2013年高考分类题库考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化
问题举例
一、选择题
1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足2
2
()2(),(2).
8
x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）
.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值
【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知23
3
2()2()
()
x
x
e f x e x f x f x x x
x ， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)
e 2x
f '(x)4xf (x 2(()
2())22(1
).)
x x x
x e x f x xf x e e
e x
x 则令
由()0g x 得2x
,当2x
时,
22
2
min
()22
08
e g x e
即()0g x ,则当0x 时,3
()()
0g x f x x ,
故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.
2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）
相同
已知函数⎩
⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0
,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）
A.]0,(-∞
B. ]1,(-∞
C. ]1,2[-
D. ]0,2[- 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.
【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当
0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，
22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .
当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，1
1
)(+=
'x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以
0≤a ，综上02≤≤-a .
3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同
设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =
B.函数()y f x =的图象是中心对称图形
C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减
D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=
【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.
A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.
B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得
(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a
a f ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C. 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x ，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6
【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.
【解析】选A 。

因为2'()32f x x ax b ，函数的两个极值点为12,x x ，所以
12()0,()0f x f x ''==，所以12,x x 是方程2320x ax b 的两根，所以解方程23(())2()0f x af x b 得12()()f x x f x x ==或，由上述可知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)
上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1<x 2,如图,
数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3.
5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数32()=+a +bx+f x x x c 有极值点1x ，2x ，
且11()=f x x ，
则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6
【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.
【解析】选A 。

因为2'()32f x x ax b ，函数的两个极值点为12,x x ，所以
12()0,()0f x f x ''== ，所以12,x x 是方程2320x ax b 的两根，所以解方程23(())2()0f x af x b 得12()()f x x f x x ==或，不妨设 1
2.x x 由题意知函数f(x)在(-
∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1<x 2,如图,
数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3.
6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）
A. 121
()0,()2
f x f x >>- B. 121()0,()2
f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><-
D. 121
()0,()2f x f x <>-
【解析】选 D. 1
f '(x)ln x ax x(a)ln x 12ax(x 0)
x
=-+-=+->，令0)('=x f ，由题意可得12ln -=ax x 有两个实数解x 1,x 2⇔函数g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点 ⇔g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0, g'(x)=1
x -2a=12ax
,x
- . ①当a ≤0时,g (x)'>0, f (x)'单调递增,
因此g(x)= f (x)'至多有一个零点,不符合题意,应舍去. ②当a>0时,令g (x)'=0,解得x=1,2a
因为1
(0,
),g (x)02a
x ∈'>，
,函数g(x)单调递增; 1
(
,)2a
x +∞∈时，g (x)0'<，
函数g(x)单调递减. 所以x=1
2a 是函数g(x)的极大值点,则g 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
>0, 即ln
1
2a
+1-1=-ln(2a)>0, 所以ln(2a)<0, 所以0<2a<1,即0<a<12
因为0<x 1<
1
2a
<x 2, 所以f'(x 1)=lnx 1+1-2ax 1=0, f'(x 2)=lnx 2+1-2ax 2=0.
则f(x 1)=x 1(lnx 1-ax 1)=x 1(2ax 1-1-ax 1) =x 1(ax 1-1)<
111a 10,2a 2a 2a ⎛⎫
⨯-=-< ⎪⎝⎭
f(x 2)=x 2(lnx 2-ax 2)=x 2(ax 2-1)>1×111a 11.2a 22a ⎛⎫⎛⎫
⨯
-=-> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）
A. ()0()g a f b <<
B.
()0()f b g a << C.
0()()g a f b <<
D.
()()0f b g a <<
【解题指南】先由()0,()0f a g b ==确定a,b 的大小，再结合22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=的单调性进行判断.
【解析】选A. 因为0,(1)'=+>x f x e 所以()2=+-x f x e x 在其定义域内是单调递增的，
由()0=f a 知01,<<a 又因为0>x ，1()20'=+>g x x x
，故2()ln 3=+-g x x x 在(0,)+∞上也是单
调递增的，由 ()0=g b 知12<<b ，所以()()0<=g a g b ，0()()=<f a f b ，
因此()0()g a f b <<。

