2019届高考数学二轮复习函数的图像与性质学案(全国通用)

函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．
预计2017年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．
1．函数
(1)映射：集合A(A 中任意x)――→对应法则f
集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应)．
(2)函数：非空数集A―→非空数集B 的映射，其三要素：定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零； (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；
(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
(Ⅴ)正切函数y ＝tan x 中，x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠k π＋π
2
，k ∈ .
②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法． 学 -
③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域． 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性
如果对于函数y ＝f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数)．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(或f (x 1)>f (x 2))，则称f (x )在区间D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增(减)函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f (x )在给定区间(a ，b )上恒有f ′(x )>0(f ′(x )<0)，则f (x )在区间(a ，b )上是增(减)函数，(a ，b )为f (x )的单调增(减)区间．
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等． (3)函数的周期性
设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．
(4)最值
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (或f (x )≥M )；
②存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值(或最小值)． 3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换：
y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )，
y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位
y ＝f (x )＋k .
③对称变换：
y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )，
y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称
y ＝－f (－x )．
4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.
高频考点一 函数的概念及表示 例1、（2018年江苏卷）函数的定义域为 ．
【答案】[2，+∞） 【解析】要使函数
有意义，则
，解得，即函数的定义域为.
【变式探究】(1)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －
1
－2， x ≤1，
－log 2x ＋， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A ．－74
B ．－5
4
C ．－34
D ．－14
解析：通解：(讨论a 的取值，计算f (a )，并求a )
当a ≤1时，f (a )＝2a －
1－2＝－3，即2a －
1＝－1，不成立，舍去；
当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－
2－2＝－74
.故选A.
优解：(根据分段函数值域，确定a 的范围) ∵2x －
1＞0，∴当x ≤1时，2x －
1－2＞－2，故a ＞1.
∴－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＝7，
∴f (6－a )＝f (－1)＝2－
2－2＝－74，故选A.
答案：A
(2)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋x 2
，|x |≥1，
x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋
∞)，则函数g (x )的值域是( )
A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：优解：(数形结合法)
因为函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋x 2
，|x |≥1，
x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，
所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
，|x |≥1，
x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由于函数g (x )
是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．故选C.
答案：C
【方法规律】1．(1)形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法．学 +
2．求函数值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函数解析式的范围，得到函数的值域；(2)配方法，转化为二次函数的最值求解；(3)分离常数法，对于探求形如y ＝ax ＋b
cx ＋d (c ≠0)的值域，常把其分子分离成
不含自变量x 的形式；(4)换元法，通过换元转化成熟悉的函数；(5)单调性法，此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集上)的单调性；(6)图象法，若函数解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数形结合的方法求其值域；(7)基本不等式法，对于探求形如y ＝x ＋k
x (k ＞0)的值域，常用基本不等式求
解；(8)导数法，先利用导数判断其单调性，再求其值域．
【变式探究】设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：通解：选C.∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.
优解：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A. 由于log 212＞1，要用f (x )＝2x
－1
计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.
高频考点二 函数的图象及应用 例2、（2018年浙江卷）函数y =
sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】令， 因为，所以
为奇函数，
排除选项A,B;因为
时，
，所以排除选项C ，选D.
【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意知，函数sin21cos x
y x
=-为奇函数，故排除B ；当πx =时， 0y =，故排除D ；当1
x =时， sin2
01cos2
y =
>-，故排除A ．故选C ．
【变式探究】(1)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1
x
与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，
y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m
i ＝1
(x i ＋y i )＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
解析：(利用图象的对称性求解) 因为f (－x )＝2－f (x )， 所以f (－x )＋f (x )＝2.
因为－x ＋x 2＝0，f －x ＋f x 2
＝1，
所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．
函数y ＝x ＋1x ＝1＋1
x ，故其图象也关于点(0,1)对称．
所以函数y ＝x ＋1
x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，
所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1
m y i ＝2×m
2＝m ，
所以∑i ＝1
m
(x i y i )＝m .故选B.
