2024-2025学年云南省昆明八中九年级上学期9月月考数学试题及答案

昆明八中2024-2025学年上学期9月学情监测
初三年级 数学试卷
考试时间：80分钟 满分：100分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题2分，共30分）
1. 2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至2024年4月26日，累计发送旅客超280000人次，数据“280000”用科学记数法表示应为（ ）
A. 428010×
B. 42810×
C. 52.810×
D. 60.2810× 2. 如图的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 3. 如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=°，则BAF ∠的度数为（ ）
A. 17.5°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 6m m m ⋅=
B. ()33mn mn =
C. ()326m m =
D. 63m m m ÷= 5. 如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD ≌△△的条件是（ ）
A. BD CD =
B. AB AC =
C. B C ∠=∠
D. BAD CAD ∠=
∠ 6. 学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x ，22x −，33x ，44x −， ，1010x −， ，请你写出第n 个单项式（用含n 的式子表示）为（ ）
A. n nx −
B. ()1n n nx −
C. ()11n n nx +−
D. ()21n n nx +−
7. 若方程240x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A. 4m >
B. 4m <
C. 2m ≥
D. 5m ≤
8. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A ．科普，B ．文学，C ．体育，D ．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误．．
的是（ ）
A. 样本容量为400
B. 类型D 所对应的扇形的圆心角为36°
C. 类型C 所占百分比为30%
D. 类型B 的人数为120人
9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，若60AOB ∠=°，1AB =，则AD 的长为（ ）
A. √3
B.
C. 2
D. 1
10. 把多项式328x x −因式分解的最后结果是（ ）
A. ()324x x −
B. ()
224x x − C. 22(2)x x − D. 2(2)(2)x x x +− 11. 关于函数25y x =−−，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象是一条直线
B. y 的值随着x 值的增大而减小
C. 图象不经过第一象限
D. 图象与x 轴的交点坐标为()5,0−
12. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若100D ∠=°，则AOC ∠的度数为（ ）
A. 80°
B. 140°
C. 150°
D. 160°
13. 为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）
A. ()245120x −=
B. ()220145x −=
C. ()245120x +=
D. ()220145x +=
14. 如图，点A 在x 轴上，90,30,6OAB B OB ∠=°∠=°=，将OAB △绕点O 按顺时针方向旋转120°得到OA B ′′△，则点B ′的坐标是（ ）
A. ()3−
B. (
C. ()
D. (3,− 15. 如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向矩形移动，直到AB 与EF 重合，设s x 时，ABC 与矩形重叠部分的面积为2m y ，则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每题2分，共8分）
16. 计算：2422
x x x +=++____________． 17.
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________．
18. 有一个正多边形，它的内角和等于外角和，那么这个正多边形的边数是__________．
19. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x （单位：环）及方差2s （单位：环2）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择__________．
三、解答题（62分）
20. 计算：()2012π 3.143− ．
21. 已知：如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC EF AD BE A E ==∠=∠，，．求证：ABC EDF △≌△．
22. 甲、乙两名学生到离校2.1km “荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min 后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学步行的速度为多少千米每小时？
23. 如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，BE AC ∥，AE BD ，EO 与AAAA 交于点F ．
（1）求证：四边形AEBO 是矩形；
（2）若10OE =，8AE =，求菱形ABCD 的面积．
24. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元．
（1）求a ，b 的值；
（2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草(100)
x x ≤
千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y （元）最大？最大利润为多少？ 25. 如图，直角三角形ABC 中，90C ∠=°，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．
（1）证明：BC 是O 的切线；
（2）4BD =，2BE =，求AB 的长．
的的
26. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =−+与x 轴交于点()3,0A −和点C ，与y 轴交于点AA (0,3)，点P 是抛物线上点A 与点C 之间动点（不包括点A ，点C ）．
备用图
（1）求抛物线解析式；
（2）动点P 在抛物线上，且在直线AB 上方，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点E ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若QFE △是以QE 为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q 的坐标． 的的
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初三年级 数学试卷
考试时间：80分钟 满分：100分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题2分，共30分）
1. 2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至2024年4月26日，累计发送旅客超280000人次，数据“280000”用科学记数法表示应为（ ）