8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e 为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x -1)(x-1)k (k=1,2),则 ( ) A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【解题指南】当k=1,2时,分别验证f '(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.
【解析】选 C.当k=1时,f ′(x)=e x (x-1)+e x -1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=e x (x-1)2+(e x -1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)<0,在x=1附近右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.
9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )
【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.
【解析】选B.因为f '(x)>0(x ∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x ∈(-1,0)时,f '(x)
为增函数,x ∈(0,1)时,f '(x)为减函数,所以选B. 10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）
已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）
A.9
B.6
C.-9
D.-6
【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出a 的值. 【解析】选 D.由题意可知，点)2,1(+-a 在曲线上，因为ax x y 243+='，则
8)1(2)1(43=-⨯+-⨯a ，解得6-=a
二、填空题
11. （2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax 2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则a= .
【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.
【解析】对y=ax 2-lnx 求导得12y ax x
'=-,而x 轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为1210x y a ='=-=,解得12
a =. 【答案】1
2
.
12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，则)(x f 的最大值为_______.
【解题指南】首先利用数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称求出b a ,的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解. 【解析】因为函数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称，所以)4()0(-=f f ，得
a b 15604+-=，又a x b ax x x f +-+--=')1(234)(23，
而0)2(=-'f ，0)2()1(2)2(3)2(423=+-⨯-+---⨯-a b a .
得28411=-b a 即⎩⎨
⎧=-+-=28
41115604b a a
b ，解得8=a ，15=b .
故)158)(1()(22++-=x x x x f ，
则828244)(23+---='x x x x f )276(423-++-=x x x
)14)(2(42-++-=x x x
令0)(='x f ，即0)14)(2(2=-++x x x ，则2-=x 或52--=x 或52+-. 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：
=--)52(f ]15)52(8)52][()52(1[22+--⨯+-----=16)548)(854(=--- =+-)52(f ]15)52(8)52][()52(1[22++-⨯++-+--=16)548)(854(=+-
故)(x f 的最大值为16. 【答案】16 三、解答题
13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I ）求()2;a f x =-时，讨论的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围
【解析】（I ）当=a 2-时，1323)(23++-=x x x x f ，
3263)(2+-='x x x f .
令0)(='x f ，得121-=x ，122+=x .
当)12,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在)12,(--∞是增函数； 当)12,12(+-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在)12,12(+-是减函数； 当),12(+∞+∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),12(+∞+是增函数. （II ）由0)2(≥f 得4
5-≥a . 当4
5
-≥a ，),2(+∞∈x 时，
)12
5(3)12(3)(22+-
≥++='x x ax x x f 0)2)(21
(3>--=x x ，
所以)(x f 在),2(+∞是增函数，于是当),2(+∞∈x 时，0)2()(≥≥f x f . 综上，a 的取值范围是),4
5[+∞-.
14. （2013·江苏高考数学科·Ｔ20）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中
a 为实数。