答案：B
(2)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )
解析：利用导数研究函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．
∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
答案：D
【方法技巧】识别函数图象的方法
基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点)；(3)性质验证法．
【变式探究】如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )
A ．y ＝2x
－x 2
－1 B ．y ＝2x sin x
4x ＋1
C ．y ＝(x 2－2x )e x
D ．y ＝x
ln x
高频考点三 函数性质的应用 例3、（2018年全国卷Ⅱ）若在是减函数，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】因为
，所以由得
，因此
，从而的最大值为。

【变式探究】【2017北京，文5】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
A.是偶函数，且在R 上是增函数
B.是奇函数，且在R 上是增函数
C.是偶函数，且在R 上是减函数
D.是奇函数，且在R 上是增函数
【答案】B
【解析】()()113333x
x
x
x f x f x --⎛⎫
⎛⎫
-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.
【变式探究】(1)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2
，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
3∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭
⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭
⎫1
3，＋∞ 解析：通解：利用函数性质去掉“f ”得一般不等式求解． 函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2
，所以f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝ln(1＋x )－
11＋x
2，f (x )是单调递增的，故f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)，所以|x |＞|2x －1|，解得1
3＜x ＜1，故选A. 优解：(特值验证法)
∵当x ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
取x ＝1
2，有f ⎝⎛⎭⎫12＞f ⎝⎛⎭⎫2×12－1适合不等式，再取x ＝1有f (1)＞f (2×1－1)不适合不等式，故选A. 答案：A
(2)若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a c
D ．log a c ＜log b c
解析：通解：利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性求解．
对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c ＞0，所以y ＝x c 为增函数，又a ＞b ＞1，所以a c ＞b c ，A 错．对于选项B ，ab c ＜ba c ⇔⎝⎛⎭⎫b a c ＜b a ，又y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.
优解：取特殊值验证．令a ＝4，b ＝2，c ＝1
2可逐渐排除．选C.
答案：C 【方法技巧】
1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，
则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．
【变式探究】设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋8
3x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )
A ．(0,2] B.⎣⎡⎦⎤12，2
C ．[2，＋∞)
D.⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[2，＋∞) 解析：选B.∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12 (x 2＋1)＋8
3x 2＋1
＝f (x )，
∴f (x )为R 上的偶函数．
易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12
x ＝－t ，
则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，
即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，
又∵f (1)＝log 122＋8
3＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴f (|t |)≥f (1)，∴|t |≤1，
∴－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1,1]， ∴x ∈⎣⎡⎦⎤
12，2，故选B.
1. （2018年浙江卷）函数y =
sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.
2. （2018年全国III
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】D
【解析】当A,B.
排除C，故正确答案选D.
3. （2018年全国卷Ⅱ）函数的图像大致为
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
4. （2018
A. C. D.
【答案】D
，即，
综上可得：
本题选择D选项.
5. （2018年全国I x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
的x的取值范围是 D.
6. （2018年全国I．若
切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
，解得
，所以曲线 D.
7. （2018年全国III
A. D.
【答案】B
1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0）故选项B正确
1.【2017课标1，文8】函数
sin2
1cos
x
y
x
=
-
的部分图像大致为
A．B．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意知，函数sin21cos x
y x
=-为奇函数，故排除B ；当πx =时， 0y =，故排除D ；当1
x =时， sin2
01cos2
y =
>-，故排除A ．故选C ．
2.【2017课标3，文7】函数2sin 1x
y x x
=++的部分图像大致为（ ）
A B
D ．
C D 【答案】D
【解析】当1x =时， ()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C ；当x →+∞时， 1y x →+，故排除B,满足条件的只有D,故选D.
3.【2017北京，文5】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数
【答案】B
【解析】()()113333x
x
x
x f x f x --⎛⎫
⎛⎫
-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.
4.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080
．则下列各数中与
M
N
最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
【答案】D
【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，361
36180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810
x ==-=⨯-=，
所以93.2810x =，即
M
N
最接近9310，故选D. 5.【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则
A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
1. 【2016高考新课标1文数】若0a b >>,01c <<,则（ ） （A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b 【答案】B
【解析】对于选项A ，1g 1g log ,log lg lg a b c c
c c a b
=
=
，01c <<，1g 0c ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，
c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=
,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于
选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
2.【2016高考新课标1文数】函数22x
y x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）
（A ）（B ）
（C ）（D ）
【答案】D
【解析】函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为
22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A,B 选项；当[]0,2x ∈时，()=4e x f x x '-有一零点，设为0x ，
当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D.
