一个双边不等式的统一再处理

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罗增儒
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பைடு நூலகம்
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(" % " ) $(" % # ) # % " %! "" $(" % # ) $ " 等号当且仅当 " & # & " 时成立 ! % 虽然这个不等式可以直接用代数方法处理 (如
% ( ’ $ () , 复数 平方法, 平均值不等式 " ’% $ (% # " % 模不等式 ) *" ) $ ) *% ) $ ) *’ ) $ ) *( ) # ) *" $ *% $ , 但图形处理有其独立存在的 *’ $ *( ) 等多种途径) 价值, 尤其是图形的 “共时性”与 “整体性”特征, 能 使我们既不受 “时间顺序”的束缚, 又不受 “逻辑顺 序” 的束缚, 一览无遗地把握问题的深层结构 (一眼 在单位正方形中, 由两点间线段 看到底了) ! 如图 ", 最短有: %, +. $ +/ # ./ & " %, +, $ +- # ,- & " 相加即得所求, 当且仅当点 + 与中心点 0 重合时 (" " ) 取等号 ! 文 ["] 的工作是继续讨论不等式 & # & % 左边的最小上界, 并用几何方法证明了 !
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#% ( # ’$ 这就数形结合地统一证明了例 "、 例 #, 并且还 得出一个有趣的推论 (即 # 式) : 并且 , ’ - ( ", 则 例 & 若 ,, - 为正数, % # $ ,# ’ " ’ $ - # ’ " . $ # ’ "% $ 对这个不等式的左边作推广, 本刊文 [#] 曾讨论 过% # 新解法的产生 一个题目有多种解法是很自然的, 它源于数学 本身的网状结构和不同解题主体的思维多样性 % 作 为思维过程的暴露, 我们来介绍如何通过解题的专 业分析而获得统一的处理, 分为 ! 步 % (") 我们首先看到, 例 " 证明的实质步骤是 “两 点间线段最短” , 或者说是 “三角形的两边之和大于 第三边” 本质上 % 而例 # 的证明则用到梯形的性质, 是两条折线和之间的比较大小 % 三角形与梯形在形 式上的差异是我们统一两个解法的一个明显障碍 % (#) 为了消除这个形式上的障碍, 我们反复观察 图 #, 思考如何将梯形性质转化为三角形中的性质 %
“两数之和不大于另两数之和”的形式, 与 !、 "式 有相同的结构, 只是数据不同, 于是, 再用一次例 !, 就证出了例 % % 所以, 本文的统一解法是反思的结果, 是从文 ["] 的解题过程分析中提炼出来的 (有新意, 但未必 是最好的) % 我们认为这是学会怎样解题的一个有效 途径, 它能优化我们的知识结构, 提高我们直接探 索、 直觉发现的能力, 它不能代替直接探索, 但可以 成为通向直觉发现的一个逻辑通道 % 参考文献 ["] 程龙海 % 一道常见不等式的最小上界 [ ’] % 中学数 学杂志 (高中) , ($) #((( % [#] 程若礼 % 一个无理不等式的再推广 [ ’] % 中学数学 杂志 (高中) , (%) #((# %
中学数学杂志 (高中) %##) 年第 % 期
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一个双边不等式的统一再处理
陕西师范大学数学系
本刊文 ["] 曾就一个常见无理不等式 (例 ") , 提 出并用数形结合的方法找出了它的最小上界 (例 %) ! 本文首先用一个更简明的几何事实统一处理例 "、 然后暴露如何从解题过程的分析中提炼新解 例 %, 法的思维轨迹 ! " 新解法的呈现 为了阅读的方便, 我们首先对问题及其处理作 一简要的陈述 ! "&" 解题案例 几乎在每一个谈论数形结合的场合, 人们都会 提到下述不等式的构图解法: 则 例 " 若 # ! ", # ! ",
