ，
OD DE ∴=，
AO OD ∴=，
CE DE ∴=，
12
DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．
AF FB =，OA OD =，AB AD =，
AF OD ∴=， AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒，
FAD ∴≌()ODC SAS ，
FDA OCD ∴∠=∠， 90FDA CDP ∠=∠=︒，
∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，
90CPD ∴∠=︒，
90FAO FPO ∠=∠=︒，
∴A ，F ，P ，O 四点共圆，
PAO PFO ∴∠=∠，
1tan 2OP OPD PD
∠==， 5OP a ∴=，25PD a =， 5DF a =，
355
PF a ∴=， 1tan tan 3
OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13
DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．
CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，
∴ FCD ≌EDA ()SAS ，
CDF EAD ∴∠=∠，
90CDF ADP ∠=∠=︒，
∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，
∴ 90APD ∠=︒，
OA OD =，
∴ OP OA OD ==，
∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，
90ECF EPF ∠=∠=︒，
∴E ，C ，F ，P 四点共圆，
∴ CFE EPC ∠=∠，
∴ CFE DCF ∠=∠，
ECF DCF ∠=∠，
∴ FCE ∽DCF ，
∴ 2·CF CE CD =，
∴ ()2y x x y =+，
∴ 220y xy x --=，
∴ y x =x （舍弃），
∴ 12
y x +=，
∴ DE y CD x y ===+． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。