3. 【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）
（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y
=
【答案】D 【解析】lg 10
x
y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．
4. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像
的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则
1
=m
i i x =∑（ ）
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
【答案】B
【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯
=，当m 为奇数时，其和为1212
m m -⨯+=，因此选B. 5. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知4
213
3
3
2,3,25a b c ===，则（ ） (A) b a c << (B)a b c <<
(C) b c a <<
(D) c a b <<
【答案】A
【解析】因为423
3
24a ==，123
3
255c ==，又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数，所以222333
345<<，即b a c <<，故选A ．
6.【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）
【答案】D
【解析】因为2
sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22
x π
=
，即
x =时，1max y =，排除B 选项，故选D.
7.【2016高考浙江文数】已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log >1a b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<
D. (1)()0b b a -->
【答案】D 【解析】
log log 1
b a >=a a ，
当1>a 时，1b a >>，10,010,0a b a b a b <∴->->->-，，
(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->--<-->
当01a <<时，01b a ∴<<<，10,010,0,a b a b a b >∴-<-<-<-，
(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->--<-->观察各选项可知选D.
8.【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知22
2()()24=+=+-b b f x x bx x ，最小值为24
-b .
令2
=+t x bx ，则22
2
2(())()(),244
==+=+-≥-b b b f f x f t t bt t t ，
当0<b 时，(())f f x 的最小值为2
4
-b ，所以“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相
等”；学
当0=b 时，4
(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”．故选A ．
9.【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x
f x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2b
f a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b
f a ≥，则a b ≥
【答案】B
【解析】可设
2(0)()2(0)x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x x
，则f （x ）满足题意. 易知(1)2|5|=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f =≥， 但2＜3,排除C.
(2)4|2|=22<1,f -=≥，但- 排除D.
10.【2016高考北京文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ） A.−1 B.3 C.7 D.8 【答案】C
【解析】由题意得，AB ：51
1(4)2924
y x y x --=
-⇒=-+-， ∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⋅-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C.
11.【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.1
1y x
=
- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D
【解析】由1
2()2
x x y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D.
12.【2016高考上海文 】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，
对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列
判断正确的是（ ）
A 、①和②均为真命题
B 、①和②均为假命题
C 、①为真命题，②为假命题
D 、①为假命题，②为真命题
【答案】D 【解析】
因为[()g()][()()][g()()]
()2
f x x f x h x x h x f x +++-+=
，所以
[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)]
(+)2
f x T x T f x T h x T x T h x T f x T +++-+=,又()()f x
g x +、()()f x
h x +、
()()g x h x +均是以T 为周期的函数，所以[()g()][()()][g()()]
(+)=()2
f x x f x h x x h x f x T f x +++-+=
，所以()f x 是周期为T 的函数，同理可得()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能
为增函数，因此①不正确.选D.
13.【2016高考四川文 】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，则5()(1)2
f f -+= .
【答案】
-2
14.【2016高考上海文 】已知点(3,9)在函数x
a x f +=1)(的图像上，则
________)()(1=-x f x f 的反函数.
【答案】2log (x 1)-
【解析】将点（3，9）代入函数()1x
f x a =+中得2a =，所以()12x
f x =+，用y 表示x 得
2log (1)x y =-，所以()12log (1)f x x -=-.
15.【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2
，x ∈R ，则实数a = ，
b = ．
【答案】－2；1．
【解析】32323232
()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，
23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，
所以
2
23223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩
，解得21a b =-⎧⎨
=⎩
16.【2016高考山东文数】已知函数2||,
()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩
其中0m >，若存在实数b ，使得关于
x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 .
【答案】()3,+∞
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >
1.【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) (A )y ＝sin (2x ＋
2π) (B )y ＝cos (2x ＋2
π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx 【答案】B
【解析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π
但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y sin (2x ＋4
π
)是非奇非偶函数
故正确答案为B
2.【2015高考天津，文7】 已知定义在R 上的函数||
()2
1()x m f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B
【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3
log 32
121312,a =-=-=-=
2log 521514b =-=-=,0210c =-= ,所以b c a <<,故选B.
3.【2015高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）
A ．既是奇函数又是减函数
B ．既是奇函数又是增函数
C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数 【答案】B
【解析】()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-，
又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B
4.【2015高考山东，文8】若函数21
()2x x f x a
+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )
（A ）( ) (B)(
) （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）
【答案】C
【解析】由题意()()f x f x =--，即2121,22x x x x a a --++=---所以，(1)(21)0,1x
a a -+==，21(),
21x x f x +=-由21
()321
x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C .
