2019届高考数学二轮复习函数的图像与性质学案(全国通用)
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函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用,识图用图是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,与函数的概念、图象、性质综合在一起考查.
预计2017年高考仍将综合考查函数性质,并能结合函数图象的特点,对各个性质进行综合运用,另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合,所以在备考过程中应加强这方面的训练.
1.函数
(1)映射:集合A(A 中任意x)――→对应法则f
集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应).
(2)函数:非空数集A―→非空数集B 的映射,其三要素:定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f. ①求函数定义域的主要依据: (Ⅰ)分式的分母不为零; (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零; (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零;
(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
(Ⅴ)正切函数y =tan x 中,x 的取值范围是x ∈R ,且x ≠k π+π
2
,k ∈ .
②求函数值域的方法:无论用什么方法求值域,都要优先考虑定义域,常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法. 学 -
③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域;函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域. 2.函数的性质 (1)函数的奇偶性
如果对于函数y =f (x )定义域内的任意一个x ,都有f (-x )=-f (x )(或f (-x )=f (x )),那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数).
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质.给定区间D 上的函数f (x ),若对于任意x 1、x 2∈D ,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(或f (x 1)>f (x 2)),则称f (x )在区间D 上为单调增(或减)函数.反映在图象上,若函数f (x )是区间D 上的增(减)函数,则图象在D 上的部分从左到右是上升(下降)的.如果函数f (x )在给定区间(a ,b )上恒有f ′(x )>0(f ′(x )<0),则f (x )在区间(a ,b )上是增(减)函数,(a ,b )为f (x )的单调增(减)区间.
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等. (3)函数的周期性
设函数y =f (x ),x ∈D ,如果存在非零常数T ,使得对任意x ∈D ,都有f (x +T )=f (x ),则函数f (x )为周期函数,T 为y =f (x )的一个周期.
(4)最值
一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M (或f (x )≥M );
②存在x 0∈I ,使f (x 0)=M ,那么称M 是函数y =f (x )的最大值(或最小值). 3.函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求:
①会画各种简单函数的图象;
②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换:
y =f (x )――→h >0,右移|h |个单位h <0,左移|h |个单位y =f (x -h ),
y =f (x )――→k >0,上移|k |个单位k <0,下移|k |个单位
y =f (x )+k .
③对称变换:
y =f (x )――→关于x 轴对称
y =-f (x ), y =f (x )――→关于y 轴对称
y =f (-x ),
y =f (x )――→关于直线x =a 对称y =f (2a -x ), y =f (x )――→关于原点对称
y =-f (-x ).
4.对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行,对于某些抽象函数来说,一般通过恰当赋值,结合基本定义来研究.
高频考点一 函数的概念及表示 例1、(2018年江苏卷)函数的定义域为 .
【答案】[2,+∞) 【解析】要使函数
有意义,则
,解得,即函数的定义域为.
【变式探究】(1)已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
2x -
1
-2, x ≤1,
-log 2x +, x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )
A .-74
B .-5
4
C .-34
D .-14
解析:通解:(讨论a 的取值,计算f (a ),并求a )
当a ≤1时,f (a )=2a -
1-2=-3,即2a -
1=-1,不成立,舍去;
当a >1时,f (a )=-log 2(a +1)=-3,即log 2(a +1)=3,得a +1=23=8,∴a =7,此时f (6-a )=f (-1)=2-
2-2=-74
.故选A.
优解:(根据分段函数值域,确定a 的范围) ∵2x -
1>0,∴当x ≤1时,2x -
1-2>-2,故a >1.
∴-log 2(a +1)=-3,∴a =7,
∴f (6-a )=f (-1)=2-
2-2=-74,故选A.
答案:A
(2)设函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
m +x 2
,|x |≥1,
x ,|x |<1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,+
∞),则函数g (x )的值域是( )
A .(-∞,-1]∪[1,+∞)
B .(-∞,-1]∪[0,+∞)
C .[0,+∞)
D .[1,+∞)
解析:优解:(数形结合法)
因为函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
m +x 2
,|x |≥1,
x ,|x |<1的图象过点(1,1),
所以m +1=1,解得m =0,所以f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
,|x |≥1,
x ,|x |<1.画出函数y =f (x )的图象如图所示,由于函数g (x )
是二次函数,值域不会是选项A ,B ,易知,当g (x )的值域是[0,+∞)时,f (g (x ))的值域是[0,+∞).故选C.