（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。

【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax 求导,利用条件f(x)在(1,+∞)上是单调减函数求出a 的范围,再利用g(x)在(1,+∞)上有最小值求出a 的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化. 【解析】(1)令1
1()0ax
f x a x
x
-'=-=
<,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a -1,即f(x)在(a -1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a -1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a -1,+∞),从而a -1≤1,即a ≥1.令g'(x)=e x -a=0,得x=lna.当x<lna 时, ()g x ' <0;当x>lna 时, ()g x '>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,即a>e.综上,有a ∈(e,+∞).
(2)当a ≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令()g x '=e x -a>0,
解得a<e x ,即x>lna,因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有lna ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.
(i)当a=0时,由f(1)=0以及1()f x x
'=>0,得f(x)存在唯一的零点.
(ii)当a<0时,由于f(e a )=a-ae a =a(1-e a )<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a ,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a ,1)上存在零点.
另外,当x>0时,
01
)(>-='a x x f ,故f(x)在
(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.
(iii)当0<a ≤e -1时,令f'(x)=-a=0,解得x=a -1.当0<x<a -1时,()f x 'f>0,当x>a -1时,
()f x '<0,所以,x=a -1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a -1)=-lna-1.
①当-lna-1=0,即a=e -1时,f(x)有一个零点x=e. ②当-lna-1>0,即0<a<e -1时,f(x)有两个零点.
实际上,对于0<a<e -1,由于f(e -1)=-1-ae -1<0,f(a -1)>0,且函数f(x)在[e -1,a -1]上的图象连续,所以f(x)在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当
x ∈(0,a -1)时,f'(x)=1a x
->0,故f(x)在(0,a -1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a -1)上只有一个零点.
下面考虑f(x)在(a -1,+∞)上的情况,先证f(1
a e -)=a(a -2-1
a e -)<0.为此,
我们要证明:当x>e 时,e x >x 2.设h(x)=e x -x 2,则()h x '=e x -2x,再设()()l x h x '= =e x -2x,则
()l x '=e x -2.
当x>1时, ()l x '=e x -2>e-2>0,所以()()l x h x '=在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,()h x ' =e x -2x>(2)h ' =e 2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e 时,h(x)=e x -x 2>h(e)=e e -e 2>0.即当x>e 时,e x >x 2. 当0<a<e -1
,即a -1
>e 时，f(1
a e -)=a(a -2-1
a e -)<0,
又f(a -1)>0,且函数f(x)在[a -1, 1
a e -]上的图象连续,所以f(x)在(a -1, 1
a e -)上存在零点.
又当x>a -1时,f'(x)=
1
a x
-<0, 故f(x)在(a -1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a -1,+∞)上只有一个零点. 综合(i),(ii),(iii)可知,当a ≤0或a=e -1时,f(x)的零点个数为1, 当0<a<e -1时,f(x)的零点个数为2.
15. （2013·湖南高考理科·Ｔ22）已知0a >，函数()2x a
f x x a
-=+.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式.
(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解题指南】(1)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求出f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a).
(2)首先要根据函数的单调性讨论出a 取什么范围时可能存在两点,在该两点处的切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1去讨论求解. 【解析】（1）当a x ≤≤0时，a x x
a x f 2)(+-=；当a x >时，a
x a x x f 2)(+-=. 因此，当),0(a x ∈时，0)
2(3)(2
<+-='a x a
x f ，)(x f 在),0(a 上单调递减； 当),(+∞∈a x 时，0)2(3)(2
>+=
'a x a
x f ，)(x f 在),(+∞a 上单调递增.
② 4≥a ，则)(x f 在)4,0(上单调递减，2
1
)0()(==f a g .
②若40<<a ，则)(x f 在),0(a 上单调递减，在)4,(a 上单调递增，所以 g(a)=max{f(0),f(4)}.而
14a 1f (0)f (4)242a 2
a =，a ---=
-++，故当
1
0≤<a 时
a
a
f a
g 244)4()(+-=
=； 当41<<a 时，21
)0()(==
f a
g .综上所述，4a
,0a 142a
1, 1.2
g(a)a -<≤+>⎧=⎨⎩
（2）由（1）知，当4≥a 时，)(x f 在)4,0(上单调递减，故不满足要求.
当40<<a 时， )(x f 在),0(a 上单调递减，在)4,(a 上单调递增.若存在
))(4,0(,2121x x x x <∈，使曲线)(x f y =在))(,(11x f x ，))(,(22x f x 两点处的切线互相垂直，
则)4,(),,0(21a x a x ∈∈，且1)()(21-='⋅'x f x f ， 即
1)2(3)2(32
221-=+⋅+-a x a a x a ，亦即a
x a
a x 23221+=+，由，)4,(),,0(21a x a x ∈∈得x 1+2a ∈(2a,3a),
23a 3a
x 2a 42a
（,1）∈++. 故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=3a x 142a x|
⎧⎫
<<⎨⎬+⎩
⎭
的交集非空. 因为
3a 3a 42a
<+，所以当且仅当0<2a<1,即0<a<1
2时， A ∩B ≠Ø.
综上所述,存在a 使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a 的取值范围是1(0,).2
16.（2013·湖南高考文科·Ｔ21）已知函数f （x ）=x
e x 2
1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0.
【解题指南】第(Ⅰ)小题解题依据是在定义域下不等式0)(>'x f 的解集是原函数的增区间，不等式0)(<'x f 的解集是原函数的减区间。

第（Ⅱ）小题首先要确定在什么范围下f （x 1）=f （x 2），然后再构造新函数利用单调性去证明。

【解析】（Ⅰ）函数的定义域是(-∞,+∞)，
22
222222
11()()11211[(1)2](1)
12(1)x x
x x x x f x e e x x
x x x x x e e x x x --''=+++⎡⎤-----+=+=⎢⎥+++⎣⎦，
当0<x 时，0)(>'x f ，当0>x 时，0)(<'x f ，
所以)(x f 的单调递增区间是)0,(-∞，单调递减区间是),0(+∞。

（Ⅱ）当1<x 时，2
1-x
0,0,()01x e f x x
>>>+由于
故；同理，当1>x 时0)(<x f ，当))(()(2121x x x f x f ≠=时，不妨设21x x <，由（Ⅰ）知，)0,(1-∞∈x ，)1,0(2∈x ，下面
证明：)()(),1,0(x f x f x -<∈∀，即证x
x e x
x e x x -++<+-2
211)11(
，此不等式等价于01)1(<+--x x e x e x ，令x x e
x
e x x g +--=1)1()(，则)1()(2--='-x x e xe x g ，当)1,0(∈x 时，
()0,g x '< )(x g 单调递减，从而0)0()(=<g x g ，即01)1(<+--x x e
x
e x ，
所以)()(),1,0(x f x f x -<∈∀，而)1,0(2∈x ，所以)()(22x f x f -<，从而)()(21x f x f -<，由于)0,(,21-∞∈-x x ，)(x f 在)0,(-∞上单调递增，所以21x x -<，即021<+x x 。

