2-4平抛运动多体问题及综合应用

平抛运动多体问题及综合应用
一、多体问题
○平抛与竖直面内运动的物体
（平抛与匀速）
1. 如图所示，一颗子弹从水平管中射出，立即由a 点射入一个圆筒，b 点和a 点同处于圆筒的一条直径上，已知圆筒半径为R ，且圆筒以速度v 向下作匀速直线运动.设子弹穿过圆筒时对子弹的作用可忽略，且圆筒足够长，OO′为圆筒轴线，问：
(1)子弹射入速度为多大时，它由b 点上方穿出? (2)子弹射入速度为多大时，它由b 点下方穿出? 答案：(1)v gR v 0>
(2)v
gR v 0< （平抛与自由落体）
2. （2009·高考福建卷）如图所示，射机枪水平放置，射机枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平面上，枪口与目标靶之间的距离
=s 100m ，子弹射出的水平速度=v 200m/s ，子弹
从枪口射出的瞬间目标靶由静止释放，不计空气阻力，取重力加速度g 为10m/s 2,求：
（1）从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？ （2）目标靶由静止释放到被子弹击中，下落的距离h 为多少？ 答案：（1）0.5s （2）1.25m
解析：（1）子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t 时间集中
目标靶，则： v
s
t =
，代入数据得=t 0.5s （2）目标靶做自由落体运动，则22
1
gt h =，代入数据得=h 1.25m
3. ［多选］如图所示，相距l 的两小球A 、B 位于同一高度h (l 、h 均为定值)．将A 向B 水平抛出的同时，B 自由下落．A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度
不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则（ ）
A ．A 、
B 在第一次落地前能否相碰，取决于A 的初速度 B ．A 、B 在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
C ．A 、B 不可能运动到最高处相碰
D ．A 、B 一定能相碰
答案：AD
解析：由题意知A 做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B 为自由落体运动，A 、B 竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t 1相同，且t 1＝
2h g ，若第一次落地前相碰，只要满足A 运动时间t ＝l v <t 1，即v >l
t 1
，所以选项A 正确；
因为A 、B 在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A 与地面相碰后水平速度不变，所以A 一定会经过B 所在的竖直线与B 相碰．碰撞位置由A 球的初速度决定，故选项B 、C 错误，选项D 正确． （平抛与竖直下抛运动）
4. 已知在A 、B 两小球同时从距地面高为h =15m 处的同一点抛出，初速度大小均为v 0=10 m/s ，A 球竖直向下抛出，B 球水平抛出，空气阻力不计,重力加速度取g=10 m/s 2。

求：
（1）A 球经多长时间落地？
（2）A 球落地时，A 、B 两球间的距离是多少？ 答案：（1）1s （2）m 210 解析：（1）由2
02
1gt t v x +
=求得，t =1s （2）经过1s ，B 在水平方向上位移为t v x ⋅=0=10m 。