答案:C
【方法规律】1.(1)形如f (g (x ))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法.学 +
2.求函数值域(最值)的常用方法有:(1)直接法,求得函数解析式的范围,得到函数的值域;(2)配方法,转化为二次函数的最值求解;(3)分离常数法,对于探求形如y =ax +b
cx +d (c ≠0)的值域,常把其分子分离成
不含自变量x 的形式;(4)换元法,通过换元转化成熟悉的函数;(5)单调性法,此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集上)的单调性;(6)图象法,若函数解析式的几何意义较明显,诸如距离、斜率等,可用数形结合的方法求其值域;(7)基本不等式法,对于探求形如y =x +k
x (k >0)的值域,常用基本不等式求
解;(8)导数法,先利用导数判断其单调性,再求其值域.
【变式探究】设函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪
⎧
1+log 2-x ,x <1,2x -1,x ≥1,f (-2)+f (log 212)=( )
A .3
B .6
C .9
D .12
解析:通解:选C.∵-2<1,∴f (-2)=1+log 2[2-(-2)]=3; ∵log 212>1,∴f (log 212)=2log 212-1=2log 26=6. ∴f (-2)+f (log 212)=9.
优解:由f (-2)=3,∴f (-2)+f (log 212)>3排除A. 由于log 212>1,要用f (x )=2x
-1
计算,则f (log 212)为偶数,∴f (-2)+f (log 212)为奇数,只能选C.
高频考点二 函数的图象及应用 例2、(2018年浙江卷)函数y =
sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】令, 因为,所以
为奇函数,
排除选项A,B;因为
时,
,所以排除选项C ,选D.
【变式探究】【2017课标1,文8】函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】由题意知,函数sin21cos x
y x
=-为奇函数,故排除B ;当πx =时, 0y =,故排除D ;当1
x =时, sin2
01cos2
y =
>-,故排除A .故选C .
【变式探究】(1)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =x +1
x
与y =f (x )图象的交点为(x 1,
y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑m
i =1
(x i +y i )=( )
A .0
B .m
C .2m
D .4m
解析:(利用图象的对称性求解) 因为f (-x )=2-f (x ), 所以f (-x )+f (x )=2.
因为-x +x 2=0,f -x +f x 2
=1,
所以函数y =f (x )的图象关于点(0,1)对称.
函数y =x +1x =1+1
x ,故其图象也关于点(0,1)对称.
所以函数y =x +1
x 与y =f (x )图象的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2),
…,(x m ,y m )成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,
所以∑i =1m x i =0,∑i =1
m y i =2×m
2=m ,
所以∑i =1
m
(x i y i )=m .故选B.
答案:B
(2)函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图象大致为( )
解析:利用导数研究函数y =2x 2-e |x |在[0,2]上的图象,再利用奇偶性判断.
∵f (x )=2x 2-e |x |,x ∈[-2,2]是偶函数,又f (2)=8-e 2∈(0,1),故排除A ,B.设g (x )=2x 2-e x ,则g ′(x )=4x -e x .又g ′(0)<0,g ′(2)>0,∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f (x )=2x 2-e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
答案:D
【方法技巧】识别函数图象的方法
基本方法有:(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象);(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点,即根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点);(3)性质验证法.
【变式探究】如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )
A .y =2x
-x 2
-1 B .y =2x sin x
4x +1
C .y =(x 2-2x )e x
D .y =x
ln x
高频考点三 函数性质的应用 例3、(2018年全国卷Ⅱ)若在是减函数,则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】因为
,所以由得
,因此
,从而的最大值为。
【变式探究】【2017北京,文5】已知函数1()3()3
x x
f x =-,则()f x
A.是偶函数,且在R 上是增函数
B.是奇函数,且在R 上是增函数
C.是偶函数,且在R 上是减函数
D.是奇函数,且在R 上是增函数
【答案】B
【解析】()()113333x
x
x
x f x f x --⎛⎫
⎛⎫
-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,所以该函数是奇函数,并且3x y =是增函数, 13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数,根据增函数−减函数=增函数,可知该函数是增函数,故选B.