17.（2013·江西高考文科·Ｔ21）设函数1
x,0x a a
f (x)1(1x),a x 11a ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩
a
为常数且a ∈
（0，1）.
（1）当1a 2
=时，求1f (f ())3
；
（2）若x 0满足f （f （x 0））= x 0,但f （x 0）≠x 0，则称x 0为f （x ）的二阶周期点.证明函数f （x ）有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2； （3）对于（2）中x 1，x 2，设A （x 1,f （f （x 1））），B （x 2,f （f （x 2）））,C(a 2,0)，记△ABC 的面积为S(a)，求S(a)在区间11[,]32
上的最大值和最小值.
【解题指南】（1）把a 的值代入，利用分段函数的解析式，由内到外进行求解；（2）先求出f （f （x ））的解析式，再根据二阶周期点的定义依次分段求解；（3）在第二问的基础上写出点A 、B 的坐标，把△ABC 的面积表示成a 的函数，再结合函数求最值得方法进行处理.
【解析】(1)当1a 2
=时，12f ()3
3
=，1222f (f ())f ()2(1).3
3
3
3
==-=
（2）2222221x,0x a ,a 1(x a),a x a,a(1a)
f (f (x))1
(x a),a x a a 1,(1a)1(1x),a a 1x 1.a(1a)
⎧≤≤⎪⎪
⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+⎪-⎪
⎪--+≤≤⎪-⎩ 当20x a ≤≤时，由
2
1
x x a =解得x 0=，因为f (0)0=，故x=0不是f （x ）的二阶周期点；
当2a x a <≤时，由1(x a)x a(1a)-=-解得22a
x (a ,a]a a 1
=∈-++, 因为2222
a 1a 1a
f (
)a a 1a a a 1a a 1a a 1
=⋅=≠-++-++-++-++， 故2a x a a 1
=-++为f （x ）的二阶周期点；
当2a x a a 1<<-+时，由2
1(x a)x (1a)-=-解得21
x (a,a a 1)2a
=∈-+-， 因为1111
f (
)(1)2a 1a 2a 2a
=-=----，故1
x 2a
=
-不是f （x ）的二阶周期点；
当2a a 1x 1-+≤≤时，由1(1x)x a(1a)-=-解得221
x [a a 1,1]a a 1
=∈-+-++ 因为2222
111a 1
f (
)(1)a a 11a a a 1a a 1a a 1
=-=≠-++--++-++-++， 故21x a a 1
=-++为f （x ）的二阶周期点.
综上，函数f （x ）有且仅有两个二阶周期点12a x a a 1=-++，221x a a 1
=-++.
(3)由（2）得22a a A(,)a a 1a a 1-++-++,2211
B(,)a a 1a a 1-++-++.
则221a (1a)
S(a)2a a 1
-=⋅-++，32221a(a 2a 2a 2)S (a)2(a a 1)--+'=⋅-++，
方法一：因为11a [,]32∈，有2
a a 1+<，所以3222
1a(a 2a 2a 2)S (a)2(a a 1)--+'=⋅-++ 22221a[(a 1)(a 1)(1a a)]02(a a 1)+-+--=⋅>-++，则S(a)在区间11
[,]32
上单调递增， 故S(a)在区间11[,]32
上的最小值为11
S()333=
，最大值为11S().220
=
方法二：令32g(a)a 2a 2a 2=--+
，则2g (a)3a 4a 23(a '=--=， 因为a (0,1)∈，g (a)0'<，所以g(a)在区间11[,]32
上的最小值为15g()02
8
=>，则对任意的
11a [,]32∈，g(a)0>.所以3222
1a(a 2a 2a 2)S (a)02(a a 1)--+'=⋅>-++，则S(a)在区间11
[,]32
上单调递增，故S(a)在区间11[,]32
上的最小值为11
S()333=
，最大值为11S().220
= 18.（2013·安徽高考文科·Ｔ20）与（2013·安徽高考理科·Ｔ17）相同 设函数f(x)=ax-(1+a 2)x 2，其中a ＞0，区间l ={x|f(x)>0}。

