一个双边不等式的统一再处理

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万方数据
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罗增儒
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பைடு நூலகம்
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（" % " ） $（" % # ） # % " %! "" $（" % # ） $ " 等号当且仅当 " & # & " 时成立 ! % 虽然这个不等式可以直接用代数方法处理 （如
% （ ’ $ (） ， 复数 平方法， 平均值不等式 " ’% $ (% # " % 模不等式 ) *" ) $ ) *% ) $ ) *’ ) $ ) *( ) # ) *" $ *% $ ， 但图形处理有其独立存在的 *’ $ *( ) 等多种途径） 价值， 尤其是图形的 “共时性”与 “整体性”特征， 能 使我们既不受 “时间顺序”的束缚， 又不受 “逻辑顺 序” 的束缚， 一览无遗地把握问题的深层结构 （一眼 在单位正方形中， 由两点间线段 看到底了） ! 如图 "， 最短有： %， +. $ +/ # ./ & " %， +, $ +- # ,- & " 相加即得所求， 当且仅当点 + 与中心点 0 重合时 （" " ） 取等号 ! 文 ［"］ 的工作是继续讨论不等式 & # & % 左边的最小上界， 并用几何方法证明了 !
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#% ( # ’$ 这就数形结合地统一证明了例 "、 例 #， 并且还 得出一个有趣的推论 （即 # 式） ： 并且 , ’ - ( "， 则 例 & 若 ,， - 为正数， % # $ ,# ’ " ’ $ - # ’ " . $ # ’ "% $ 对这个不等式的左边作推广， 本刊文 ［#］ 曾讨论 过% # 新解法的产生 一个题目有多种解法是很自然的， 它源于数学 本身的网状结构和不同解题主体的思维多样性 % 作 为思维过程的暴露， 我们来介绍如何通过解题的专 业分析而获得统一的处理， 分为 ! 步 % （"） 我们首先看到， 例 " 证明的实质步骤是 “两 点间线段最短” ， 或者说是 “三角形的两边之和大于 第三边” 本质上 % 而例 # 的证明则用到梯形的性质， 是两条折线和之间的比较大小 % 三角形与梯形在形 式上的差异是我们统一两个解法的一个明显障碍 % （#） 为了消除这个形式上的障碍， 我们反复观察 图 #， 思考如何将梯形性质转化为三角形中的性质 %
“两数之和不大于另两数之和”的形式， 与 !、 "式 有相同的结构， 只是数据不同， 于是， 再用一次例 !， 就证出了例 % % 所以， 本文的统一解法是反思的结果， 是从文 ［"］ 的解题过程分析中提炼出来的 （有新意， 但未必 是最好的） % 我们认为这是学会怎样解题的一个有效 途径， 它能优化我们的知识结构， 提高我们直接探 索、 直觉发现的能力， 它不能代替直接探索， 但可以 成为通向直觉发现的一个逻辑通道 % 参考文献 ［"］ 程龙海 % 一道常见不等式的最小上界 ［ ’］ % 中学数 学杂志 （高中） ， （$） #((( % ［#］ 程若礼 % 一个无理不等式的再推广 ［ ’］ % 中学数学 杂志 （高中） ， （%） #((# %
中学数学杂志 （高中） %##) 年第 % 期
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一个双边不等式的统一再处理
陕西师范大学数学系
本刊文 ［"］ 曾就一个常见无理不等式 （例 "） ， 提 出并用数形结合的方法找出了它的最小上界 （例 %） ! 本文首先用一个更简明的几何事实统一处理例 "、 然后暴露如何从解题过程的分析中提炼新解 例 %， 法的思维轨迹 ! " 新解法的呈现 为了阅读的方便， 我们首先对问题及其处理作 一简要的陈述 ! "&" 解题案例 几乎在每一个谈论数形结合的场合， 人们都会 提到下述不等式的构图解法： 则 例 " 若 # ! "， # ! "，