【变式探究】(1)设函数f (x )=ln(1+|x |)-1
1+x 2
,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13,1 B.⎝
⎛⎭⎫-∞,1
3∪(1,+∞) C.⎝⎛⎭
⎫-13,13 D.⎝⎛⎭⎫-∞,-13∪⎝⎛⎭
⎫1
3,+∞ 解析:通解:利用函数性质去掉“f ”得一般不等式求解. 函数f (x )=ln(1+|x |)-1
1+x 2
,所以f (-x )=f (x ),故f (x )为偶函数.又当x ∈(0,+∞)时,f (x )=ln(1+x )-
11+x
2,f (x )是单调递增的,故f (x )>f (2x -1)⇔f (|x |)>f (|2x -1|),所以|x |>|2x -1|,解得1
3<x <1,故选A. 优解:(特值验证法)
∵当x >0时,f (x )在(0,+∞)上为增函数,
取x =1
2,有f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫2×12-1适合不等式,再取x =1有f (1)>f (2×1-1)不适合不等式,故选A. 答案:A
(2)若a >b >1,0<c <1,则( ) A .a c <b c B .ab c <ba c C .a log b c <b log a c
D .log a c <log b c
解析:通解:利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性求解.
对于选项A ,考虑幂函数y =x c ,因为c >0,所以y =x c 为增函数,又a >b >1,所以a c >b c ,A 错.对于选项B ,ab c <ba c ⇔⎝⎛⎭⎫b a c <b a ,又y =⎝⎛⎭⎫b a x 是减函数,所以B 错.对于选项D ,由对数函数的性质可知D 错,故选C.
优解:取特殊值验证.令a =4,b =2,c =1
2可逐渐排除.选C.
答案:C 【方法技巧】
1.基本法是利用单调性化简不等式.速解法是特例检验法. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一样.常用的方法有:
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,
则可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
3.若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数,则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式,可以去掉抽象函数的符号,将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.
【变式探究】设函数f (x )=log 12(x 2+1)+8
3x 2+1,则不等式f (log 2x )+f (log 12x )≥2的解集为( )
A .(0,2] B.⎣⎡⎦⎤12,2
C .[2,+∞)
D.⎝⎛⎦
⎤0,1
2∪[2,+∞) 解析:选B.∵f (x )的定义域为R ,f (-x )=log 12 (x 2+1)+8
3x 2+1
=f (x ),
∴f (x )为R 上的偶函数.
易知其在区间[0,+∞)上单调递减, 令t =log 2x ,所以log 12
x =-t ,
则不等式f (log 2x )+f (log 12x )≥2可化为f (t )+f (-t )≥2,
即2f (t )≥2,所以f (t )≥1,
又∵f (1)=log 122+8
3+1=1,f (x )在[0,+∞)上单调递减,在R 上为偶函数,∴f (|t |)≥f (1),∴|t |≤1,
∴-1≤t ≤1,即log 2x ∈[-1,1], ∴x ∈⎣⎡⎦⎤
12,2,故选B.
1. (2018年浙江卷)函数y =
sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.
2. (2018年全国III
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】D
【解析】当A,B.
排除C,故正确答案选D.
3. (2018年全国卷Ⅱ)函数的图像大致为
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】B
【解析】为奇函数,舍去A,
舍去D;
,
所以舍去C;因此选B.
4. (2018
A. C. D.
【答案】D
,即,
综上可得:
本题选择D选项.
5. (2018年全国I x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
的x的取值范围是 D.
6. (2018年全国I.若
切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
,解得
,所以曲线 D.
7. (2018年全国III
A. D.
【答案】B
1,0),(1,0)关于x=1对称的点还是(1,0)故选项B正确
1.【2017课标1,文8】函数
sin2
1cos
x
y
x
=
-
的部分图像大致为
A.B.
C .
D .
【答案】C
【解析】由题意知,函数sin21cos x
y x
=-为奇函数,故排除B ;当πx =时, 0y =,故排除D ;当1
x =时, sin2
01cos2
y =
>-,故排除A .故选C .
2.【2017课标3,文7】函数2sin 1x
y x x
=++的部分图像大致为( )
A B
D .
C D 【答案】D
【解析】当1x =时, ()111sin12sin12f =++=+>,故排除A,C ;当x →+∞时, 1y x →+,故排除B,满足条件的只有D,故选D.
3.【2017北京,文5】已知函数1()3()3
x x
f x =-,则()f x
(A )是偶函数,且在R 上是增函数 (B )是奇函数,且在R 上是增函数 (C )是偶函数,且在R 上是减函数 (D )是奇函数,且在R 上是增函数
【答案】B
【解析】()()113333x
x
x
x f x f x --⎛⎫
⎛⎫
-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,所以该函数是奇函数,并且3x y =是增函数, 13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数,根据增函数−减函数=增函数,可知该函数是增函数,故选B.