B 在竖直方向上的位移为
52
12
==
gt y m 。

因此B 离地面的高度为h 1=10m 。

由几何关系知，A 、B 间的距离m 210212=+=h x s
（平抛与竖直上抛运动）
5. ★如图所示，在一次演习中，离地H 高处的飞机以水平速度v
1
发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v 2竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为x ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足（ ） A ．v 1＝v 2 B ．v 1＝H
x v 2
C ．v 1＝ H
x v 2
D ．v 1＝x
H
v 2
答案：D
解析：炮弹1做平抛运动，炮弹2做竖直上抛运动，若要使拦截成功，则两炮弹必定在空中相遇，以竖直方向的自由落体运动的物体为参考系，则炮弹1做水平方向上的匀速直线运动，炮弹2匀速上升，由t 1＝x v 1，t 2＝H v 2，t 1＝t 2得，v 1＝x
H
v 2，故选项D 正确．
6. ★［多选］甲从高H 处以速度v 1水平抛出小球A ，乙同时从地面以初速度v 2竖直上抛小球B ，在B 尚未到达最高点之前，两球在空中相遇，则（ ） A ．两球相遇时间1
v H
t =
B ．抛出前两球的水平距离21
v Hv s =
C ．相遇时A 球速率2
v gH
v =
D ．若gH v 2=
,则两球相遇在
2
H 处 答案：BD
○平抛与水平面运动的物体
7. 如图所示，在光滑的水平面上有小球A 以初速度v 0匀速直线运动，同时在它正上方有小
球B 以v 0为初速度水平抛出并落于C 点，则（ ） A ．小球A 先到达C 点 B ．小球B 先到达C 点 C ．两球同时到达C 点 D ．不能确定 答案：C
解析：小球B 以初速度v 0水平抛出并落于C 点，其水平方向做匀速直线运动，而在光滑的水平面上有小球A 以初速度v 0匀速直线运动，所以两球同时到达C 点．
8. (2010年江苏盐城高一考试)如图所示，飞机离地面高度为H ＝500m ，水平飞行速度为v 1
＝100m/s ，追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，假设炸弹在空中飞行时的阻力忽略不计，欲使飞机投下的炸弹击中汽车（g=10m/s 2）．求：
（1）从飞机投下炸弹开始计时，炸弹在空中飞行时间？ （2）飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？ 答案：（1）10s （2）800m
解析：（1）炸弹离开飞机做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，有212
H gt = ，则
2H
t g
=
代入数据得t =10s
（2）炸弹在水平方向上做匀速直线运动，在10s 的水平方向的位移及为飞机在这时间
内的位移，1x v t =机，代入数据得 1000m x =机
在这时间内汽车的位移为2x v t =车，代入数据得 200m x =车
800m x x x ∆=-=车机
所以飞机应在距离汽车的水平距离800m 处投弹
○平抛与斜面运动的物体
9. (2018·抚顺一模)如图所示，离地面高h 处有甲、乙两个物体，甲以初速度v 0水平射出，同时乙以初速度v 0沿倾角为45°的光滑斜面滑下。

若甲、乙同时到
达地面，则v 0的大小是( ) A ．gh
2 B ．gh C ．
2gh 2
D ．2gh
答案：A
解析：甲做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，根据h ＝1
2
gt 2，
得：t ＝
2h
g
① 根据几何关系可知：x 乙＝2h ②
乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知： a ＝F 合m ＝mg sin 45°m ＝22g ③
根据位移时间公式可知： x 乙＝v 0t ＋1
2at 2 ④
由①②③④式得： v 0＝
gh 2
， 所以A 正确。

○平抛与平抛运动的物体
（同一位置抛）
10. 在同一平台上的O 点抛出的3个物体，做平抛运动的轨迹如图3所示，则3个物体做平
抛运动的初速度v A 、v B 、v C 的关系和3个物体运动的时间t A 、t B 、t C 的关系分别是（ ） A ．v A >v B >v C ，t A >t B >t C B ．v A ＝v B ＝v C ，t A ＝t B ＝t C C ．v A <v B <v C ，t A >t B >t C D ．v A >v B >v C ，t A <t B <t C 答案：C
解析：平抛运动的时间只与下落的高度有关，由t ＝
2h
g
得t A >t B >t C ，由题图可知，在下
落高度相同时，水平射程s A <s B <s C ，所以v A <v B <v C ，故C 正确．
11. (2018·呼伦贝尔一模)如图所示，在同一平台上的O 点水平抛出的三个物体，分别落到a 、b 、c 三点，则三个物体运动的初速度v
a 、v
b 、v
c 和运动的时间t a 、t b 、t c 的关系分别是( ) A ．v a >v b >v c t a >t b >t c B ．v a <v b <v c t a ＝t b ＝t c C ．v a <v b <v c t a >t b >t c D ．v a >v b >v c t a <t b <t c
答案：C
解析：三个物体落地的高度h a >h b >h c ，根据h ＝12
gt 2
，知t a >t b >t c ，根据x a <x b <x c ，x ＝vt 知，
a 的水平位移最短，时间最长，则速度最小；c 的水平位移最长，时间最短，则速度最大，
所以有v a <v b <v c 。