中学数学杂志 （高中） #((% 年第 # 期 首先看到 " !$" 与 " #$" 面积相等， 想用等积变 形， 没有获得新的结果 % 然后想到关键是保持 ! 条线 段相等， 而改变位置， 终于发现将 " !"# 关于 !# 对 称到梯形外部时， 如图 %， 可把 !$ ’ !" / $# ’ #" 转化为 !$ ’ !"0 / $# ’ #"0 并且连结 $"0 时， 能同时有 $# ’ #"0 / $"0 这使我们想到例 （ ， 并确信例 ! 初中课本的题目） 例 #% ! 能统一证明例 "、
# 恰好也是 #， $" ’ *# ’ $" ’（" + * ） #" ’$
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$! 证明 如图 !， 满足 !" ! "# ， $# ! "# % 在 有 " !$" 中， !$ # !& ’ &$ # !" ’ "$ % （"） 取 "# ( "， "& ( ) ， !" ( * ， &# ( " + ) ， ， 有 $# ( " + （ * 从而 !" ’ $# ( "） !$ ( $ #， !& ( $ )# ’ *# ，
等号当且仅当 （ "， 取 （#， （ ，#， （ ，"， （ ，"， 其 #） #） "） #） "） 中之一时成立 ! 文 ［"］ 用来证明例 % 的核心知识是关于直角梯 形的一个引理： 在直角梯形 ,.-/ 中， 例 ’ 如图 %， ,/ $ .- ， ， 则有 ,. % .,. $ ,- 1 ./ $ /- ! 容易看出， 用例 ’ 来证明例 %， 在形式上与用 “两 本文新处理的 点间线段最短” 来证明例 " 很不相同， 特点是用一个更简明的几何事实 （例 (） ， 既简化例 % 的处理， 又把例 " 与例 % 同时完成 ! "&% 解法改进 首先， 作为引理呈现一个几何结论， 然后反复应 例（ 的 用这个结论， 得出同时完成例 "、 % 合并为例 )） 统一证明 ! 例 ( 如图 ’， 在 & ,.- 中， 取不在其形外的一 则有 ,- $ .- # ,/ $ ./ # ,. ! 点 /， 当点 / 与 - 重合时， 第一个不等式取等号； 当点 第二个不等式取等号 ! / 在线段 ,. 上时， 证明 延长 ,/ 交 .- 于 2 ， 由两点间线段最短， 有 ,/ $ ./ # ,. ， ! ,- $ -2 # ,2 & ,/ $ /2 ， " /2 $ .2 # ./ ， # 由 " $ # 可得 ,- $（ .2 $ -2）$ /2 # ,/ $ ./ $ /2 ， 即 ,- $ .- # ,/ $ ./ $ 由 !、 $ 得 ,- $ .- # ,/ $ ./ # ,. ! 其中 ! 式取等号当且仅当点 / 在线段 ,. 上； 式取等号当且仅当 从而又在 ,,， /， -， 2 共线， " 上； 式取等号当且仅当 ， ， 共线， 从而 / 在 .. / 2 # 上， 所以 $ 式取等号当且仅当点 / 与 - 重合 !
# # ， （" + ) ） !" ( * ， &$ ( $ ’（" + * ） # $" ( $" ’（" + * ） # # 得$ （" + ) ） # # $ )# ’ *# ’ $ ’（" + * ） # # * ’ $" ’（" + * ） （#） 取 "# ( "， "& ( ) ， &# ( " + ) ， 又有 !" ( " + * ， $# ( * ，
%" 图% 图& （$） 为了能用例 ! 来证明例 %， 我们回到图 "， 首 先擦掉 &$ ， ， ， ， 如图 ， 集中考虑 &# $# 12 & &! ’ &" 的放缩， 虽然此时在 " !$" 中有 !" # &! ’ &" # !$ ’ $" ， 只是个上界， 还不是最小的 % 怎样找 但 !$ ’ $" ( #， 出例 ! 中所需要的 " !$"， 成为我们所遇到的第 # 个 障碍 % 为了得到最小上界， 我们移动点 &， 认为 & 到达 用 " !3" 代替 " !$" 能缩小上界， 得出更好 点 3 时， 估计， 从而连结 3"， 再擦去无关线段， 得出图 ! % （!） 应用图 ! 计算出 !、 但两式相加 " 很顺利， 未能得出常数， 而 得出 $ 式， 最小上界并没有象预 期的那样直接出来， 这说明局部的思考尚未揭示整 体的特征， 这是我们所遇到的第 $ 个障碍 % 但它比前 两个障碍要简单一点， 因为所要证明的式子 %