用基本不等式解决应用题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
3.4.4基本不等式解决应用题
即 220000SS＋＋2102200S09＋00S2490P000S，3420000S0(，，S )2＋6 S－160 0，解得
即即2即(02002SS00＋S0)2＋S＋ 1＋2160210020S0－0SS1S6P0PP03，23023解002000得，00，00，
S 100， S 10，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理 成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果 不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
xy＝12x＋80x000－200≥2 12x·80x000－200＝200， 当且仅当12x＝80x000，即 x＝400 时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元.
2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3, 深解为：3设m底，面如的果长池为底x每m1，m宽2的为造ym价，为水15池0元的，总池造壁价每为1zm元2，的
造根价据为题意12，0元得，问怎样48设00计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少z元？150 3 120(2 3x 2 3 y)
3.某机构准备建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5 米)，前后墙用彩色钢板，两侧用复合钢板，两种钢板的 价格都用长度来计算彩色钢板每米450元，复合钢板每米 200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200 元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算： (1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为 P，试用x，y表示P； (2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面 墙的长度应设计为多少米？
数列，因此使用x年的总维修费用为 x0.2 0.2x 万元， 2
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
基本不等式的题目
基本不等式的题目
一、基本不等式的概念与意义
基本不等式，又称均值不等式或切比雪夫不等式，是数学中一种常见的不等式。
它的一般形式为：对于任意的实数a、b、c，有（a+b+c）/3 ≥ （max(a, b, c) + min(a, b, c)）/2。
基本不等式在数学分析、概率论、线性代数等领域具有广泛的应用。
二、基本不等式的性质与公式
1.性质：当且仅当a=b=c时，等号成立。
2.公式：对于任意的实数a、b、c，有（a+b+c）/3 ≥ （max(a, b, c) + min(a, b, c)）/2。
三、基本不等式的应用场景
1.求解最值问题：利用基本不等式可以求解带有约束条件的最值问题，例如求函数的最值、最值函数等问题。
2.证明不等式：基本不等式可以作为证明其他不等式的基础，如切比雪夫不等式、赫尔德不等式等。
3.求解概率问题：在概率论中，基本不等式可用于估计随机变量的期望、方差等。
四、基本不等式的练习与拓展
1.练习：求解以下不等式问题：
（1）已知a、b、c∈R，求（a+b+c）/3的最小值。
（2）已知a、b、c、d∈R，证明（a+b+c+d）/4 ≥ （max(a, b, c,
d) + min(a, b, c, d)）/2。
2.拓展：研究基本不等式与其他不等式（如切比雪夫不等式、赫尔德不等式等）的关系，了解它们在实际问题中的应用。
通过掌握基本不等式，我们可以在解决实际问题时更加得心应手。
应用题 基本不等式类型1
应用题 基本不等式类型16、运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．7、某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？4、小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年 起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车 运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其 销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)5、要制作一个如图的框架(单位：米)，要求所围成的总面积为19.5(平方米)，其中四边形ABCD 是一个矩形，四边形EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x 米，BC ＝y 米．(1)求y 关于x 的表达式；(2)如图设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？答案1、解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])． (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．2、解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x. (2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x ) ＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)．装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010(17＋x )， 令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310， 当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211. 答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．