故C 正确，A 、B 、D 错误。

12. [多选]如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，最后落
在斜面上。

其中有三次的落点分别是a 、b 、c ，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A ．落点b 、c 比较，小球落在c 点的飞行时间短
B ．小球落在a 点和b 点的飞行时间均与初速度v 0成正比
C ．三个落点比较，小球落在c 点，飞行过程中速度变化最快
D ．三个落点比较，小球落在c 点，飞行过程中速度变化最大 答案：AB
解析：由平抛运动规律h ＝12
gt 2
得t ＝
2h
g
，可知，落点为b 时，小球的竖直位移较大，
故飞行时间较长，A 正确；落点为a 、b 时，两次位移方向相同，故tan θ＝gt
2v 0，可见飞行
时间t 与v 0成正比，B 项正确；小球在飞行过程中速度变化快慢即加速度，均为g ，C 项错误；小球在飞行过程中，水平方向上速度不变，速度变化Δv ＝gt ，由t ＝ 2h
g
可知，小
球落在b 点时速度变化最大，D 项错误。

13. ［多选］(2014·福州模拟)如图所示，三个小球从同一高度处的O 点分别以水平初速度v 1、v 2、v 3抛出，落在水平面上的位置分别是A 、B 、C ，O ′是O 在水平面上的射影点，
且O ′A ∶O ′B ∶O ′C ＝1∶3∶5。

若不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ） A ．v 1∶v 2∶v 3＝1∶3∶5
B ．三个小球下落的时间相同
C ．三个小球落地的速度相同
D ．三个小球落地的动能相同 答案：AB
解析：由于三个小球从同一高度处抛出，所以做平抛运动的时间相同，由x ＝v 0t 可知选项A 、B 正确；由于水平初速度不相同，下落高度相同，竖直方向的速度相同，落地速度v ＝v 20＋v 2y
不同，由E k ＝12
mv 2
知，落地的动能不一定相同，故选项C 、D 错误。

14. ★如图所示，A 、B 两球用两段不可伸长的细绳连接于悬点O ，两段细绳的长度之比为1∶
2，现让两球同时从悬点O 处以一定的初速度分别向左、向右水平抛出，至连接两球的细绳伸直所用时间之比为1∶2，若两球的初速度大小的比值v A v B
＝k ，则k 应满足的条件是( ) A ．k ＝
2
2
B ．k ＞22
C ．k ＝1
2
D ．k ＞
24
答案：A
解析：设与A 、B 两球相连的绳的长度分别为l 和2l ，当与A 球相连的绳绷直时，有x ＝
v A t ，y ＝12
gt 2，
x 2＋y 2＝l 2，解得v A ＝
l 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫gt 2
22t ， 同理对B 球有v B ＝
l
2
－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤g 2t 2
2
22t
，
求得k ＝v A v B ＝2
2
，A 正确。

（对抛）
15. （2010·湖北武汉二中高一考试）如图所示，在同一竖直平面内，小球a 、b 从高度不同的两点分别以初速度a v 和b v 沿水平方向抛出，经过时间a t 和b t 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点。

若不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A ．b a t t >，b a v v <
B ．b a t t >，b a v v >
C ．b a t t <，b a v v <
D ．b a t t <，b a v v >
答案：A
解析：此题平抛运动，小球在空中运动的时间由竖直方向的分运动决定，根据212
h gt =，可得b a t t >，水平方向做匀速直线运动，根据t v x 0=可得b a v v <，故选A 。

16. ［多选］(2015·台州模拟)如图所示,a 、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出,其平抛运动轨迹的交点为P ,则以下说法正确的是（ ）
A .a 、b 两球同时落地
B .b 球先落地
C .a 、b 两球在P 点相遇
D .无论两球初速度大小多大,两球总不能相遇 答案：BD
解析：竖直方向上,两球同时做自由落体运动,故落地前任何时刻,a 都在b 的上侧,两球不可能相遇,故C 错误,D 正确;另由平抛运动时间t=
知,b 球先落地,即B 正确,A 错误。

17. 【2017·江苏卷】如图所示，A 、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t 在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（ ）
A ．t
B ．
2
2
t C ．
2
t D ．
4
t 答案：C
解析：设两球间的水平距离为L ，第一次抛出的速度分别为v 1、v 2，由于小球抛出后在水平
方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t ＝L
v 1＋v 2，若两球的抛出速度都变为
原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t ′＝
L
v 1＋v 2＝t
2，C 项正确。