A. 428010×
B. 42810×
C. 52.810×
D. 60.2810×
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成10n a ×的形式，其中≤<110a ，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：5280000 2.810=×，
故选：C ．
2. 如图的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A ．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
B ．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
C ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D ．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D ．
3. 如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=°，则BAF ∠的度数为（ ）
A. 17.5°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
【答案】B
【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得
BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．
【详解】解：∵DF AC ∥，
∴135FAC ∠=∠=°，
∵AF 是BAC ∠的平分线，
∴35BAF FAC ∠=∠=°，故B 正确．
故选：B ．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 6m m m ⋅=
B. ()33mn mn =
C. ()326m m =
D. 63m m m ÷=
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A 、67m m m ⋅=，原式计算错误，不符合题意；
B 、()333mn m n =，原式计算错误，不符合题意；
C 、()326m m =，原式计算正确，符合题意；
D 、633m m m ÷=，原式计算错误，不符合题意；
故选：C ．
5. 如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD ≌△△的条件是（ ）
A. BD CD =
B. AB AC =
C. B C ∠=∠
D. BAD CAD ∠=∠
【答案】B
【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定方法是关键．根据全等三角形的判定定理SSS 、SAS 、AAS 、ASA 分别进行分析即可．
【详解】解：A 、由BD CD =，12∠=∠，AD AD =，可利用SAS 定理判定ABD ACD △≌△，故此选项不合题意；
B 、AD AD =，AB A
C =，12∠=∠是边边角，则AB
D △与ACD 不一定全等，故此选项符合题意； C 、由B C ∠=∠，12∠=∠，AD AD =，可利用AAS 定理判定ABD ACD △≌△，故此选项不合题意；
D 、由BAD CAD ∠=
∠，AD AD =，12∠=∠，可利用ASA 定理判定ABD ACD △≌△，故此选项不合题意；
故选：B ．
6. 学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x ，22x −，33x ，44x −， ，1010x −， ，请你写出第n 个单项式（用含n 的式子表示）为（ ）
A. n nx −
B. ()1n n nx −
C. ()11n n nx +−
D. ()21n n nx +− 【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式的规律即可得到结论．
【详解】()
111x x +=−， ()2122122x x +=
−−， ()3133313x x +=−，
…
第n 个单项式为：()
11n n nx +−，
故选：C ． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是理清题意，找到数字间的规律．
7. 若方程240x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A. 4m >
B. 4m <
C. 2m ≥
D. 5m ≤ 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．
根据判别式的意义得到24410m −××<，即可求解．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x m ++=没有实数根．
∴0∆<，即24410m −××<，
解得，4m >，
故选：A ．
8. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A ．科普，B ．文学，C ．体育，D ．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误．．
的是（ ）
A. 样本容量为400
B. 类型D 所对应的扇形的圆心角为36°
C. 类型C 所占百分比为30%
D. 类型B 的人数为120人
【答案】C
【解析】
【分析】根据A 类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项A ；利用360°乘以10%可判断选项B ；利用C 类型的人数除以样本总人数可判断选项C ；利用B 类型所在百分比乘以样本总人数即可判断选项D ．
【详解】解：10025%400÷=
，则样本容量为400，选项A 说法正确； 36010%36°×=°，则选项B 说法正确；
140100%35%400
×=，则选项C 说法错误； ()125%35%10%400120−−−×=
（人），则选项D 说法正确； 故选：C ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，若60AOB ∠=°，1AB =，则AD 的长为（ ）
A. √3
B.
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先证明AOB 是等边三角形，得出1OB AB ==，再由矩形的性质得出=22BD BO =，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC BD ，相交于点O ， ∴1,2
AC
BD OA OB BD ===, 又60AOB ∠=°， ∴AOB 是等边三角形，
∴1OB AB ==，
∴=22BD BO =，
AD ∴=
故选：A ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
10. 把多项式328x x −因式分解的最后结果是（ ）
A. ()324x x −
B. ()
224x x − C. 22(2)x x −
D. 2(2)(2)x x x +− 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：32()()()2824222x x x x x x x −=−=+−； 故选D ．
11. 关于函数25y x =−−，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象是一条直线
B. y 的值随着x 值的增大而减小
C. 图象不经过第一象限
D. 图象与x 轴的交点坐标为()5,0−
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，对各个选项逐一判断即可． 【详解】解： 函数25y x =
−−， ∴A 正确，不符合题意；
y 的值随着x 值的增大而减小，故选项B 正确，不符合题意；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C 正确，不符合题意；