（Ⅰ）求l 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α)；
（Ⅱ）给定常数k ∈（0，1），当1-k ≤a ≤1+k 时，求l 长度的最小值。

【解题指南】（1）求出方程()=0f x 的两个根；（2）利用导数求函数的最小值。

【解析】（1）因为方程ax-(1+a 2)x 2=0(a>0)有两个实根122
0,,1a
x x a
故f(x)>0的解集为{x|x 1<x<x 2}，因此区间2
(0,
1a
l a
)，区间长度为21a a 。

（2） 设2
(),1a
d a a
则2221-()1a d a a '=+（），令()01d a a '==，得，由于0<k<0, 当'1-1,()0,()≤<>时k a d a d a 单调递增；当'11,()0,()<≤+<时a k d a d a 单调递减。

因此当1-1+,()≤≤时k a k d a 的最小值必定在1-=1+a k a k 或处取得。

而
23223
2
1(1)
21(1)1
1(1)
21(1
)k d k k k k k d k k k k ，故(1)(1)d k d k ，
因此当1,()a k d a 时在区间[1-k,1+k]上取得最小值
2
12-2+k
k k。

19.（2013·北京高考文科·Ｔ18）已知函数f(x)=x 2+xsin x+cos x. （1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b 相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。

【解题指南】（1）把已知条件转化为'()0,()f a f a b ==；
（2）转化为y=f(x)的极值与b 的关系。

【解析】（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+，
由线()y f x =在(,())a f a 处的切线为y b =，因此，'()0,()f a f a b ==， 于是22cos 0sin cos a a a a a a a b +=++=且， 解得0,a =1b =。

（2）由（1）知'()(2cos )f x x x =+，于是当0x >时，()f x 单调递增，当0x <时，()f x 单调递减，当0x =时，()f x 取得极小值1. 因此b 的取值范围为(1,)+∞。

20.(2013·福建高考理科·T17)已知函数f(x)=x-alnx(a ∈R ) (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数f(x)的极值.
【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程,欲求极值,先求单调性,要注意对参数a 进行讨论.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=1-a x
. (1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f ′(x)=1-2x
(x>0), 所以f(1)=1,f'(1)=-1,
所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. (2)由f ′(x)= 1--=
a
x a
x
x
,x>0可知: ①当a ≤0时,f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;
因为x ∈(0,a)时,f '(x)<0,x ∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=a 处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当a ≤0时,函数f(x)无极值,
当a>0时,函数f(x)在x=a 处取得极小值a-aln a,无极大值.
21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=w wx x f 的周期为π,
图象的一个对称中心为⎪⎭
⎫
⎝⎛0,4
π,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移2
π个单位长度后得到函数g(x)的图象.
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.
(2)是否存在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈4,60ππx ,使得f(x 0),g(x 0),
f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x 0的个数,若不存在,说明理由. (3)求实数a 与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在()πn ,0内恰有2 013个零点. 【解题指南】第(3)问要求考生化整体到局部,先研究函数在一个周期内图象的性质,再从特殊到一般地解决问题.
【解析】(1)由函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的周期为π,ω>0,得ω=2, 又曲线y=f(x)的一个对称中心为(,0)4
π
,ϕ∈(0,π),
故()sin(2)04
4
f ππ
ϕ=⨯+=,得ϕ=2
π
,所以f(x)=cos 2x.
将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x 的图象,再将y=cosx 的图象向右平移2
π个单位长度后得到函数g(x)=sin x.
(2)当x ∈(,)64
ππ
时,
12,0<cos2x<1
2
,
所以sinx>cos2x>sinxcos2x.
问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在(,)64
ππ
内是否有解,
设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x ∈(,)64
ππ
,
则G '(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).
因为x ∈(,)64ππ,所以G ′(x)>0,G(x)在(,)64
ππ
内单调递增.
又1()06
4
G π=-<，()04
G π
=
>. 且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(,)64
ππ
内存在唯一零点x 0,
即存在唯一的0(,)64
x ππ
∈满足题意.
(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,
当sin x=0,即x=k π(k ∈Z )时,cos 2x=1,从而x=k π(k ∈Z )不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x 的方程cos 2sin x
a x
=-
,x ≠k π(k ∈Z ), 现研究x ∈(0,π)∪(π,2π)时方程解的情况, 令cos 2()sin x
h x x
=-
,x ∈(0,π)∪(π,2π), 则问题转化为研究直线y=a 与曲线y=h(x)在x ∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况,
22
cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令h ′(x)=0,得2x π=或32
x π=. 当x 变化时,h(x)和h ′(x)变化情况如下表
当x>0且x 趋近于0时,h(x)趋向于-∞, 当x<π且x 趋近于π时,h(x)趋向于-∞, 当x>π且x 趋近于π时,h(x)趋向于+∞, 当x<2π且x 趋近于2π时,h(x)趋向于+∞,
故当a>1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点; 当a<-1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点; 当-1<a<1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点,
由函数h(x)的周期性,可知当a ≠±1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,n π)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,n π)内恰有2013个交点;当a=±1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以n=671×2=1 342.
综上,当a=±1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n π)内恰有2 013个零点. 22.（2013·福建高考文科·Ｔ22）已知函数()1x a
f x x e
=-+（a ∈R ,e 为自然对数的底数）.
（I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; （II ）求函数()f x 的极值;
（III ）当1a =时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. 【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a 进行讨论。