4、解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )，即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．5、解 (1)如图，等腰梯形CDEF 中，DH 是高． 依题意，DH ＝12AB ＝12x ， EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ， ∴392＝xy ＋12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2， ∴y ＝392x －56x . ∵x ＞0，y ＞0，∴392x －56x ＞0，解得0＜x ＜3655， ∴所求表达式为y ＝392x －56x (0＜x ＜3655)． (2)Rt △DEH 中，∵tan ∠FED ＝34， ∴sin ∠FED ＝35， ∴DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ， ∴l ＝(2x ＋2y )＋2×56x ＋⎝⎛⎭⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥2 39x ×13x 3＝26. 当且仅当39x ＝133x ，即x 2＝9，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4， ∴AB ＝3米，BC ＝4米时，能使整个框架用材料最少.1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．（1）为控制预算，要求每批产品的总费用控制在1000元，求x的范围；（2）为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件．2．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求出最大值．3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)1、解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8(x ＞0)，即x ＝80时“＝”成立．答案 802、解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案 5 83、解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b再由已知得⎩⎨⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.。
基本不等式应用题型
基本不等式应用题型1. 一个长方形的长是x+3，宽是x-2，求长方形的周长和面积。
解答：周长=2(x+3+x-2)=2(2x+1)=4x+2，面积=(x+3)(x-2)=x^2+x-6。
2. 一个三角形的两边长分别是x和x+2，第三边长是2x-1，求三角形的周长。
解答：周长=x+(x+2)+(2x-1)=4x+1。
3. 一个矩形的长是x+4，宽是x-1，求矩形的周长和面积。
解答：周长=2(x+4+x-1)=2(2x+3)=4x+6，面积=(x+4)(x-1)=x^2+3x-4。
4. 一个正方形的边长是2x-1，求正方形的周长和面积。
解答：周长=4(2x-1)=8x-4，面积=(2x-1)^2=4x^2-4x+1。
5. 一个圆的半径是x+2，求圆的周长和面积。
解答：周长=2π(x+2)=2πx+4π，面积=π(x+2)^2=π(x^2+4x+4)。
6. 一个等腰三角形的底边长是2x-1，两腿长分别是x和x+3，求三角形的周长。
解答：周长=(2x-1)+x+(x+3)=4x+2。
7. 一个梯形的上底长是x+2，下底长是2x-1，高是x，求梯形的面积。
解答：面积=((x+2)+(2x-1))×x/2=(3x+1)×x/2=3x^2+x/2。
8. 一个圆的直径是2x+1，求圆的周长和面积。
解答：周长=π(2x+1)=2πx+π，面积=π[(2x+1)/2]^2=π(x+1/2)^2。
9. 一个等边三角形的边长是2x-1，求三角形的周长和面积。
解答：周长=3(2x-1)=6x-3，面积=(2x-1)^2=4x^2-4x+1。
10. 一个平行四边形的边长分别是x和x+3，高是x-1，求平行四边形的周长和面积。
解答：周长=2(x+x+3)=4x+6，面积=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3。
基本不等式实际应用题
• 基本不等式的概念和性质 • 基本不等式的应用场景 • 基本不等式的解题技巧 • 基本不等式的实际应用案例 • 基本不等式的扩展和深化
01
基本不等式的概念和性质
基本不等式的定义
定义
基本不等式是数学中常用的一个不等 式，它表示两个正数的平均数总是大 于或等于它们的几何平均数。
总结词：代数变换技巧是基本不等式 解题中的重要技巧之一，通过代数运 算对项进行变换，可以简化计算过程， 提高解题效率。
放缩法技巧
放缩法技巧是指通过放缩不等式的两边，使不等式更易于解 决。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过放缩法技 巧将问题转化为更容易求解的形式。
总结词：放缩法技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一， 通过放缩不等式的两边，可以将问题转化为更容易求解的形 式，提高解题效率。
构造函数技巧
构造函数技巧是指根据题目的特点，构造一个函数来解决问题。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过构造函数技巧 将问题转化为求函数的最值问题。
总结词：构造函数技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一，通过构造函数可以将问题转化为求函数的最值问题，简化计算 过程，提高解题效率。
04
基本不等式的实际应用案例
VS
详细描述
在资源有限的条件下，如何合理分配资源 以达到最优效果是资源分配问题的核心。 基本不等式可以用来解决这类问题，例如 在农业生产、资金分配等方面，通过优化 资源配置，可以提高整体效益。
最短路径问题
总结词
在交通、通信和工程领域，最短路径问题至关重要，基本不等式为寻找最短路径提供了 理论支持。
极值问题
在极值问题中，基本不等式可以用来确定函数的极值点，以及极值的大小。
优化问题的求解
基本不等式实际应用题
（2）已知三角形的面积等于50，两条直 角边各为多少时，两条直角边的和最小？ 最小值是多少？ 解：设三角形的两条直角边为x、y
∴则xsy==11200x y 5 0
∴ xy2 xy20
