河北省故城县高级中学高二数学下学期升级考试试题文

高二数学（文）升级考试试卷
时间120分钟 满分150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z ＝1
i －1的模为( )
A.12
B.
22
C. 2
D ．2
2．命题“对于任意角θ，cos 4
θ－sin 4
θ＝cos2θ”的证明：“cos 4
θ－sin 4
θ＝(cos 2
θ－sin 2
θ)(cos 2
θ＋sin 2
θ)＝cos 2
θ－sin 2
θ＝cos2θ”过程应用了
( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证明法
3. 下列有关线性回归的说法，不正确的是( ) A ．相关关系的两个变量不是因果关系 B ．散点图能直观地反映数据的相关程度
C ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D ．任一组数据都有回归方程
4．在极坐标系中，点(2，π
3)与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为( )
A ．2 B.
4＋π
2
9
C.
1＋π
2
9
D. 3
5．若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h 1，h 2，
h 3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )
A ．h >h 1＋h 2＋h 3
B ．h ＝h 1＋h 2＋h 3
C ．h <h 1＋h 2＋h 3
D ．h 1，h 2，h 3与h 的关系不定
6．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是1
3，那么另一组数据3x 1－2,3x 2
－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为
( )
A ．2，13
B ．2,1
C ．4,3
D ．4，－1
7．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2
＋b 2
＝3，a 3
＋b 3
＝4，a 4
＋b 4
＝7，a 5
＋b 5
＝11，…，则a 10
＋b 10
＝( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：
甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m
106
115
124
103
) A ．甲 B ．乙 C ．丙
D ．丁
9．设n ∈N *
，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算知f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52
，f (16)＞3，
f (32)＞72
，由此猜想( )
A ．f (2n )＞2n ＋1
2
B ．f (n 2
)≥
n ＋2
2
C ．f (2n
)≥
n ＋2
2
D ．以上都不对
10．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )
A ．720
B ．360
C ．240
D ．120 11．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3t ，
y ＝2－4t
(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为
( )
A ．－35
B .－45
C .35
D.45
12. p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d
n
(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )
A ．p ≥q
B ．p ≤q
C ．p ＞q
D ．不确定
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 14．在极坐标系中，O 为极点，设点A (4，π3)，B (5，－5π
6)，则△OAB 的面积为________．
15．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9
b
＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是
________．
16．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②回归方程y ^
＝bx ＋a 必过点(x ，y )； ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2
＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误的是________．
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
已知复数x 2
＋x －2＋(x 2
－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求x 的值．
18．(本小题满分12分)
用秦九韶算法求多项式f (x )＝8x 7
＋5x 6
＋3x 4
＋2x ＋1，当x ＝2时的值 19．(本小题满分12分)
已知数列{a n }的各项为正数，观察程序框图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝10
21.
(1)试求数列{a n }的通项；
(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值．
20．(本小题满分12分)
已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
21．(本小题满分12分)
某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：cm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂： 分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数
12
63
86
182
92
61
4
分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数
29
71
85
159
76
62
18
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲厂乙厂合计优质品
非优质品
合计
附K2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
，
22．(本小题满分12分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
高二数学（文）升级考试试卷参考答案 1．解析：z ＝i ＋1i －1i ＋1＝－12－i
2
，|z |＝
1
2
2
＋
12
2
＝
22
. 答案：B
2. 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 故选B. 答案：B
3. 解析：根据两个变量属相关关系的概念，可知A 正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的离散程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B 、C 正确；只有线性相关的数据才有回归直线，所以D 不正确．
答案：D
4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3
＝1y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝3可知，点(2，π
3
)的直角坐标为(1，3)．圆
ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间
的距离为 3.
答案：D
5.解析：. 由点P 是正三角形ABC 的边BC 上一点，且P 到另两边的距离分别为h 1，h 2，正三角形ABC 的高为h ，由面积相等可以得到h ＝h 1＋h 2.于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B.
答案：B
6. 解析：由题意知，1
5
(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝2，
15[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＋(x 5－2)2
]＝13， 所以另一组数据的平均数为1
5[3(x 1＋x 2＋…＋x 5)－2×5]＝4，
方差为15[(3x 1－6)2＋(3x 2－6)2＋…＋(3x 5－6)2
]
＝9×15[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 5－2)2
]＝3.
答案：C
7. 解析：记a n ＋b n
＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *
，n ≥3)，则
f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)
＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10
＝123.