【解析】方法一：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+
，得()1x
a
f x e
'=-． 又因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，
得()10f '=，即10a e -=，解得a e =．
（Ⅱ）()1x a
f x e
'=-，
①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为R 上的增函数，所以函数()f x 无极值． ②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．
(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，
故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值． 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；
当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值．
（Ⅲ）当1a =时，()11x f x x e =-+
令()()()()1
11x g x f x kx k x e
=--=-+，
则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解． 假设1k >，此时()010g =>，1
1
11
101k g k e -⎛⎫=-+<
⎪-⎝⎭
， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤． 又1k =时，()1
0x g x e
=
>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 方法二：
（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一． （Ⅲ）当1a =时，()1
1x f x x e
=-+
． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于关于x 的方程1
11x
kx x e -=-+
在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()1
1x k x e
-= （*）
在R 上没有实数解．
①当1k =时，方程（*）可化为
1
0x
e =，在R 上没有实数解．
②当1k ≠时，方程（*）化为
1
1
x xe k =-． 令()x g x xe =，则有()()1x g x x e '=+． 令()0g x '=，得1x =-，
当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：
当1x =-时，()min g x e
=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，
从而()g x 的取值范围为1,e
⎡⎫
-+∞⎪⎢
⎣⎭
． 所以当
11,1k e ⎛
⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭
时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是()1,1e -． 综上，得k 的最大值为1．
23.（2013·广东高考理科·Ｔ21）设函数2()(1)e x f x x kx =--（k ∈R ）. （2）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；
（3）当1(,1]2
k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .
【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.
【解析】（1）当1k =时，2()(1)e x f x x x =--，求导可得()e 2(e 2)x x f x x x x '=-=-，令
()0f x '=可得0,ln 2x x ==，则当0x <时，()0f x '>；当0ln 2x <<时，()0f x '<；当ln 2
x >时，()0f x '>；所以函数()f x 的单调递增区间是(,0),(ln 2,)-∞+∞，单调递减区间是
(0,ln 2)；
（2）对2()(1)e x f x x kx =--求导可得()e (1)e 2(e 2)x x x f x x kx x k '=+--=-，因为1
(,1]2
k ∈，所以2(1,2]k ∈，令()0f x '=可得0,ln(2)x x k ==，显然0(ln 2)ln 2k <≤而ln 21<.则当
0ln(2)x k <<时，()0f x '<；当ln(2)x k >时，()0f x '>；所以函数()f x 的单调递增区
间是((ln 2),)k +∞，单调递减区间是(0,(ln 2))k . 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k
g k k k
-'=-=
≥,又当k=1时，0g k （）， 所以()g k 在1
,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上递增,
所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-, 令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<
所以()
k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥
⎝⎦
上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭
⎭
所以存在01,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
使得()00k ϕ=,且当01
,2
k k ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,
所以()h k 在01
,2
k ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增,在()0,1k 上单调递减. 因为17
028
h ⎛⎫=> ⎪
⎝⎭
,()10h =, 所以()0h k ≥在1
,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.
24.（2013·广东高考文科·Ｔ21）设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R ． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；
(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．
【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.
【解析】对函数32()f x x kx x =-+求导得()2
321f x x kx '=-+.
(1)当1k =时()2321f x x x '=-+，由41280∆=-=-<可知()0f x '>,()f x 在R 上单调递增.
（2）方法一：当0k <时，()2
321f x x kx '=-+，其图像开口向上，对称轴3
k x = ，
且过点()01，
（i ）当(2
41240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在[]
,k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k ==，当x k =-时，()f x 取
得最大值()333
2M f k k k k k k =-=---=--.
（ii ）当(241240k k k ∆=-=>，即k <()2
3210f x x kx '=-+=解
得
12x x ==
，注意到210k x x <<<，所以
()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ==-.
因为()()()()322
11111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>，所以()f x 的最小值()m f k k ==；
因为()()()()()2
32
322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<，所以()
f x 的最大值()3
2M f k k k =-=--；
综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()3
2M f k k k =-=--.
方法二：当
k <时，对
[]
,x k k ∀∈-，都有
32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥；
323322()()()(221)f x f k x kx x k k k x k x kx k --=-++++=+-++ 22()[()1]0x k x k k =+-++≤，故()()f x f k ≤-.
又()0f k k =<，3()20f k k k -=-->，所以3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==. 25. （2013·湖北高考理科·T22）设n 是正整数，r 为正有理数。

