内蒙古自治区赤峰市市元宝山区小五家回族乡回族中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市市元宝山区小五家回族乡回族中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图如图所示，若输出的，则的值可以是（）
（参考数据：）
A．3.14 B．3.1 C．3 D．2.8
参考答案：
B
输入n=6，进入循环
由题可知不满足，进入循环
由题可知不满足，进入循环由题可知满足，输出，此时
故选B
2. 已知x,y满足约束条件则的最小值为
（A）1 (B) 2 (C) 3 (D)4
参考答案：
B
略
3. 设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若
,则椭圆的离心率为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
考点：椭圆的几何性质及运用.
【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点
的值的问题.解答时充分运用题设条件和勾股定理,通过解直角三角形
求得,,然后运用椭圆的定义建立方程求得离心率.
借
助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.
4. 已知圆，，过圆C2上一点P作圆C1的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
参考答案：
A
由可得，圆的圆心在圆的圆周上运动，
设，则，设，，
，
由在上为增函数可知，当时，取最小值，故选A．5. 已知，则下列不等式一定成立的是
A 、 B、
C 、 D、
参考答案：
B
6. 椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是 ( )
A.
B． C． D．
参考答案：
C
7. 已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
8. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）
A．2 B．3 C． D．
参考答案：
D
略
9. 一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度（单位：海里/小时）（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，由正弦定理，得∴MN=64×=32．
又由M 到N 所用时间为14﹣10=4（小时）， ∴船的航行速度v=8（海里/时）；
故选B ．
10. 已知函数的图象与函数
且
的图象关于直线
对称，记
若
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是
（A ） （B ） （C ） （D ）
参考答案： 答案：D 解析：
的图象与的图象关于对称
令因为在上单调递增
①当时 单调递增
则满足题意 解得
②当时 单调递减
则满足题意 解得
综合①②可得
【高考考点】求反函数 复合函数单调性
【易错点】：求复合函数单调性中换元后的新变元的取值范围易丢掉 【备考提示】：掌握求复合函数单调区间的基本思路
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知下面四个命题
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加
0.4个单位； ④对分类变量
与
的随机变量
的观测值来说，越小，“
与
有关系”的把握
程度越大.
其中所有真命题的序号是 .
参考答案：
②③
解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命 题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越
弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程中，
当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类
变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，
故④为假命题；故真命题为②③.
12. 已知向量，，且，，则（）的最小值
为
．
参考答案：
13. 已知点是的外接圆圆心，且．若存在非零实数，使得
，且，则 .
参考答案：
【知识点】平面向量的基本定理及其意义．L4
【答案解析】解析：如图所示，∵=x +y ，且x+2y=1
，
∴﹣=y （﹣2），∴=y（+），
取AC
的中点
D，则+=2，∴=2y ，
又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC=．故答案为：，
【思路点拨】由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y（﹣2），利用向量的运算法则，取AC的中点D，则=2y，再利用点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出．
14. 在中，若，，，则．
参考答案：
15. 由下面的流程图输出的s为
参考答案：
256；
略16. 已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．
参考答案：
（﹣2，1）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．
【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．
【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，
该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数
∵f（2﹣a2）＞f（a），
∴2﹣a2＞a
解得﹣2＜a＜1
实数a 的取值范围是（﹣2，1）
故答案为：（﹣2，1）
17. 对于定义在R上的函数图象连续不断，若存在常数，使得
对任意的实数x成立，则称f (x)是阶数为a的回旋函数，
现有下列4个命题：
①必定不是回旋函数；
②若为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；
④若对任意一个阶数为的回旋函数f (x)，方程均有实数根，
其中为真命题的是________.
参考答案：
①②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于
（）
A．B．C．2D．6
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．
【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为
=2，
故选C．
19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，a n=﹣2S n?S n﹣1（n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求S n和a n．
参考答案：
考点：数列递推式；等差关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由数列递推式结合a n=S n﹣S n﹣1可得，即可说明数列{}是等差数列；（Ⅱ）由数列{}是等差数列求其通项公式，进一步得到．然后由当n≥2时，
求得数列的通项公式．
解答：（Ⅰ）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣2S n S n﹣1，①∴S n（1+2S n﹣1）=S n﹣1，由上式知若S n﹣1≠0，则S n≠0．
∵S1=a1≠0，由递推关系知，
∴由①式可得：当n≥2时，．
∴{}是等差数列，其中首项为，公差为2；
（Ⅱ）解：∵，∴．
当n≥2时，，
当n=1时，不适合上式，
∴
点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．
20. （12分）某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员.三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）已知该小区共有居民户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；
（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在范围内的家庭中选出户作为采访对象，其中在内的抽到户，求的分布列和期望.
参考答案：
解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为
（吨）
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水
（吨）………………………………………6分
（Ⅱ）由动员前的直方图计算得月平均用水量在范围内的家庭有户，在范围内的有户，因此的可能取值有，
，，
，，
所以的分布列为
∴……………………………12分
略
21. 如图,已知为圆的直径，为垂直的一条弦，垂足为，
弦交于.
（I）求证：四点共圆；
（II）若，求线段的长．参考答案：
（I）如图，连结，由为圆的直径可知
又，所以
因此四点共圆………………………………4分
（II）连结，由四点共圆得
又，所以因为在中，所以
.………………………………10分
22. 已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？
（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．
参考答案：
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理求|MN|的长度即可．
（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．利用正弦定理建立条件关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，
|AM|=10﹣2=8，|AN|=2，∠MAN=60°，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
A岛B岛北EF
∴|MN|2=|AM|2+|AN|2﹣2|AM||AN|cos60°=64+4﹣2×=52，
∴|MN|=2．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）设经过t（0＜t＜5）小时小船甲处于小船乙的正东方向．
则甲船与A距离为|AE|=10﹣2t海里，乙船与A距离为|AF|=2t海里，∠EAF=60°，∠EFA=45°，
┅┅┅6分
则由正弦定理得=，
即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
则t==＜5．┅┅┅┅┅┅┅┅11分
答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向．┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．。