图象与x 轴的交点坐标为( 2.5,0)−，故选项D 不正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
12. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若100D ∠=°，则AOC ∠的度数为（ ）
A. 80°
B. 140°
C. 150°
D. 160°
【答案】D
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出B ∠，再根据圆周角定理求出AOC ∠．
【详解】解： 四边形ABCD 内接于O ，
180D B ∴∠+∠=°，
100D ∠=° ，
80B ∴∠=°，
由圆周角定理得：2160AOC B ∠=∠=°，
故选：D ．
13. 为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）
A. ()245120x −=
B. ()220145x −=
C. ()245120x +=
D. ()220145x +=
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如2(1+)m x n =的方程即可．
【详解】根据题意，得220(1)45x +=．
故选：D ．
14. 如图，点A 在x 轴上，90,30,6OAB B OB ∠=°∠=°=，将OAB △绕点O 按顺时针方向旋转120°得到OA B ′′△，则点B ′的坐标是（ ）
A. ()3−
B. (
C. ()
D. (3,− 【答案】D
【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点B ′作B C x ′⊥轴，根据旋转的性质，结合角
的和差关系，得到60,6COB OB OB ′′∠=
°==，进而求出,OC B C ′的长，即可得出结果。

【详解】解：过点B ′作B C x ′⊥轴，
∵90,30,6OAB B OB ∠=°∠=°=，
∴60AOB ∠=°，
∵将OAB △绕点O 按顺时针方向旋转120°得到OA B ′′△，
∴6,120OB OB BOB ′′=
=∠=°， ∴60B OC BOB AOB ′′∠=∠−∠=°，
∴30OB C ′∠=°，
∴13,2OC OB B C ′′===，
∴(3,B ′−；
故选D 。

15. 如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向矩形移动，直到AB 与EF 重合，设s x 时，ABC 与矩形重叠部分的面积为2m y ，则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，分别求出01x <≤时，12x <<与23x ≤≤时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可．
【详解】解：如图，当01x <≤时，重叠部分为三角形，面积2
1
2222y x x x =⋅⋅=，抛物线开口向上，
如图，当12x <<时，重叠部分为三角形，面积12222
y =××=，
如图，当23x ≤≤时，重叠部分为梯形，面积()()2211222221422
y x x =××−
×−=−−+，抛物线开口向下， ，
只有A 选项符合．
故选A ．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每题2分，共8分）
16. 计算：2422
x x x +=++____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算，先按照同分母分式相加法则进行计算，再把计算结果中的分子分解因式，最后约分即可． 详解】解：2
224224x x x x x =+++++ ()
222x x +=+
2=，
故答案为：2．
17.
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________．
【答案】3x ≥
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：30x −≥，
解得：3x ≥，
故答案为：3x ≥．
18. 有一个正多边形，它的内角和等于外角和，那么这个正多边形的边数是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查多边形的内角和公式，解题的关键是熟知多边形的外角和为360°．
设边数为n ，根据题意可列出方程进行求解．
【详解】设多边形有n 条边，由题意得：
()1802360n −=，
解得4n =．
故答案为：4．
19. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x （单位：环）及方差2s （单位：环2）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选
【
择__________．
【答案】
乙
【解析】
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：由表知甲、乙、丁射击成绩的平均数相等，且大于丙的平均数，
∴从甲、乙、丁中选择一人参加竞赛，
乙的方差较小，
∴
乙发挥稳定，
∴选择乙参加比赛．
故答案为：乙．
三、解答题（62分）
20. 计算：()
20
1
2π 3.14
3
−
．
【答案】4
−
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可．
【详解】解：()
20
1
2π 3.14
3
−
2291
=−+−+
4
−．
21. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC EF AD BE A E
==∠=∠
，，．求证：ABC EDF
△≌△．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明AB DE =，再利用SAS 证明ABC EDF △≌△即可．
【详解】证明：∵AD BE =，
∴AD BD BE BD +=+，
∴AB DE =，
在ABC 和EDF 中，
AB DE A E AC EF = ∠=
∠ =
， ∴(SAS)ABC EDF △≌△．
22. 甲、乙两名学生到离校2.1km 的“荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min 后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学步行的速度为多少千米每小时？
【答案】甲同学步行的速度为6
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲同学步行的速度为x 千米每小时，则乙同学骑自行车的速度为3x 千米每小时，根据甲早出发14min ，但是二人同时到达列出方程求解即可．
【详解】解：设甲同学步行的速度为x 千米每小时，则乙同学骑自行车的速度为3x 千米每小时， 由题意得，2.1 2.114360
x x −=， 解得6x =，
检验，当6x =时，30x x ⋅≠，
∴6x =是原方程的解，且符合题意，
答：甲同学步行的速度为6千米每小时．
23. 如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，BE AC ∥，AE BD ，EO 与AAAA 交于点F ．
（1）求证：四边形AEBO 是矩形；
（2）若10OE =，8AE =，求菱形ABCD 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）96
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质．
（1）先证明四边形AOBE 是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC BD ⊥，推出平行四边形AOBE 是矩形，即可证明；
（2）根据矩形的性质可得8BO AE ==，90EAO ∠=
