江苏省专转本(高等数学)模拟试卷59(题后含答案及解析)

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷59(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设=e2，则m的值为( )。

A．
B．2
C．一2
D．
正确答案：C
解析：= 一2。

2．当x→0时，在下列变量中为无穷小量的是( )。

A．ex一1
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：选项A：(ex一1)=0：选项B：=1：选项C：=e；选项D：=1。

3．∫41|x2—3x+2|dx的值为( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：∫41|x2—3x+2|dx=∫21(—x2+3x—2)dx+∫42(x2—3x+2)dx=
4．下列说法不正确的是( )。

A．是发散的
B．是发散的
C．是收敛的
D．是发散的
正确答案：D
解析：un==ln(n+1)—lnn，Sn=u1+2+…+un=ln(n+1)，
=∞所以是发散的；因为不存在，所以是发散的；un=；是收敛的，由比较审敛法知也收敛。

因为
=0是收敛的。

5．在下面曲面中，为旋转抛物面的是( )。

A．x2+y2=z2
B．x2+y2+2z2=1
C．
D．x2+y2=2x
正确答案：C
解析：A项为圆锥面，B项为球面。

6．设f(x，y)=+(y一1)ln(x2.y)，贝f′x(x，1)=( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：f(x，1)=，故。

填空题
7．定积分∫20|x—1|dx=_________。

正确答案：1
解析：∫20|x—1|dx=∫10(1—x)dx+∫21(x—1)dx=(x—)|10+(—x)|21=+=1。

8．曲线y=4—的拐点是_________。

正确答案：(1，4)
解析：y′=，y″=当x=1时，y″==0。

当x∈(一∞，1)时，y″0，当x=1时，y=4，所以拐点是(1，4)。

9．若f(x)=，则f[f(f(x))]=_________。

正确答案：x
解析：f[f(f(x))]=====x。

10．已知a，b均为单位向量，且a.b=，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为_________。

正确答案：
解析：根据向量叉积，以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为S=|a|.|b|sin
θ=|a×b|，由已知，|a|=1，|b|=1，a.b=|a|.|b|cosθ=，所以cosθ=，可得sinθ=，可得平行四边形面积为|a×b|=|a||b|sinθ=。

11．的收敛半径和收敛域为_________。

正确答案：，[，]
解析：an=，R===，当x=时，级数
=，收敛；当x=时，级数=收敛。

故原级数收敛域为[，]
12．若z=，则=_________。

正确答案：(，)
解析：=，=，把(1，一1)代入即可。

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

13．设方程确定x2+y2+z2—4z=0确定z=z(x，y)，求。

正确答案：
解析：(1)F=x2+y2+z2一4z，F′x=2x，F′y=2y，F′z=2z一4。

(2)(3)
14．计算I=(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤2x。

正确答案：π
解析：(1)画出积分区域D(2)I=D关于x轴对称，Y关于y为奇函数，
=0I=
=π15．判别的敛散性。

正确答案：收敛
解析：解法(1)：这是正项级数，且收敛|q|=＜1，由比较法非极限形式知收敛。

解法(2)：收敛，收敛，由性质知也收敛。

16．将f(x)=展开成x的幂级数。

正确答案：(一1＜x＜1)
解析：解法(1)：f(x)=x=x=
，收敛域：|||x|=(一1＜x＜1)
17．求xydx+=0满足y(一1)=2的特解。

正确答案：y=
解析：(1)可分离变量方程。

(2)，
，lny=+C1，lny=+C1。

(3)y=，又y(一1)=2，C=2，特解y=
18．已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为r1、2=1±2i，求此微分方程。

正确答案：y″一2y′+5y=0
解析：(1)特征方程：(r一1—2i)(r一1+2i)=0，(r一1)2一(2i)2=0，(r一1)2一4i2=0(i2= 一1)，r2一2r+1+4=0，r2一2r+5=0。

(2)微分方程：y″一2y′+5y=0。

19．设y=xarcsin+，求y′及y″。

正确答案：、
解析：(1)y′==( 2)y″=
20．求曲线y=x2+的凹凸区间与拐点。

正确答案：拐点(0，一1)及(1，)；(一∞，0)，(1，+∞)为凹区间，(0，1)为凸区间
解析：(1)定义域(一∞，+∞)。

(2)y′=y″
=令y″=0，y″==0，得x=0；y″不存在的点为x=1。

(3)列表
综合题
21．试求由抛物线(y一2)2=x一1和与抛物线相切于纵坐标y0=3处的切线以及x轴所围成图形面积。

正确答案：抛物线(y一2)2=x一1，顶点在(1，2)，开口向右，切点纵坐标为3，则x坐标为2，则切线斜率为k=，而y′=，所以k=，切线方程y一3=，改写成x=2y一4，S=∫30[(y—2)2+1—(2y—4)]dy=9 22．从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?
正确答案：设余下部分的圆心角为φ时所卷成的漏斗容积V最大，漏斗的
底半径为r，高为h，则2πr=Rφ，h=，V=πr2h=r2，V′=，r=R此时φ=，即当余下的圆心角为φ=时漏斗容积最大。

23．某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是y(x)=，其中x为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失元，问为了获得最大盈利，每大的生产量为多少?
正确答案：设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品数为(x—xy)件，因为当x≥50时次品率为1，为获最大利润故必0≤xxy，(0
≤x—令u′=0，得y+xy′=将y=代入，解得x=51±，即x≈42．8或x≈59．25，舍去x≈59．25．比较U(0)=0，U(42)=166．4，u(43)=189．9的值，故日生产量为43件时，获得最大盈利。

证明题
24．证明：函数f(x)=在x=0处连续，在x=0处不可导。

正确答案：因为，所以=0，又f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处连续。

因为
==，==，所以函数f(x)在x=0处不可导。

25．证明：当x>0时，(x2—1)lnx≥(x一1)。

正确答案：令F(x)=lnx一，显然，F(x)在(0，+∞)上连续。

由于F′(x)=，故F(x)在(0，+∞)上单调递增，于是，当0＜x＜1时，F(x)＜F(1)=0，即lnx＜，又(x2一1)lnx＞(x一1)2，故(x2一1)lnx＞(x一1)2；当x≥1时，F(x)≥F(1)=0，即lnx≥，又x2一1≥0，故(x2—1)lnx≥(x一1)2</。