第五章信号的波形估计

~xk xk OˆPˆ[xk / x(k 1)]
新息量
y(n) y(n 1) αI k
迭
代
差分方程
形
sˆn n f sˆn 1n 1Gnxn
式
f a1 cG
sˆn n a sˆn 1n 1Gnxn acsˆn 1n 1
en sn sˆn
估计误差
n E e2 n min hn
最小均方误差(MMSE)估计 (minimum mean-square error)
维纳滤波->对真实信号的最小均方误差估计问题.
n
sˆn hixn i, n 0, 1, , N 1 i0
S a Bx
E(S) E(s)
E[(s S)xT ] 0
S OP[s / x]
正交原理的三个条件
线性 S a Bx 无偏性 E(S) E(s)
正交性 E[(s S )xT ] 0
正交投影引理
正交投影是唯一的 正交投影满足线性可叠加 正交投影满足递推性
• 对于平稳背景干扰来说按照均方误差最小准侧成立的最佳波形估 计器
• 结构是满足横向滤波器结构;
• 然而，由于输入过程取决于外界的信号 、干扰环境，这种环境的统计特性常常
是未知的、变化的，因而难以满足上述 两个要求。
Kalman滤波
什么是Kalman滤波? 最佳滤波器的叠代实现形式. R.E. Kalman (1960) Optimal? formulating the MMSE linear
n
1 Bz G z sˆn
vn
Whitening Optimum causal
filter
filter for white
input
第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声） 第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器。
计算步骤
(1) 因式分解（谱分解定理）
S
xx
z

期望响应
线性滤波器
滤波器参数
自适应方法
性能评价
Wnew(n) Wold (n 1) W (n)
yn
输出信号
en
误差
(1) 失调量（Misadjustment） (2) 计算复杂度（Computational complexity） (3) 对时变统计量的跟踪能力 (4) 结构上：高模块性，并行性等（是否适合硬
线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况:
平滑
N 1
sˆn hn ixi i0
滤波
n
sˆn hn ixi i0
预测
n1
sˆn hn ixi in1 p 这里我们主要考虑滤波问题，即……
如何理解滤波
信号波形从被噪声污染中恢复称为滤波。这是 信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十 分重要的应用价 值。


2

Bz
B
z 1
(2) 分解为因果部分和非因果部分
Ssxz
B z1


Ssx z
B
z 1



Ssx z
B
z 1

(3) 计算系统函数
Hc
z

1
Bz
G(z)=
1
Bz
1


2

Ssx

z

B z1
件实现）
(5) 收敛速度 (6) 数值特性：数值稳定性（对字长效应不敏
感），数值精确性
(7) 鲁棒性：对噪声干扰不敏感，小能量干扰只 能造成小估计误差
wn 1 wn n
为一个控制收敛
速度和稳定性的常数 称为自适应步长。
LMS 方法推导 en d n y n d(n) xT nwn
wn ˆ n
wn 2enxn
使用单次计算的估 计误差平方代替平 方误差的期望。
LMS使用单次误 差代替误差平均， 造成梯度和权矢量 成为围绕真值的随 机变量。
LMS 自 适 应 滤 波 器
yn xTnwn en dn yn wn 1 wn wn, wn 2enxn




h0 xN 1
问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应序列
维纳-霍夫（Wiener-Hopf）/标准方程
正交方程 :
sˆn xnhn i hi x n i
en sn sˆn
n E e2 n min hn
Solution :
m
Ssx z Hopt zSxxz
Hopt z
Ssx z Sxxz
hopt
n

1
2j
Hopt z z n1dz
将IIR滤波器分解为两部分
H(z) 1 G(z) B(z)
wn Az sn
xn
n Ee2n n e2n ˆn
n n n ˆ n ˆn
w
w
ˆ n 2en en 2enxn
w
The steepest descent method :
wn 1 wn n
第五章 信号的波形估计
5.1波形估计的基本含义
观测信号x(t)输入到系统函数为H(w)的系 统中，滤波器输出满足预期S(t)信号波形 的估计方法。
观测样本受到噪声的污染，滤波器输出 可以认为是对预期信号S(t)的某种估计。
通过设计滤波器，使得输出波形满足指 标要求，波形（状态，轨迹）估计理论 也可以说是滤波理论。
cPn R c2Pn

c
R
Pn


c
2
预测误差功率：
Pn E e12n a2 n 1 Q
e1n sn sˆn n 1 预测误差
估计误差功率和预测误差功率关系：
n E e2 n E en s n sˆn n E en s n