5.【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2
sin y x x =+ B ．2
cos y x x =- C ．1
22x x
y =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A
【解析】函数()2
sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，
所以函数()2
sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2
cos f x x x =-的定义域为R ，关于原
点对称，因为()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2
cos f x x x =-是偶函数；函
数()122x
x f x =+
的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222
x x
x x
f x f x ---=+=+=，所以函数()1
22
x x f x =+
是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．
6.【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）
A ．2sin y x x =
B ．2cos y x x =
C ．ln y x =
D ．2x
y -=
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)
+∞
不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.
7.【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )
A ．y =
B ．x y e =
C ．cos y x =
D ．x x y e e -=-
【答案】D
【解析】函数y =
和x y e =是非奇非偶函数；
cos y x =是偶函数；x x
y e e -=-是奇函数，故选D ． 8.【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y =lnx （B ）2
1y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx 【答案】D
9.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数x
ax x f 1
)(2+
=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，x
x f 1
)(=
，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数. （2）设]2,1[22∈<∀x x ，
则]1
)()[())(()()(2
121212112212121x x x x a x x x x x x x x x x a x f x f -+-=-+
+-=- 因为]2,1[21∈<x x ，所以021<-x x ，4221<+<x x ，4121<<x x ，
所以12)(221<+<x x a ，
11412
1<<x x ， 所以01
)(2
121>-
+x x x x a ， 所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <， 故函数)(x f 在]2,1[上单调递增.
10．【2015高考浙江，文5】函数()1cos f x x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
11.【2015高考安徽，文10】函数()3
2
f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <0 【答案】A
【解析】由函数)(x f 的图象可知0>a ，令0=x ⇒0>d 又c bx ax x f ++='23)(2
，可知21,x x 是0)(='x f 的两根 由图可知0,021>>x x
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>=>-=+030322121a c x x a b x x ⇒⎩⎨
⎧<<00c b ；故A 正确. 1．（2014·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫
23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12
【答案】A 【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin 5π6＋sin
11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 5π6＝1
2
. 2．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－
x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.
3．（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；
当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；
当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
4．（2014·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】C 【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. 5．（2014·山东卷）函数f (x )＝1
（log 2x ）2－1
的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，1
2 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[2，＋∞) 【答案】C 【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，
（log 2）2
－1＞0，解得⎩
⎪
⎨⎪⎧x ＞0，
x ＞2或x ＜12
.故选C. 6．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－
x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.
7．（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，
cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D
8．（2014·四川卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧－4x 2
＋2，－1≤x <0，
x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫
32＝ ．
【答案】1 【解析】由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭
⎫－1
22
＋2＝1. 9．（2014·四川卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B .
其中的真命题有 ．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④ 【解析】若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．
取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有
最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝
x
x 2
＋1
(x ＞－2)． 易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝1
2
，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 10．（2014·四川卷）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 【解析】(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .
当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．
当a ≤1
2时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，
因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当a ≥e
2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，
因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；
当12<a <e
2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，
于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤1
2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当12<a <e
2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e
2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .
(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，
则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a ≤1
2时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；
当a ≥e
2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以12<a <e
2
.学
此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.
当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，
从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.
故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.
由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．
综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．
11．（2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D
【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数； 当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；
当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
12．（2014·湖南卷）已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【答案】C 【解析】因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
13．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
【答案】C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
14．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值
范围是 ．
【答案】(－1，3) 【解析】根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.
15．（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
A B
C D
【答案】B
16．（2014·湖北卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若
∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤－16，16
B.⎣⎡⎦⎤－66，66
C.⎣⎡⎦⎤－13，13
D.⎣⎡⎦
⎤－33，33 【答案】B 【解析】 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2
－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝
12
()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；
当a 2<x <2a 2时，
f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2
＝－a 2；
当x ≥2a 2时，
f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2
＝x －3a 2.
综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2
，－a 2，a 2
<x <2a 2
，x －3a 2，x ≥2a 2.
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，
观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－
66≤a ≤6
6
.故选B. 17．（2014·山东卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝⎛⎭⎫0，12
B. ⎝⎛⎭
⎫1
2，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 【答案】B 【解析】 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞1
2
，且k ＜1.故选B.
18．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
A B
C D
图1-2
【答案】D【解析】只有选项D符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y＝x的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选D.。