4.【2017北京,文8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080
.则下列各数中与
M
N
最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) (A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093
【答案】D
【解析】设36180310M x N == ,两边取对数,361
36180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810
x ==-=⨯-=,
所以93.2810x =,即
M
N
最接近9310,故选D. 5.【2017课标1,文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则
A .()f x 在(0,2)单调递增
B .()f x 在(0,2)单调递减
C .y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D .y =()f x 的图像关于点(1,0)对称
【答案】C
1. 【2016高考新课标1文数】若0a b >>,01c <<,则( ) (A )log a c <log b c (B )log c a <log c b (C )a c <b c (D )c a >c b 【答案】B
【解析】对于选项A ,1g 1g log ,log lg lg a b c c
c c a b
=
=
,01c <<,1g 0c ∴<,而0a b >>,所以lg lg a b >,但不能确定lg lg a b 、的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B ,
c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=
,lg lg a b >,两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向,所以选项B 正确;对于
选项C ,利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >,所以C 错误;对于选项D ,利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <,所以D 错误.所以本题选B.
2.【2016高考新课标1文数】函数22x
y x e =-在[]2,2-的图像大致为( )
(A )(B )
(C )(D )
【答案】D
【解析】函数f (x )=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数,其图像关于y 轴对称,因为
22(2)8e ,08e 1f =-<-<,所以排除A,B 选项;当[]0,2x ∈时,()=4e x f x x '-有一零点,设为0x ,
当0(0,)x x ∈时,()f x 为减函数,当0(2)x x ,∈时,()f x 为增函数.故选D.
3. 【2016高考新课标2文数】下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )
(A )y =x (B )y =lg x (C )y =2x (D )y
=
【答案】D 【解析】lg 10
x
y x ==,定义域与值域均为()0,+∞,只有D 满足,故选D .
4. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像
的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则
1
=m
i i x =∑( )
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
【答案】B
【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称,所以它们交点也关于1x =对称,当m 为偶数时,其和为22m m ⨯
=,当m 为奇数时,其和为1212
m m -⨯+=,因此选B. 5. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知4
213
3
3
2,3,25a b c ===,则( ) (A) b a c << (B)a b c <<
(C) b c a <<
(D) c a b <<
【答案】A
【解析】因为423
3
24a ==,123
3
255c ==,又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数,所以222333
345<<,即b a c <<,故选A .
6.【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是( )
【答案】D
【解析】因为2
sin =y x 为偶函数,所以它的图象关于y 轴对称,排除A 、C 选项;当22
x π
=
,即
x =时,1max y =,排除B 选项,故选D.
7.【2016高考浙江文数】已知a ,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log >1a b ,则( ) A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<
D. (1)()0b b a -->
【答案】D 【解析】
log log 1
b a >=a a ,
当1>a 时,1b a >>,10,010,0a b a b a b <∴->->->-,,
(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->--<-->
当01a <<时,01b a ∴<<<,10,010,0,a b a b a b >∴-<-<-<-,
(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->--<-->观察各选项可知选D.
8.【2016高考浙江文数】已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知22
2()()24=+=+-b b f x x bx x ,最小值为24
-b .
令2
=+t x bx ,则22
2
2(())()(),244
==+=+-≥-b b b f f x f t t bt t t ,
当0<b 时,(())f f x 的最小值为2
4
-b ,所以“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相
等”;学
当0=b 时,4
(())=f f x x 的最小值为0,()f x 的最小值也为0,所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”.故选A .
9.【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,x
f x x ≥∈R .( ) A.若()f a b ≤,则a b ≤ B.若()2b
f a ≤,则a b ≤ C.若()f a b ≥,则a b ≥ D.若()2b
f a ≥,则a b ≥
【答案】B
【解析】可设
2(0)()2(0)x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x x
,则f (x )满足题意. 易知(1)2|5|=5,f =≤-但1>−5,排除A.(2)4|3|=3f =≥, 但2<3,排除C.
(2)4|2|=22<1,f -=≥,但- 排除D.