18. 如图所示，在距水平地面H 和4H 高度处，同时将质量相同的a 、b
两小球以相同的初速度v 0水平抛出，则以下判断正确的是（ ） A ．a 、b 两小球同时落地 B ．两小球落地速度方向相同 C ．a 、b 两小球水平位移之比为1：2 D ．a 、b 两小球水平位移之比为1：4
答案：C
解析：a 、b 两小球均做平抛运动，由于下落时间t ＝
2h
g ，水平位移x ＝v 0
2h
g
，将h a
＝H ，h b ＝4H 代入上述关系式可得A 、D 错误，C 正确；两小球落地时速度方向均与落地点沿轨迹的切线方向一致，所以B 错误． （同一竖直线抛）
19. (2015·泰州模拟)如图所示,P 是水平地面上的一点,A 、B 、C 、D
在同一条竖直线上,且AB =BC =CD 。

从A 、B 、C 三点分别水平抛出一个物体,这三个物体都落在水平地面上的P 点。

则三个物体抛出时速度大小之比v A ∶v B ∶v C 为（ ） A .
2∶3∶6
B .1∶2∶3
C .1∶2∶3
D .1∶1∶1
答案：A
解析：由题意及题图可知DP =v A t A =v B t B =v C t C ,所以v ∝;又由h =gt 2,得t ∝,因此有v ∝,
由此得v A ∶v B ∶v C =2∶3∶6。

20. 甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高h ,将甲、乙两球分别以大小为v 1
和v 2的初速度沿同一水平方向抛出,不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ ） A ．同时抛出，且v 1<v 2 B ．甲迟抛出，且v 1<v 2 C ．甲早抛出，且v 1>v 2 D ．甲早抛出，且v 1<v 2
答案：D
21. [多选]如图所示，A 、B 两点在同一条竖直线上，A 点离地面的高度为2.5h ，B 点离地面高度为2h 。

将两个小球分别从A 、B 两点水平抛出，它们在P 点相遇，P 点离地面的高度为h 。

已知重力加速度为g ，则( )
A ．两个小球一定同时抛出
B ．两个小球抛出的时间间隔为(3－2) h g
C ．小球A 、B 抛出的初速度之比v A
v B ＝
32 D ．小球A 、B 抛出的初速度之比v A
v B ＝
23 答案：BD
解析：平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由H ＝12
gt 2
，得t ＝
2H
g
，由于A 到P 的
竖直高度较大，所以从A 点抛出的小球运动时间较长，应先抛出，故A 错误；由t ＝
2H
g
，得两个小球抛出的时间间隔为Δt ＝t A －t B ＝
2×1.5h
g
－
2h
g
＝(3－2)
h
g ，故B 正确；由x ＝v 0t 得v 0＝x g 2H ，x 相等，则小球A 、B 抛出的初速度之比v A
v B
＝ h B
h A
＝ h
1.5h
＝
2
3
，故C 错误，D 正确。

22. [多选](2018·晋城三模)如图所示，A 、B 、C 三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上，一小球若以初速度v 1从A 点水平抛出，恰好能通过B 点，从A 点运动到B 点所用时间为t 1，到B 点时速度与水平方向的夹角为θ1，落地时的水平位移为x 1；若以初速度v 2从A 点水平抛出，恰好能通过C 点，从A 点运动到C 点所用时间为t 2，到C 点时速度与水平方向的夹角为θ2，落地时的水平距离为x 2。

已知AB 间水平距离是BC 间水平距离的2倍，则( ) A ．v 1∶v 2＝2∶3 B ．t 1∶t 2＝2∶ 3 C ．tan θ1∶tan θ2＝2∶3 D ．x 1∶x 2＝2∶ 3
答案：BD
解析：由于A 、B 、C 三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上，所以竖直方向的位移和水平方向上位移比值一定相等；设ABC 的连线与水平方向之间的夹角为θ，则：
tan θ＝y
x
＝
12
gt 2v 0t ① 解得：t ＝2v 0tan θ
g。

②
则落在ABC 的连线上时竖直方向上的分速度
v y ＝gt ＝2v 0tan θ。

设速度与水平方向的夹角为α，有tan α＝v y
v 0
＝2tan θ
③
知小球到达B 点与C 点时，速度与水平方向的夹角与初速度无关，则速度与水平方向的夹角相同，故C 错误。

AB 间水平距离与AC 间水平距离之比为2∶3；由几何关系可知，小球到达B 点与C 点时，竖直方向的位移之比为：y b y c ＝2
3
④ 又y ＝12
gt
2
⑤
联立②⑤得：y ＝2v 02tan 2
θ
g
所以：y b y c ＝v 12v 2
2
⑥
联立④⑥可得：v 1v 2
＝23。