（Ⅰ）求函数()x f =)1(1)1()1(1->-+-++x x r x r 的最小值；
（Ⅱ）证明：1)1(11+--++r n n r c <n r <1
)1(11
+-+--r n n r r ；
（Ⅲ）设∈x R ,记[x ]为不小于的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-2
3]=-1. 令S =+++333838281…3125，求[S ]的值。

（参考数据：803
4≈344.7，813
4≈350.5，1243
4≈618.3，1263
4≈631.7） 【解题指南】导数的应用；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论证明。

（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论r 和n 取特殊值后累加可得。

【解析】（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =. 当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.
故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即
1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，
故当1x >-且0x ≠时，有
1(1)1(1)r x r x ++>++.
①
在①中，令1x n
=（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n
n
+++>+.
上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即
11(1).1
r r r
n n n r +++-<+
②
当1n >时，在①中令1x n
=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得
11(1).1
r r r
n n n r ++-->+
③
且当1n =时，③也成立. 综合②，③得
1111(1)(1).11
r r r r r
n n n n n r r ++++--+-<<++
④
（Ⅲ）在④中，令13
r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得
4444
3333338180(8281)44--（）， 4444
3333338281(8382)44--（）， 4444
3333338382(8483)44
-<-（）， ………
4444
333333125124(126125)44
-<-（）. 将以上各式相加，并整理得
444433333312580(12681)44
S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），44
3
3312681210.94
-≈（）.
由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.
26. （2013·湖北高考文科·T21）设0a >，0b >，已知函数()1
ax b f x x +=+.
（Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.
（i ）判断(1)f ,
f ,()b
f a
是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；
（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称
2ab
a b
+为a 、b 的调和平均数，记为H .若
()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.
【解题指南】（Ⅰ）求出函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，注意分类
讨论。

（Ⅱ）（i ）表示出(1)f ,
f ,()b
f a
用等比中项加以证明，()b f f a ≤由基
本不等式可以证明；（ii ）用（Ⅰ）的结论函数的单调性分类证明。

【解析】（I ）),,1()1,()(+∞---∞ 的定义域为x f 22
(1)()()(1)(1)
a x ax
b a b
f x x x +-+-'=
=++， 当a b >时，()0f x '>，函数)(x f 在(,1),(1,)-∞--+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数)(x f 在(,1),(1,)-∞--+∞上单调递减。

（II ）（i ）计算得0)(,02)(,02)1(>=>+=>+=ab a
b
f b a ab a b f b a f ， 故2
)]([22)()1(a
b f ab b a ab b a a
b
f f ==+⋅+=
，即 2)]([)()1(a
b
f a b f f = ①
所以)(),(),1(a
b
f a b f f 成等比数列。

因
)()1(,2a b f f ab b a ≥≥+即，由①得)()(a
b f a b f ≤。

（ii ）由（i ）知G a
b
f H a b f ==)(,)(，故由G x f H ≤≤)(，得 )(
)()(a
b
f x f a b f ≤≤
② 当b a =时，a a
b
f x f a
b
f ===)(
)()( 。

这时，x 的取值范围是),0(+∞； 当b a >时，10<<a
b ，从而a
b
a b <，由上单调递增与在),0()(+∞x f ②式得
a
b
x a b ≤
≤，即x 的取值范围是],[a b a b ；
当 b a < 时，
1>a b ，从而a
b
a b >
，由上单调递减与在),0()(+∞x f ②式得
a
b
x a b ≤≤，即x 的取值范围是],[a b a b 。