当且仅当x=y=10时取等号 ∴当这个直角三角形的直角边都时10的 时候，两条直角边的和最小为20
（4）用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 应当怎样折？
解：设矩形的长为xm，宽为ym，则 2(x+y)=20 即 x+y=10
y x
∴
xy ( x y)2 2
=25
当且仅当x=y=5时取等号
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25m2
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
（3）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这 个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？
面积最大值是多少？
解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则
2(x+y)=36 即 x+y=18
∴ xy ( x y)2=81 2
当且仅当x=y=9时取等号
y x
∴ 当这个矩形的长、宽都是9m的时候
面积最大，为81 m2
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价 为z元.根据题意得3xy=4800，即 xyz=16105004800120(23x23y) 3 240000720(xy)
2400007202 xy
=297600
当且仅当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的底面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低,最低总造价为
基本不等式及其应用 习题及解析
基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。
35B。
105C。
140D。
2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。
2B。
4C。
8D。
163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。
$a=b$B。
$a=b=1$XXX 1$D。
$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。
0B。
$\frac{1}{4}$C。
$\frac{1}{2}$D。
15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。
3B。
4C。
5D。
66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。
$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。
$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。
4B。
6C。
8D。
98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。
2B。
3C。
4D。
59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。
$y=x^2+1$B。
$y=2-x^2$C。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识无处不在，看似抽象的基本不等式其实也有着广泛的应用。
掌握并灵活运用基本不等式，能帮助我们解决许多实际问题，让生活变得更加高效和经济。
基本不等式，对于两个正实数 a 和 b，它们的算术平均数大于等于几何平均数，即：＼（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
先来说说购物方面的例子。
假设我们要购买一定数量的某种商品，比如苹果。
超市 A 售卖的苹果每个价格是 x 元，但是需要支付固定的运费 y 元；超市 B 售卖的苹果每个价格是 z 元，没有运费。
在考虑购买成本时，我们可以运用基本不等式来决定在哪家超市购买更划算。
设我们计划购买 n 个苹果。
在超市 A 购买的总费用为＼（C_{A} ＝ nx ＋ y\），在超市 B 购买的总费用为＼（C_{B} ＝ nz\）。
为了比较在哪家购买更经济，我们可以计算两者的平均值。
对于超市 A，平均每个苹果的费用为＼（＼frac{C_{A}｝｛n} ＝ x ＋＼frac{y}｛n}＼）。
这里，根据基本不等式，如果 x 是固定的，那么当＼（n\）足够大时，＼（＼frac{y}｛n}＼）会趋近于 0，平均费用就趋近于＼（x\）。
对于超市 B，平均每个苹果的费用始终是＼（z\）。
所以，当＼（x ＜ z\）时，在超市 A 购买更划算；当＼（x ＞ z\）时，在超市 B 购买更划算；当＼（x ＝ z\）时，则需要进一步考虑＼（y\）和＼（n\）的关系来决定。
再看一个房屋装修的例子。
假如我们要装修一间房间，需要购买地板材料和墙面涂料。
地板材料每平方米的价格是 a 元，墙面涂料每桶的价格是 b 元，每桶涂料可以涂刷 c 平方米的墙面。
房间的地面面积是 m 平方米，墙面面积是 n 平方米。
在预算有限的情况下，我们希望在满足装修需求的同时，尽可能节省费用。
设购买地板材料 x 平方米，购买涂料 y 桶。
2.4.3 基本不等式及其应用(含答案)
【课堂例题】例1.用长为4a 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样才能使所围矩形菜园的面积最大？例2.用篱笆围一个面积为218m 的矩形菜园，如果一边借用已有的一堵墙，则篱笆至少要多少米？例3.某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？(结果精确到0.1米)例4.某工厂建造一个无盖的长方体水池，其容积为34800m ，深度为3m ，如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？43绿地【基础训练】1.(1)把36写成两个正数的积，要求这两个正数的和最小，那么36= .(2)把18写成两个正数的和，要求这两个正数的积最大，那么18= .2.用一根长为L 的铁丝制成一个矩形框架，框架的面积最大值为 .3.斜边长为10的直角三角形，面积最大值为 .4.某种产品的生产者准备对该产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ；方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q +. 