⑦
故A 错误；
联立②⑦得：t 1t 2＝v 1v 2
＝
23
，故B 正确；
两个小球在竖直方向都做自由落体运动，所以运动的时间是相等的，水平方向的位移：x ＝v 0t
⑧
联立⑦⑧可得：x 1x 2＝v 1
v 2
＝23
，故D 正确。

23. ★(2010·华东师大附中高一考试)从距地面高为H 的A 点以速度A v 平抛一物体，其水平射程为L 2，在A 的正上方距地面高为2H 的B 点，以速度B v 同方向平抛出另一物体，其水平射程为L ，两物体在空中运动的轨迹在同一竖直面内，且都从同一屏的顶端擦过，求：
（1）抛出时的速度A v 和B v 的比值。

（2）屏的高度h (注意：H 是已知的, L 是未知的) 。

答案：（1）22 （2）H 7
6 解析： （1）g H v L A
22= ， g
H
v L B 4= 联立得：22=B A v v
(2)设O 点到屏的水平距离为x ，则：
()g h H v x A
-=2 ，()g
h H v x B -=22
联立得：H h 76=
○平抛与斜抛运动的物体
24. (2018·常州一模)军事演习中，M 点的正上方离地H 高处的蓝军飞机以水平速度v 1投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军的地面高炮系统同时在M 点右方地面上N 点以速度v 2斜向左上方发射拦截炮弹，两弹恰在M 、N 连线的中点正上方相遇爆炸，不计空气阻力，则发射后至相遇过程( )
A ．两弹飞行的轨迹重合
B ．初速度大小关系为v 1＝v 2
C ．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动
D ．两弹相遇点一定在距离地面3
4H 高度处
答案：C
解析：两弹在M 、N 连线的中点正上方相遇，只能说明末位置相同，不能说明运动轨迹重合，故A 错误。

由于两弹恰在M 、N 连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即v 2cos θ＝v 1，θ为v 2与水平方向的夹角，所
[题后悟通]
对多体平抛问题的四点提醒
(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。

即轨迹相交是物体相遇的必要条件。

(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度。

(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。

(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。

二、临界问题
平抛运动中经常出现临界问题，解决此类问题的关键有三点： (1)确定运动性质——平抛运动． (2)确定临界位置．
(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图．
25. (2015·南京模拟)刀削面是山西最有代表性的面条,堪称天下一绝,已有数百年的历史。

传统的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接削到开水锅里,其
要诀是：“刀不离面,面不离刀,胳膊直硬手水平,手端一条线,一棱赶一棱,平刀是扁条,弯刀是三棱”。

如图所示,面团与开水锅的高度差h =0.80m ,与锅的水平距离L =0.50m ,锅的半径R =0.50m 。

要使削出的面条落入锅中,求面条的水平初速度v 0的范围。

答案：1.25m /s <v 0<3.75m /s 解析：由h =gt 2 得t =0.4s
v 1
==1.25m /s v 2
=
=3.75m /s
所以1.25m /s <v 0<3.75m /s
26. 排球场总长18 m ，网高2 m ，如图1所示，设对方飞来一球，刚好在3 m 线正上方被我方运动员后排强攻击回．假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可以认为排球被击回时做平抛运动，g 取10 m/s 2.若击球的高度h ＝2.5 m ，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不能出底线，则球被击回的水平速度应在什么范围内？ 答案：3
10 m /s <v 0<12
2 m /s
解析：如图所示，设球刚好触网，此过程球水平射程x 1＝3 m ，球下落高度Δh ＝h －h 1＝(2.5－2) m ＝0.5 m ，所以球飞行时间t 1＝
2Δh
g
＝
10
10
s ，可得球被击回时的下限速度v 1＝x 1t 1
＝310 m /s ；设球恰好落在底线上，此过程水平射程x 2＝12
m ，球飞行时间t 2＝
2h g
＝
2×2.510 s ＝2
2 s ，可得球被击回时的上限速度v 2＝x 2t 2
＝12
2 m /s ，欲使球既不触网也不出底
线，则球被击回时的水平速度应满足：3
10 m /s <v 0<12
2 m /s .
27. ［多选］某次网球比赛中，某选手将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在场中(不计空气阻力)，已知网球比赛场地相关数据如图2
所示，下列说法中正确的是( )
A ．击球高度h 1与球网高度h 2之间的关系为h 1＝1.8h 2
B ．若保持击球高度不变，球的初速度v 0只要不大于x
h 12gh 1，一定落在对方界内
C ．任意降低击球高度(仍大于h 2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
D ．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 答案：AD
解析：根据平抛运动的规律有
x h 1－h 2g
＝
1.5x
2h 1
g
，解得h 1＝1
.
8h 2，选项A 正确；
若保持击球高度不变，当球的初速度v 0足够小时，球会落在自己界内，选项B 错误；设击
球高度为h (仍大于h 2)时球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，则有
2x
2h
g
＝
x h －h 2g
，解得h ＝4
3
h 2，即击球高度低于此值时，球不是出界就是触网，选项C 错
误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内，选项D 正确． 28. (2018·盘锦模拟)如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L ，前场区的长度为L
6，网高为h ，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。