27. （2013·山东高考理科·Ｔ21）设函数2()( 2.71828x x
f x c e e
=+=是自然对数
的底数，)c R ∈.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间，最大值； （Ⅱ）讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数.
【解题指南】（Ⅰ）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间，然后再利用单调性求最值.（Ⅱ）将求函数根的个数问题转化为求函数零点的个数，利用函数的导数来判断函数的单调性，然后利用单调性判断函数零点.
【解析】（Ⅰ）()()x e x x f 221--='， 由()0='x f 解得2
1=x ，
当21
<x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；
当2
1
>x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减.
所以，函数()x f 的单调递增区间是⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∞-21,，单调递减区间是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,2
1，
最大值为e e f +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-12
121.
（Ⅱ）令()()c xe x x f x x g x --=-=-2ln ln ，()+∞∈,0x ， ① 当()+∞∈,1x 时，0ln >x ，则()c xe x x g x --=-2ln ， 所以()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+='-1222x x e e
x g x x
， 因为0,0122>>-x
e x x
，
所以()0>'x g .
所以()x g 在()+∞,1上单调递增.
② 当()1,0∈x 时，0ln <x ，则()c xe x x g x ---=-2ln 所以()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-='-1222x x e e
x g x x
， 因为()22,1e e x ∈，012>>>x e x ，
所以12-<-x
e x
. 又112<-x ，
所以0122<-+-x x
e x
，即()0<'x g . 因此()x g 在()1,0上单调递减，
综合①②可知，当()+∞∈,0x ，()()c e g x g --=≥-21， 当()012>--=-c e g ，即2--<e c 时，()x g 没有零点， 故关于x 的方程()x f x =ln 根的个数为0；
当()012=--=-c e g ，即2--=e c 时，()x g 只有一个零点， 故关于x 的方程()x f x =ln 根的个数为1； 当()012<--=-c e g ，即2-->e c 时， a.当()+∞∈,1x 时，由（Ⅰ）知
()c x c e x c xe x x g x -->⎪⎭
⎫
⎝⎛+-≥--=--1ln 21ln ln 12，
要使()0>x g ，只需要01ln >--c x ，即()+∞∈+,1c e x . b.当()1,0∈x 时，由（Ⅰ）知
()c x c e x c xe x x g x --->⎪⎭
⎫
⎝⎛+--≥---=--1ln 21ln ln 12，
要使()0>x g ，只需要01ln >---c x ，即()c e x --∈1,0， 所以2->e c 时，()x g 有两个零点， 故关于x 的方程()x f x =ln 根的个数是2. 综上所述，
当2-<e c 时，关于x 的方程()x f x =ln 根的个数是0； 当2-=e c 时，关于x 的方程()x f x =ln 根的个数是1； 当2->e c 时，关于x 的方程()x f x =ln 根的个数是2.
28. （2013·山东高考文科·Ｔ21）已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈. (Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间；
(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小.
【解题指南】（Ⅰ）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间.（Ⅱ）由条件知，()1f 为函数的最小值，然后构造函数，利用函数的单调性比较两数的大小..
【解析】（Ⅰ）由()()+∞∈-+=,0,ln 2x x bx ax x f ，
得()x
bx ax x f 122-+='.
（1）当0=a 时，()x
bx x f 1
-=
' ①若0≤b ，当0>x 时，()0<'x f 恒成立， 所以函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0
②若0>b ，当b
x 1
0<<时，()0<'x f ，函数()x f 的单调递减， 当b
x 1>时，()0>'x f ，函数()x f 的单调递增，
所以函数()x f 的单调递减区间是⎪⎭
⎫ ⎝⎛b 1,0，单调递增区间是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1b
.
（2）当0>a 时，()0='x f ， 得0122=-+bx ax ，
由082
>+=∆a b 得a
a
b b x a a b b x 48,482221++-=+--=
显然，0,021><x x
当20x x <<时，()0<'x f ，函数()x f 的单调递减， 当2x x >时，()0>'x f ，函数()x f 的单调递增，
所以函数()x f 的单调递减区间是⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++-a a b b 48,02，单调递增区间是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞++-,482a a b b ， 综上所述
当0=a ，0≤b 时，函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0
当0=a ，0>b 时，函数()x f 的单调递减区间是⎪⎭
⎫ ⎝⎛b 1,0，单调递增区间是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1b
当0>a 时，函数()x f 的单调递减区间是⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++-a a b b 48,02，单调递增区间是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞++-,482a a b b . (Ⅱ) 由0a >，且对于任意0x >， ()(1)f x f ≥，则函数()x f 在1=x 处取得最小值，
由（Ⅰ）知，a a b b 482++-是()x f 的唯一的极小值点，
故1482=++-a a b b ，整理得
12=+b a 即a b 21-=.
令()x x x g ln 42+-=，。