中学数学杂志 (高中) #((% 年第 # 期 首先看到 " !$" 与 " #$" 面积相等, 想用等积变 形, 没有获得新的结果 % 然后想到关键是保持 ! 条线 段相等, 而改变位置, 终于发现将 " !"# 关于 !# 对 称到梯形外部时, 如图 %, 可把 !$ ’ !" / $# ’ #" 转化为 !$ ’ !"0 / $# ’ #"0 并且连结 $"0 时, 能同时有 $# ’ #"0 / $"0 这使我们想到例 ( , 并确信例 ! 初中课本的题目) 例 #% ! 能统一证明例 "、
# 恰好也是 #, $" ’ *# ’ $" ’(" + * ) #" ’$
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$! 证明 如图 !, 满足 !" ! "# , $# ! "# % 在 有 " !$" 中, !$ # !& ’ &$ # !" ’ "$ % (") 取 "# ( ", "& ( ) , !" ( * , &# ( " + ) , , 有 $# ( " + ( * 从而 !" ’ $# ( ") !$ ( $ #, !& ( $ )# ’ *# ,
等号当且仅当 ( ", 取 (#, ( ,#, ( ,", ( ,", 其 #) #) ") #) ") 中之一时成立 ! 文 ["] 用来证明例 % 的核心知识是关于直角梯 形的一个引理: 在直角梯形 ,.-/ 中, 例 ’ 如图 %, ,/ $ .- , , 则有 ,. % .,. $ ,- 1 ./ $ /- ! 容易看出, 用例 ’ 来证明例 %, 在形式上与用 “两 本文新处理的 点间线段最短” 来证明例 " 很不相同, 特点是用一个更简明的几何事实 (例 () , 既简化例 % 的处理, 又把例 " 与例 % 同时完成 ! "&% 解法改进 首先, 作为引理呈现一个几何结论, 然后反复应 例( 的 用这个结论, 得出同时完成例 "、 % 合并为例 )) 统一证明 ! 例 ( 如图 ’, 在 & ,.- 中, 取不在其形外的一 则有 ,- $ .- # ,/ $ ./ # ,. ! 点 /, 当点 / 与 - 重合时, 第一个不等式取等号; 当点 第二个不等式取等号 ! / 在线段 ,. 上时, 证明 延长 ,/ 交 .- 于 2 , 由两点间线段最短, 有 ,/ $ ./ # ,. , ! ,- $ -2 # ,2 & ,/ $ /2 , " /2 $ .2 # ./ , # 由 " $ # 可得 ,- $( .2 $ -2)$ /2 # ,/ $ ./ $ /2 , 即 ,- $ .- # ,/ $ ./ $ 由 !、 $ 得 ,- $ .- # ,/ $ ./ # ,. ! 其中 ! 式取等号当且仅当点 / 在线段 ,. 上; 式取等号当且仅当 从而又在 ,,, /, -, 2 共线, " 上; 式取等号当且仅当 , , 共线, 从而 / 在 .. / 2 # 上, 所以 $ 式取等号当且仅当点 / 与 - 重合 !
# # , (" + ) ) !" ( * , &$ ( $ ’(" + * ) # $" ( $" ’(" + * ) # # 得$ (" + ) ) # # $ )# ’ *# ’ $ ’(" + * ) # # * ’ $" ’(" + * ) (#) 取 "# ( ", "& ( ) , &# ( " + ) , 又有 !" ( " + * , $# ( * ,
%" 图% 图& ($) 为了能用例 ! 来证明例 %, 我们回到图 ", 首 先擦掉 &$ , , , , 如图 , 集中考虑 &# $# 12 & &! ’ &" 的放缩, 虽然此时在 " !$" 中有 !" # &! ’ &" # !$ ’ $" , 只是个上界, 还不是最小的 % 怎样找 但 !$ ’ $" ( #, 出例 ! 中所需要的 " !$", 成为我们所遇到的第 # 个 障碍 % 为了得到最小上界, 我们移动点 &, 认为 & 到达 用 " !3" 代替 " !$" 能缩小上界, 得出更好 点 3 时, 估计, 从而连结 3", 再擦去无关线段, 得出图 ! % (!) 应用图 ! 计算出 !、 但两式相加 " 很顺利, 未能得出常数, 而 得出 $ 式, 最小上界并没有象预 期的那样直接出来, 这说明局部的思考尚未揭示整 体的特征, 这是我们所遇到的第 $ 个障碍 % 但它比前 两个障碍要简单一点, 因为所要证明的式子 %
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