如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H ，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。

设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳
起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H 的大小，下列关系式正确的是( )
A ．H ＝49
48h B ．H ＝16(L ＋h )15L
C ．H ＝16
15h
D ．H ＝(L ＋h )
L
h
答案：C
解析：将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有：
H －h ＝12gt 12，H ＝12
gt 22 L
6＝v 0t 1，L 6＋L
2＝v 0t 2 联立解得H ＝1615h
故C 正确。

三、多过程问题
29. （2008·山东聊城高一考试）如图所示，平台AB 距地面CD 的高度h =0.8m ，有一滑块从A 点以初速度v 0释放沿平台滑动，并从平台的边缘B 点水平飞出，最后落在地面的D 点．已知滑块与平台间的动摩擦因数μ=0.25， 2.2AB m =，落地点到平台的水平距离为2m （不计空气阻力，g=l0m/s 2）。

求： （1）滑块的初速度v 0；
（2）滑块从A 到D 所用的时间。

答案：
（1）6m/s (2)0.8s
解析：滑块从B 到D 做平抛运动，由平抛运动规律得
2112
h gt =
1220.80.410
h t s s g ⨯=
==
11x vt =
112/5/0.4
x v m s m s t =
==
滑块从A 到B 做匀减速运动
220.2510/ 2.5/mg
a m s m s m
μ=
=⨯=
2
2202ax v v =-
220222 2.5 2.25/6/v ax v m s m s =+=⨯⨯+=
02v v at =-
20.4t s =
滑块从A 到D 的总时间120.8t t t s =+= 考点：平抛运动，匀变速直线运动
30. (2018·辽宁鞍山一中模拟)用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动，一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O 点，O 点与斜面顶端P 点的距离为s 。

每次用水平拉力F ，将物块由O 点从静止开始拉动，当物块运动到P 点时撤去拉力F 。

实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像，若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g 取10 m/s 2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

则O 、P 间的距离s 是多少？(保留两位有效数字
)
解析：根据牛顿第二定律，在OP 段有F －μmg ＝ma ， 又2as ＝v P 2，
由平抛运动规律和几何关系有 物块的水平射程x ＝v P t ，
物块的竖直位移y ＝1
2gt 2，
由几何关系有y ＝x tan θ，
联立以上各式可以得到x ＝2v P 2tan θ
g ，
解得F ＝mg
4s tan θ x ＋μmg 。

由题图乙知μmg ＝5，mg
4s tan θ＝10，
代入数据解得s ＝0.25 m 。

答案：0.25 m
31. (2014·杭州模拟)某电视台娱乐节目,要求选手要从较高的平台上以水平速度v 0跃出后,落在水平传送带上,已知平台与传送带高度差H =1.8m ,水池宽度s 0=1.2m ,传送带A 、B 间的距离L 0=20.85m ,由于传送带足够粗糙,假设人落到传送带上后瞬间相对传送带静止,经过一个Δt =0.5s 反应时间后,立刻以a =2m /s 2、方向向右的加速度跑至传送带最右端。