10.【2016高考北京文数】已知(2,5)A ,(4,1)B ,若点(,)P x y 在线段AB 上,则2x y -的最大值为( ) A.−1 B.3 C.7 D.8 【答案】C
【解析】由题意得,AB :51
1(4)2924
y x y x --=
-⇒=-+-, ∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⋅-=,当4x =时等号成立,即2x y -的最大值为7,故选C.
11.【2016高考北京文数】下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是( ) A.1
1y x
=
- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D
【解析】由1
2()2
x x y -==在R 上单调递减可知D 符合题意,故选D.
12.【2016高考上海文 】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,
对于命题:①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数;②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,下列
判断正确的是( )
A 、①和②均为真命题
B 、①和②均为假命题
C 、①为真命题,②为假命题
D 、①为假命题,②为真命题
【答案】D 【解析】
因为[()g()][()()][g()()]
()2
f x x f x h x x h x f x +++-+=
,所以
[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)]
(+)2
f x T x T f x T h x T x T h x T f x T +++-+=,又()()f x
g x +、()()f x
h x +、
()()g x h x +均是以T 为周期的函数,所以[()g()][()()][g()()]
(+)=()2
f x x f x h x x h x f x T f x +++-+=
,所以()f x 是周期为T 的函数,同理可得()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,②正确;增函数加减函数也可能
为增函数,因此①不正确.选D.
13.【2016高考四川文 】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,()4x
f x =,则5()(1)2
f f -+= .
【答案】
-2
14.【2016高考上海文 】已知点(3,9)在函数x
a x f +=1)(的图像上,则
________)()(1=-x f x f 的反函数.
【答案】2log (x 1)-
【解析】将点(3,9)代入函数()1x
f x a =+中得2a =,所以()12x
f x =+,用y 表示x 得
2log (1)x y =-,所以()12log (1)f x x -=-.
15.【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a≠0,且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2
,x ∈R ,则实数a = ,
b = .
【答案】-2;1.
【解析】32323232
()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--,
23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-,
所以
2
23223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩
,解得21a b =-⎧⎨
=⎩
16.【2016高考山东文数】已知函数2||,
()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩
其中0m >,若存在实数b ,使得关于
x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 .
【答案】()3,+∞
【解析】画出函数图象如下图所示:
由图所示,要()f x b =有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即
2224,30m m m m m m m >-⋅+->,解得3m >
1.【2015高考四川,文5】下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( ) (A )y =sin (2x +
2π) (B )y =cos (2x +2
π) (C )y =sin 2x +cos 2x (D )y =sinx +cosx 【答案】B
【解析】A 、B 、C 的周期都是π,D 的周期是2π
但A 中,y =cos 2x 是偶函数,C 中y sin (2x +4
π
)是非奇非偶函数
故正确答案为B
2.【2015高考天津,文7】 已知定义在R 上的函数||
()2
1()x m f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )
(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B
【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3
log 32
121312,a =-=-=-=
2log 521514b =-=-=,0210c =-= ,所以b c a <<,故选B.
3.【2015高考陕西,文9】 设()sin f x x x =-,则()f x =( )
A .既是奇函数又是减函数
B .既是奇函数又是增函数
C .是有零点的减函数
D .是没有零点的奇函数 【答案】B
【解析】()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-,
又()f x 的定义域为R 是关于原点对称,所以()f x 是奇函数;()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B
4.【2015高考山东,文8】若函数21
()2x x f x a
+=-是奇函数,则使3f x >()成立的x 的取值范围为( )
(A )( ) (B)(
) (C )0,1() (D )1,+∞()
【答案】C
【解析】由题意()()f x f x =--,即2121,22x x x x a a --++=---所以,(1)(21)0,1x
a a -+==,21(),
21x x f x +=-由21
()321
x x f x +=>-得,122,01,x x <<<<故选C .
5.【2015高考广东,文3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A .2
sin y x x =+ B .2
cos y x x =- C .1
22x x
y =+ D .sin 2y x x =+ 【答案】A
【解析】函数()2
sin f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为()11sin1f =+,()11sin1f -=-,
所以函数()2
sin f x x x =+既不是奇函数,也不是偶函数;函数()2
cos f x x x =-的定义域为R ,关于原
点对称,因为()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=,所以函数()2
cos f x x x =-是偶函数;函
数()122x
x f x =+
的定义域为R ,关于原点对称,因为()()112222
x x
x x
f x f x ---=+=+=,所以函数()1
22
x x f x =+
是偶函数;函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-,所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数.故选A .