(4) 计算冲激响应（逆Z变换）
(5) 计算最小均方误差
minn

1
2j
u.c.
Sss z Hopt zSxsz z1dz
维纳滤波特点
• 两个条件: • ①输入过程是广义平稳的； • ②输入过程的统计特性是已知的,要求背景和信号的统计特性，以
及互相关
硬件滤波器的构成
基本数字滤波器 不失真滤波 不管滤波器具有什么样的频率响应，均不可能
做到噪声完全滤掉，信号波形的不失真。因此， 需要寻找一种使误 差最小的最滤波方法，又 称为最佳滤波准则。
维纳滤波器（Wiener filter）是由数学家维纳 （Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方为最 优准则的线性滤波器。在一定的约束条件下，
初始估计：m0|0 P0|0
自适应滤波器
1. 学习和跟踪（时变信号） 2. 带有可调参数的最优线性滤波器
两输入两输出Two inputs and two outputs; FIR,IIR, and 格形（Lattice） 最小均方误差和最小平方误差准则
通用自适应滤波器的基本原理
xn
输入信号
d n
filtering problem (causal IIR Wiener filter) Recursive? The time-recursive processing
of the input data
正交投影原理
s、M分别为M维和N维随机矢量（待估计 的波形以及观测样本），与s同维的量S， 如果满足
Rsx m hi Rxx m i, m
i
Rxx m i E x n i x n m autocorrelation sequence of x n Rsx m E s n x n m cross-correlation sequence of s n and x n
更新
• 计算卡尔曼增益 Kk Pk|k1 HTk Hk Pk|k 1 HTk Rk 1 • 使用观察值更新预测（求后
验分布均值）
mk|k mk|k1 Kk zk Hk mk|k 1
• 求估计误差功率（求后验分 布方差）
Pk|k Pk|k 1 Kk Hk Pk|k 1
Pn cGnP n 1 cGn P n P n
en s n sˆn n 估计误差
计算步骤
Pn a2 n 1 Q
Gn

R
cPn c2Pn
n 1 cGn Pn
sˆn n a sˆn 1n 1Gnxn acsˆn 1n 1
n h j

2E en

en h j

2Eenxn

j

0,
j 0, 1,
Eenxn j 0, j
任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数 据（即滤波器的输入）正交
标准方程 (Wiener-Hopf equations):
sˆ0 h0
0
0


sˆ1 sˆ2

h1 h2
h0 h1
0
h0


sˆN 1


hN 1

hN 2

hN 3

0 x0
0

x1

0 x2
其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的 差的平方达到最小 .
波形估计准则和方法
波形估计属于最佳线性滤波，即以线性 最小均方误差准则实现波形滤波。
维纳滤波； 卡尔曼滤波； 自适应滤波；
维纳滤波问题描述
xn 观察/测量数据
sn 真实信号
vn 加性噪声/干扰
sˆn x n hn i hi x n i 线性估计问题
新息
一步预测: asˆn 1n 1 sˆn n 1
第二步预测: xˆn n 1 csˆn n 1 acsˆn 1n 1
新息（Innovation）: n xn xˆn n 1 xn acsˆn 1n 1
卡尔曼增益：
Gn

Initiation sˆ00,0 P1 G1 1, sˆ11

滤波过程
预测
• （1）状态一步预测 （先验分布均值）
mk|k1 Fk mk1|k1
• （2）预测误差功率 （先验分布方差）
Pk|k1 Qk1 Fk Pk1|k1 FkT
OPˆ[S / x(k)] OPˆ[S / x(k 1)] Kk ~xk
K k E(~sk ~xk )[ E(~xk ~xkT )]1
OPˆ[S / x(k)] OPˆ[S / x(k 1)] Kk ~xk
K k E(~sk ~xk )[ E(~xk ~xkT )]1
hopt R 1P
sˆn hTxn PTR1xn E snxT n E xnxT n 1xn
求解 Wiener-Hopf Equations --非因果 IIR滤波器
Hale Waihona Puke Rsx m hiRxxm i, i