(1)若传送带静止,选手以v 0=3m /s 水平速度从平台跃出,求从开始跃出到跑至传送带右端经历的时间。

(2)★若传送带以u =1m /s 的恒定速度向左运动,选手若要能到达传送带右端,则从高台上跃出的水平速度v 1至少多大。

答案：(1)5.6s (2)3.25m/s
解析：(1)选手离开平台做平抛运动,则：
H=g
t 1==0.6s
x 1=v 0t 1=1.8m
选手在传送带上做匀加速直线运动,则：
L 0-(x 1-s 0)=a
t 2=4.5s
t=t 1+t 2+Δt=5.6s
(2)选手以水平速度v 1跃出落到传送带上,先向左匀速运动后再向左匀减速运动,刚好不从传送带上掉下时水平速度v 1最小,则：
v 1t 1-s 0=u Δt+
解得：v 1=3.25m/s
考点：平抛运动，匀变速直线运动，传送带问题
32. （2015.临沂模拟）钓鱼岛是我国固有领土，决不允许别国侵占，为提高警惕保卫祖国，我人民海军为此进行登陆演练，假设一艘战舰因吨位大吃水太深，只能停泊在离海岸登陆点s ＝1 km 处．登陆队员需要从较高的战舰甲板上，利用绳索下滑到登陆快艇上再向登陆目标接近，若绳索两端固定好后，与竖直方向的夹角θ＝30°，为保证行动最快，队员甲先无摩擦自由加速滑到某最大速度，再靠摩
擦匀减速滑至快艇，速度刚好为零，在队员甲开始下滑时，队员乙在甲板上同时开始向快艇以速度v 0＝3 3 m/s 平抛救生圈，第一个刚落到快艇，接着抛第二个，结果第二个救生圈刚好与甲队员同时抵达快艇，若人的质量为m ，重力加速度g
＝10 m/s 2.
(1)求战舰甲板到快艇的竖直高度H ，队员甲在绳索上运动的时间t 0；
(2)若加速过程与减速过程中的加速度大小相等，则队员甲在何处速度最大？求最大速度．
答案：（1）t 0＝3.6 s （2）在绳索中点处速度最大，v m ＝10.39 m/s
解析：(1)设救生圈做平抛运动的时间为t ，则有H ＝12gt 2
，H tan θ＝v 0t ，由题意知，t 0＝
2t ，联立以上各式得：H ＝16.2 m ，t 0＝3.6 s.
(2)由几何关系可知绳索长：L ＝H
cos30°＝18.7 m ，因加速过程与减速过程的加速度大小相
等，所以队员甲在绳索中点处速度最大．
由v m 2t ×2＝L ，所以v m ＝L
t ＝10.39 m/s. 考点：平抛运动，匀变速直线运动多过程问题
33. 【2014.浙江理综】如图所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的
同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成
质点，重力加速度g ＝10 m/s 2)
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；
(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；
(3)★若靶上只有一个弹孔，求L 的范围．
答案：（1）a=209
m/s 2
（2）Δh ＝0.45 m （3）492 m<L ≤570 m
解析 (1)装甲车加速度a ＝v 202s ＝209
m/s 2
(2)第一发子弹飞行时间t 1＝L
v ＋v 0
＝0.5 s
弹孔离地高度h 1＝h －12
gt 2
1＝0.55 m
第二发子弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫L －s v 2
＝1.0 m
两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m
(3)第一发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L 1
L 1＝(v 0＋v )
2h
g
＝492 m
第二发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L 2
L 2＝v
2h
g
＋s ＝570 m
L 的范围492 m<L ≤570 m
考点：平抛运动，匀变速直线运动
流体问题
34. ( 2010·山东临沂高一考试)如图所示，园林工人给花草浇水用的水枪可连续、均匀地水平向外射出一细束水流，已知水枪出水口的横截面积为S ，如果只
用一把钢卷尺来测定水枪的水流量Q （即在单位时间内喷出水的体积），请写出水流量Q 的表达式并说明式中所测物理量的意义。

表达式Q = ；
各物理量的物理意义：________________________________． 答案： h
g
s S x 2⋅ s x 为水流的水平射程，h 为水枪出水口距地面的高度 解析：由2
2
1gt h =
得，g h t 2=，水流的水平射程g
h
v s x 20=。

所以水流量=⋅=vt S Q h
g
s S x
2⋅ 其中s x 为水流的水平射程，h 为水枪出水口距地面的高度 考点：平抛运动，联系实际。