6.【2015高考北京,文3】下列函数中为偶函数的是( )
A .2sin y x x =
B .2cos y x x =
C .ln y x =
D .2x
y -=
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为(0,)
+∞
不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选B.
7.【2015高考福建,文3】下列函数为奇函数的是( )
A .y =
B .x y e =
C .cos y x =
D .x x y e e -=-
【答案】D
【解析】函数y =
和x y e =是非奇非偶函数;
cos y x =是偶函数;x x
y e e -=-是奇函数,故选D . 8.【2015高考安徽,文4】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) (A )y =lnx (B )2
1y x =+ (C )y =sinx (D )y =cosx 【答案】D
9.【2015高考上海,文20】(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知函数x
ax x f 1
)(2+
=,其中a 为实数. (1)根据a 的不同取值,判断函数)(x f 的奇偶性,并说明理由;
(2)若)3,1(∈a ,判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性,并说明理由. 【答案】(1))(x f 是非奇非偶函数;(2)函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】(1)当0=a 时,x
x f 1
)(=
,显然是奇函数; 当0≠a 时,1)1(+=a f ,1)1(-=-a f ,)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f , 所以此时)(x f 是非奇非偶函数. (2)设]2,1[22∈<∀x x ,
则]1
)()[())(()()(2
121212112212121x x x x a x x x x x x x x x x a x f x f -+-=-+
+-=- 因为]2,1[21∈<x x ,所以021<-x x ,4221<+<x x ,4121<<x x ,
所以12)(221<+<x x a ,
11412
1<<x x , 所以01
)(2
121>-
+x x x x a , 所以0)()(21<-x f x f ,即)()(21x f x f <, 故函数)(x f 在]2,1[上单调递增.
10.【2015高考浙江,文5】函数()1cos f x x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
(x ππ-≤≤且0x ≠)的图象可能为( )
A .
B .
C .
D . 【答案】D
【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-,故函数是奇函数,所以排除A ,B ;取x π=,则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<,故选D.
11.【2015高考安徽,文10】函数()3
2
f x ax bx cx d =+++的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
(A )a >0,b <0,c >0,d >0 (B )a >0,b <0,c <0,d >0 (C )a <0,b <0,c <0,d >0 (D )a >0,b >0,c >0,d <0 【答案】A
【解析】由函数)(x f 的图象可知0>a ,令0=x ⇒0>d 又c bx ax x f ++='23)(2
,可知21,x x 是0)(='x f 的两根 由图可知0,021>>x x
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>=>-=+030322121a c x x a b x x ⇒⎩⎨
⎧<<00c b ;故A 正确. 1.(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫
23π6=( ) A.12 B.32 C .0 D .-12
【答案】A 【解析】由已知可得,f ⎝⎛⎭⎫23π6=f ⎝⎛⎭⎫17π6+sin 17π6=f ⎝⎛⎭⎫11π6+sin 11π6+sin 17π6 =f ⎝⎛⎭⎫5π6+sin 5π6+sin
11π6+sin 17π6=2sin 5π6+sin ⎝⎛⎭⎫-π6=sin 5π6=1
2
. 2.(2014·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =x +1 B .y =(x -1)2 C .y =2-
x D .y =log 0.5(x +1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.
3.(2014·福建卷)已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )
A .f (x )是偶函数
B .f (x )是增函数
C .f (x )是周期函数
D .f (x )的值域为[-1,+∞)
【答案】D 【解析】由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;
当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;
当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1]; ∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).
4.(2014·江西卷)函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为( ) A .(0,1] B .[0,1]
C .(-∞,0)∪(1,+∞)
D .(-∞,0]∪[1,+∞) 【答案】C 【解析】由x 2-x >0,得x >1或x <0. 5.(2014·山东卷)函数f (x )=1
(log 2x )2-1
的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫0,1
2 B .(2,+∞) C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝⎛⎦
⎤0,1
2∪[2,+∞) 【答案】C 【解析】根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,
(log 2)2
-1>0,解得⎩
⎪
⎨⎪⎧x >0,
x >2或x <12
.故选C. 6.(2014·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =x +1 B .y =(x -1)2 C .y =2-
x D .y =log 0.5(x +1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.
7.(2014·福建卷)已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,
cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )
A .f (x )是偶函数
B .f (x )是增函数
C .f (x )是周期函数
D .f (x )的值域为[-1,+∞) 【答案】D
8.(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩
⎪⎨
⎪⎧-4x 2
+2,-1≤x <0,
x , 0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫
32= .
