“金钥匙杯”知识竞赛试题——数学部分(初四)

首届“金钥匙杯”全县初中知识友谊赛试卷（初四）
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数学部分
一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题 1.5分共15分）
1、已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列命题是真命题的有（）个.
①若a+b+c=0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为－1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根。

A．1 B．2 C．3 D．0
2、如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是---------------（）
A．-2 B．2-2C．2，-6 D．30，-34
3、我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于.
若我们规定一个新数“”,使其满足（即方程有一个根
为）。

并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有
,
从而对于任意正整数,我们可以得到,
同理可得
, , .那么
的值为( )
A. 0
B.
C.
D.
4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B.且 C. 且 D. 且
5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示
，则下列结论①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0
；④abc＞0，其中正确的个数是（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
6、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，
则下列关系正确的是（）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
第6题 第7题 7、如图，一次函数与二次函数
的图象相交于A (，5)、B (9，2)两点，则关于的不等 式的解集为
A 、
B
、 C 、 D 、或
8、若二次函数的图象经过A （－1
，
1）、B （2
，
2）、
C （，
3）三点，则关于
1、2、3大小关系正确的是 A .
1>
2>
3 B .
1>
3>
2 C .
2>
1>
3 D
.
3>
1>
2
9
、如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形
的顶点上，且它们的各边与正方形
各边
平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积
为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）
10、 如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分） 的面积为，则与之间的函数关系的图象 大致是（ ）
x
A ．
x
B ．
x
C ．
x
D ．
二、填一填，要相信自己的能力！（每小题1.5分共15分）
11、已知则___________.
12、设是方程的两个不相等的实数根，则
的值为．
13、设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中
四个图像之一，则a的值为（）
14、已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______
15、已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程
，则△ABC的周长是。

16、初四数学课本上，用“描点法”画二次函数
的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数在
时， ．
17、如图，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上，若抛物线y=ax 2
+bx+c 以C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的关系式为 。

4M
第18题图
18、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面宽度为8M ，两侧距地面4M 高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6M ，则校门的高度为 （精确到0.1M ） 19、已知抛物线的对称轴是
，且它的最高
点在直线
上，则它的顶点为 ，＝ 。

20、已知二次函数
的最大值是2，它的图像交轴于A 、B 两点，交轴于C 点，则
＝ 。

三、做一做，要注意认真审题呀！（每小题5分共20分） 21、已知关于x 的方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0有实数根． （1）、求a 的取值范围；
（2）、设x 1，x 2是方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0的两个根，且 x 12+x 22=9，求a 的值
（3）、在（2）的情况下，求证：x 4=27x 。

第17题图
22、某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80
元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（
（
的单价应是多少元？
（3）如果批发商想获得最大利润，那么第二个月单价应降低多少元，此时获得的最大利润是多少？
23、如图，抛物线y =x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解读式及顶点D的坐标；⑵判
断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
24、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解读式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由.若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千M？
第24题
参考答案：
一、1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、A 7、A 8、D 9、D 10、A
二、11、28 12、2018 13、-1 14、9 15、10 16、-4 17、y=x2-2x+2
18、9.2M 19、（2,2）n=4-220、5
三、
21、（1）当a-1=0即a=1时，方程为x+1=0,有实数根； (0.5)
当a-1≠0即a≠1时，方程有实数根，则
（-（2a-3））2-4（a-1）a≥0即：
-8a+9≥0，a≤
综上可知，a≤ (2)
（2）∵x1、x2是方程的两个根，
∴x1+x2=x1x2=(2.5)
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2=9
解得a=0或a=＞（舍去）
即a=0. (4)
（3）当a=0时，方程为-x2+3x=0，x2=3x
X4=（x2）2=（3x）2=9x2=9×3x=27x。

(5)
22、（1）（1分）
（2）根据题意，可列方程
80×200+（80-x）（200+10x）+40×（800-200-（200+10x））-
50×800=9000
即：-10x2+200x-1000=0，
解得，x1=x2=10 （3）
（3）设第二个月降价x元获得的利润为y元，那么
Y=80×200+（80-x）（200+10x）+40×（800-200-（200+10x））-50×800，即：
Y=-10x2+200x+8000=-10（x-10）2+9000 （4）
所以，当x=10时，y最大=9000，
所以第二个月降价10元可获得最大利润9000元。

（5）
23、（1）、∵抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
∴0=-b-2，即b=-
∴抛物线的解读式为y=x2-x－2
顶点D的坐标为（，-）（1.5）
（2）、△ABC是直角三角形
由(1)可知，A、B、C三点的坐标分别为（-1,0）、（4,0）、（0，-2）因此AB=5,AC=,BC=2
所以，AB2=AC2+BC2即△ABC是直角三角形（3）（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，欲使CM+DM的值最小，则M 点一定是点C关于x轴的对称点C1（0,2）与D （，-）点的连线与x轴的交点。

由点C1（0,2）与D （，-）可得直线C1D的解
读式为：
y=-x+2它与x轴交点M
的坐标为（，0）即
m=
（5）
24、（1）设原点O距CD的距离为h，根据题意，可设抛物线的解读式为
Y=ax2，点D、B的坐标分别为（5，-h）、（10，-h-
3），将点D、B的坐标分别代入抛物线的解读式得：
-h=25a，-h-3=100a，解得 a=-，h=1. （3）
所以抛物线的解读式为：y=-x2 （3.5）
（2）如果货车按原来速度每小时40km行驶，行驶280km需要的时间为7小时，而水位上涨到桥顶所用的时间是1÷0.25=4小时，所以按原来的速度行驶不能安全通过此桥。

若要安全通过此桥，货车的速度至少要达到280÷4=70（千M/小时）（5）
11 / 11。