°，利用勾股定理求出6AO =，再结合菱形的性质求出AC 、BD ，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明： BE AC ∥，AE BD ，
∴四边形AOBE 是平行四边形，
四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，
∴平行四边形AOBE 是矩形；
【小问2详解】
解： 四边形AOBE 是矩形，
∴8BO AE ==，90EAO ∠=
°，
∴6AO ，
四边形ABCD 菱形，
∴212AC AO ==，216BD BO =
=， ∴菱形ABCD 的面积为：1112169622
AC BD ⋅=××=． 24. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20
千克香
是
艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元．
进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香
a 12 苦艾草
b 16
（1）求a ，b 的值；
（2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草(100)x x ≤千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y （元）最大？最大利润为多少？
【答案】（1）a 的值为7，b 的值为12；
（2）该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y （元）最大，最大利润为740元．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式，函数关系式，方程组是解题的关键．
（1）根据购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元列出方程组求解即可；
（2）设香艾草的进货量为x 千克，则苦艾草的进货量为()160x −千克，根据苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，列出不等式求出x 的取值范围，再根据利润=（售价−进价）×销售量列出y 关于x 的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】 解：依题意，得：2052001510225a b a b += +=
， 解得：712
a b = = ， 答：a 的值为7，b 的值为12；
【小问2详解】
解：设购进香艾草(100)x x ≤千克，则购进苦艾草()160x −千克，
依题意，得：
1603x x −≤，
的
解得：40x ≥，
故40100x ≤≤，
∵全部销售完后的销售利润()()()1271612160640y x x x =−+−−=+，
∵10>，
∴y 随x 的增大而增大，
又∵40100x ≤≤，
∴当100x =时，y 取得最大值，最大值640100640740x =+=+=，
此时16060x −=．
答：该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y （元）最大，最大利润为740元．
25. 如图，直角三角形ABC 中，90C ∠=°，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．
（1）证明：BC 是O 的切线；
（2）4BD =，2BE =，求AB
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接OD ，根据平行线判定推出OD AC ∥，推出OD BC ⊥，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出3OD OA OE ===，再根据线段的和差求解即可．
【小问1详解】
证明：连接OD ，
OA OD = ，
OAD ODA ∠=∠∴，
AD 平分BAC ∠，
BAD CAD ∴∠=∠，
ODA CAD ∴∠=∠，
∴OD AC ∥，
180C ODC ∴∠+∠=°，
90C ∠=° ，
90ODC ∴∠=°，
OD BC ∴⊥，
OD 为半径，
BC ∴是O 切线；
【小问2详解】
解：设OD OE r ==，
在Rt ODB △中，4BD =，2BE =，
2OB r ∴=+，
由勾股定理，得：2224(2)r r +=+，
解得：3r =，
3OD OA OE ∴===，
628AB ∴=+=．
26. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =−+与x 轴交于点()3,0A −和点C ，与y 轴交于点AA (0,3)，点P 是抛物线上点A 与点C 之间的动点（不包括点A ，点C ）．
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 在抛物线上，且在直线AB 上方，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点E ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若QFE △是以QE 为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q 的坐标．
【答案】（1）223y x x =
−−+； （2）最大值为278，315,24P −
； （3
）32
或32 或39,24
． 【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可．
（1）把点A ，B 坐标代入函数解析式，即可；
（2）设直线AB 的解析式为y kx b =
+，根据点A ，B 的坐标求出解析式，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点H ，求出PH ，根据12
APB S PH AO =×× ，即可；
（3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：()21.54y x =−−+，根据点F 为点P 的对应点，求出点F 的坐标，平移后的抛物线与轴交于点E ，求出点E 的坐标，根据两点间的距离公式，求出229744QE m =+− ，2
211544QF m =+−
，25EF =，分类讨论等腰三角形的形状，即可． 【小问1详解】
∵抛物线经过()3,0A −，AA (0,3)， ∴9603a c c ++= =
， 解得：13a c =− =
， ∴抛物线的解析式为：223y x x =
−−+． 【小问2详解】
设直线AB 的解析式为y kx b =
+， 的
∵直线AB 经过()3,0−，(0,3)
∴303
k b b −+= = ， 解得：13k b = =
， ∴直线AB 的解析式为3y x ，
过点P 作x 轴的垂线交AB 于点H ，设()
2,23P x x x −−+， ∴(),3H x x +， ∴()22
2333PH x x x x x =−−+−+=−−， ∵ABP 面积12
PH AO =××， ∴()222139332733222228ABP S x x x x x =×−−×=−−=−++ ， ∴当32x =−时，ABP 面积最大值为278， 此时315,24P −
． 【小问3详解】
抛物线整理得：()222314y x x x =−−+=−++， ∴平移后的抛物线表达式为：()21.54y x =−−+， ∵点F 为点P 的对应点，315,24P −
， ∴点151,4F
， ∵平移后的抛物线与y 轴交于点E ，
∴当0x =时，()271.544y x =
−−+=， ∴点70,4E
， 设点()1.5,Q m ， ∴229744QE m =+− ，2211544QF m =+−
，25EF =， 当QE QF =时，则22971154444m m +−=+− ，解得：94m =， ∴点Q 的坐标为：91.5,4
；
当QE EF =时，则297544m =+− ，解得：m =
∴点Q 的坐标为： ， 检验得点Q ，点E ，点F 三点不共线．
综上所述，点Q 的坐标为：32 或32 或39,24
．。