答案：C
8. 解析：根据线性相关的知识，检查模拟情况的差别，要尽量保证相关系数|r |接近1，同时保证残差平方和尽可能小，根据实验结果，显然丁要好一些．
答案：D
9. 解析：由f (2)，f (4)，f (8)，f (16)可猜想f (2n
)≥n ＋2
2
.
答案：C
10. 解析：由程序框图知，当n ＝6，m ＝4，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2； 第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3； 第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4；
第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环； 输出p ＝360，故选B. 答案：B
11. 解析：由题意知，直线l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0.设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43.由1cos 2θ＝1＋tan 2θ知cos 2
θ＝925.∵π2<θ<π，∴cos θ＝－35
，故选A
答案：A 12. 解析：q ＝
ab ＋mad n ＋nbc
m
＋cd
≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p . 答案：B
13.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －1＝0，a ＋1＝
b ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，
所以a ＋b i ＝1＋2i.
答案：1＋2i
14. 解析：点B (5，－5π6)即B (5，7π6)，且点A (4，π3)，
∴∠AOB ＝
7π6－π3＝5π6，所以△OAB 的面积为S ＝12·|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝1
2
×4×5×sin 5π6＝12×4×5×1
2
＝5.
答案：5
15. 解析：因为a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝b a ＋9a b ＋10≥16(当且仅当b a ＝9a
b
，即b ＝3a 时取等
号)，a ＋b ≥μ恒成立⇔μ≤(a ＋b )min ，
所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)， 故0<μ≤16. 答案：(0,16]
16. 解析: ①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确． 答案：③④
17. 解：因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2
＋x －2＋(x 2
－3x ＋2)i ＝4
＋20i ，根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋x －2＝4， ①x 2
－3x ＋2＝20， ②
方程①的解为x ＝－3或x ＝2，方
程②的解为x ＝－3或x ＝6，所以x ＝－3.
18. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f (x )＝8x 7＋5x 6＋0·x 5＋3x 4＋0·x 3＋0·x 2＋2x ＋1
＝((((((8x ＋5)x ＋0)x ＋3)x ＋0)x ＋0)x ＋2)x ＋1， 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式x ＝2时的值．
v 0＝8，v 1＝8×2＋5＝21，
v 2＝21×2＋0＝42，v 3＝42×2＋3＝87， v 1＝87×2＋0＝174，v 5＝174×2＋0＝348， v 6＝348×2＋2＝698，v 7＝698×2＋1＝1397，
所以当x ＝2时，多项式的值为1397.
19. 解：由题中框图可知S ＝
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a k a k ＋1
，
易知数列{a n }是等差数列，设公差为d ， 则有
1
a k a k ＋1＝1d (1a k －1
a k ＋1
)，
故S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1
a k ＋1
)
＝1d (1a 1－1a k ＋1
)．
(1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1d 1a 1－
1
a 6＝5
11，1d 1
a 1－1
a 11
＝1021
.解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1d ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1
d ＝－2
(舍去)，故a n ＝a 1＋(n －1) d
＝2n －1.
(2)由(1)可知b n ＝2a n ＝2
2n －1，
∴b 1＋b 2＋…＋b m ＝21
＋23
＋…＋22m －1
＝2
1－4
m
1－4
＝23
(4m
－1)．
20. 解：(Ⅰ)将⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t
消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2
＝25，
即C 1：x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0.
将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2
－8x －10y ＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(Ⅱ)C 2的普通方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2
－2y ＝0
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π
2
)．
21. 解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360
500
＝72%； 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320
500＝64%.
(2)
甲厂 乙厂 合计 优质品 360 320 680 非优质品
140
180
320
合计
500 500 1000
k ＝
1000×360×180－320×1402
500×500×680×320
≈7.35>6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
22. 解：1)选择②式，计算如下：
sin 215°＋cos 2
15°－sin15°sin15°＝1－12sin30°
＝1－14＝34
.
(2)由上述5个式子的结构特征可知，三角恒等式为sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3
4
.
进入如下证明：
证法一：sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2
α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2
－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2
α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α
＝34sin 2
α＋34cos 2α ＝34
. 证法二：sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝
1－cos2α2＋1＋cos230°－α
2－sin α(cos30°cos α＋sin30°·sin α) ＝
1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－32sin αcos α－12
sin 2
α ＝12－cos2α2＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－34sin2α－1
4(1－cos2α) ＝34。