【答案】1 【解析】由题意可知,f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4⎝⎛⎭
⎫-1
22
+2=1. 9.(2014·四川卷)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:
①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”; ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值;
③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∉B ; ④若函数f (x )=a ln(x +2)+x
x 2+1(x >-2,a ∈R)有最大值,则f (x )∈B .
其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④ 【解析】若f (x )∈A ,则f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.
取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时f (x )没有最大值和最小值,故②错误.
当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (a 0)=b -g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.
对于f (x )=a ln(x +2)+x
x 2+1 (x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有
最大值,只有a =0,此时f (x )=
x
x 2
+1
(x >-2). 易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤-12,12,所以存在正数M =1
2
,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确. 10.(2014·四川卷)已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数. (1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围. 【解析】(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .
当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].
当a ≤1
2时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,
因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;
当a ≥e
2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,
因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;
当12<a <e
2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增,
于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b . 综上所述,当a ≤1
2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;
当12<a <e
2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e
2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .
(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,
则由f (0)=f (x 0)=0可知,f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.
由(1)知,当a ≤1
2时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;
当a ≥e
2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.
所以12<a <e
2
.学
此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 因此x 1∈(0,ln(2a )],x 2∈(ln(2a ),1),必有 g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0. 由f (1)=0得a +b =e -1<2, 则g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0, 解得e -2<a <1.
当e -2<a <1时,g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a )). 若g (ln(2a ))≥0,则g (x )≥0(x ∈[0,1]),
从而f (x )在区间[0,1]内单调递增,这与f (0)=f (1)=0矛盾,所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.
故此时g (x )在(0,ln(2a ))和(ln(2a ),1)内各只有一个零点x 1和x 2.
由此可知f (x )在[0,x 1]上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在[x 2,1]上单调递增. 所以f (x 1)>f (0)=0,f (x 2)<f (1)=0, 故f (x )在(x 1,x 2)内有零点.
综上可知,a 的取值范围是(e -2,1).
11.(2014·福建卷) 已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )
A .f (x )是偶函数
B .f (x )是增函数
C .f (x )是周期函数
D .f (x )的值域为[-1,+∞) 【答案】D
【解析】由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数; 当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;
当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1]; ∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).
12.(2014·湖南卷)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )
A .-3
B .-1
C .1
D .3
【答案】C 【解析】因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数, 所以f (1)+g (1)=f (-1)-g (-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
13.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A .f (x )g (x )是偶函数
B .|f (x )|g (x )是奇函数
C .f (x )|g (x )|是奇函数
D .|f (x )g (x )|是奇函数
【答案】C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.
14.(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值
范围是 .
【答案】(-1,3) 【解析】根据偶函数的性质,易知f (x )>0的解集为(-2,2),若f (x -1)>0,则-2<x -1<2,解得-1<x <3.
15.(2014·福建卷)若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )
A B
C D
【答案】B
16.(2014·湖北卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2).若
∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤-16,16
B.⎣⎡⎦⎤-66,66
C.⎣⎡⎦⎤-13,13
D.⎣⎡⎦
⎤-33,33 【答案】B 【解析】 因为当x ≥0时,f (x )=12()||x -a 2+||x -2a 2
-3a 2,所以当0≤x ≤a 2时,f (x )=
12
()a 2-x +2a 2-x -3a 2=-x ;
当a 2<x <2a 2时,
f (x )=12()x -a 2+2a 2-x -3a 2
=-a 2;
当x ≥2a 2时,
f (x )=12()x -a 2+x -2a 2-3a 2
=x -3a 2.
综上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x ,0≤x ≤a 2
,-a 2,a 2
<x <2a 2
,x -3a 2,x ≥2a 2.
因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下,
观察图象可知,要使∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则需满足2a 2-(-4a 2)≤1,解得-
66≤a ≤6
6
.故选B. 17.(2014·山东卷)已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx ,若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝⎛⎭⎫0,12
B. ⎝⎛⎭
⎫1
2,1 C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】B 【解析】 画出函数f (x )的图像,如图所示.若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实数,则函数f (x ),g (x )有两个交点,则k >1
2
,且k <1.故选B.
18.(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )
A B
C D
图1-2
【答案】D【解析】只有选项D符合,此时0<a<1,幂函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且当x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线y=x的上方,对数函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,故选D.。