其中0p q >>，则上述总提价从小到大排列正确的是（ ）(A)甲<乙<丙; (B)甲=乙<丙; (C)丙<甲=乙; (D)由,p q 的具体数值确定.5.某汽车公司购买了一批客车投入营运，每辆客车营运的总利润y (单位10万元)与营运年数x *()x N ∈为二次函数关系如图，则每辆客车营运( )年时，其营运的年平均利润最大. (A)3; (B)4; (C)5; (D)6.6.建造一个容积为8造价每平方米分别为7.如图，一份印刷品的排版面积(虚线矩形面积)为18，它的两边都留有宽为1的空白，顶部和底部都留有宽为2的空白.如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？注：纸张的尺寸一般用m n 表示.【巩固提高】8.如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是l 米，求该木质窗框的最大面积.(结果用l 表示，忽略木料本身宽度).12129.经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的关系为2920(0)31600v y v v v =>++ (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到0.1千辆/时)(2)若要求该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？提示：分子分母同除以v 后再处理.(选做)10.(1)用实验的方法比较三个正数,,a b c 的算术平均数3a b c++和(也可以证明)(2)利用(1)，尝试解决《数学》高一年级第一学期46P 课题一所提出的问题.【温故知新】 11.4{|,,0}A y y x x R x x ==+∈≠，则与A 相等的集合是( ).(A) (,4][4,)-∞-+∞; (B) [4,)+∞； (C) (,2][2,)-∞-+∞； (D) [2,)+∞.【课堂例题答案】例1.围成正方形时面积最大.例2.至少需要篱笆12米.例3.绿地长与宽分别为30.6米与22.9米时，人行道所占没面积最小.例4.底面为边长40米的正方形时，总造价最低，总造价为297600元.【习题答案】1.(1)66⨯; (2)99+.2.216L . 3.50.4.B 提示：22(1%)(1%)%%(1%)(1%)(1%)(1%)[](1)22p q p q p q q p ++++++=++<=+ 5.C 提示：2525()1210122(,5)y x x x x x x=-++≤-+=== 6.1760元.7.大小为105⨯规格. 8.248l . 9.(1)当汽车的平均速度v 为40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时；(2)汽车的平均速度应在(25,64)内.10.(1),,,3a b c a b c R +++∈≥，当且仅当a b c ==时等号成立 (2)227提示：3(4)(12)(12)2(1233x x x x +-+--==322(12)(12))327V x x x ∴=--≤= 11.A。
《基本不等式》教案的应用,解决实际问题
本文将基本不等式的教学应用与实际问题的解决联系起来，旨在加深学生对基本不等式的理解与运用，进而提高他们的数学素养和问题解决能力。
一、基本不等式的教学应用基本不等式是初中数学中的重要知识点，也是进一步深入学习数学的重要基础。
在教学中，我们可以通过如下步骤进行：1.引入基本不等式我们可以通过举例来引入基本不等式，例如：已知正整数a、b、c，证明a+b+c≥3√abc。
这个式子就是基本不等式的一种形式，而证明过程中需要用到积的平均数大于等于几何平均数这个数学定理，所以一定记得先讲解这个定理的概念与证明方法。
2.提供练习题在讲完基本不等式的定义之后，我们可以提供一些练习题让学生练习，例如：已知0<x<π/2，证明sinx+(cosx)²≥1。
这个练习题要运用基本不等式的知识，运用正确的推理方法与证明过程，就会得到正确的结论。
3.引导思考在让学生完成练习题的时候，我们可以引导他们思考问题，例如：除了通过证明使用，基本不等式在哪些实际应用中发挥了重要作用呢？这个问题就是本文接下来要具体解答的内容。
二、基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用非常广泛，不仅在数学领域，也在物理、化学等自然科学领域有广泛应用。
以下是一些常见的例子：1.证明机械工程中的稳定性问题机械系统的稳定性是工程设计中的重要问题，而它与基本不等式也有很大的联系。
例如，在压力在机械系统中进行传递的时候，我们需要证明传递的压力不超过系统的极限承受力，而这个证明过程就可以用到基本不等式。
2.常用物理公式的推导在物理领域，我们常用到一些公式，例如能量守恒定律、牛顿第二定律、高斯定理等。
这些公式的推导与基本不等式也有密切联系，例如在高斯定理的证明过程中，我们需要用到伯努利不等式和柯西-施瓦茨不等式，而这些不等式都是基本不等式的推论。
3.经济学中的应用在经济学中，我们需要通过一些数学模型来解释和预测经济现象。
而基本不等式可以用来说明市场机制和资源配置的优化，从而提高经济效益和社会福利。
3.4.2基本不等式的应用含答案
3.4第2课时 基本不等式的应用题型一 利用基本不等式求最值 命题角度1 求一元解析式的最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(3)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．跟踪训练1 函数y ＝2x ＋2x (x <0)的最大值为 ．命题角度2 求二元解析式的最值例2 (1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是； (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是．跟踪训练2 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是．题型二 基本不等式在实际问题中的应用例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？跟踪训练3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )A ．2B ．3C ．4D ．8一种常见的函数模型y ＝x ＋ax(a ＞0)典例 某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n )，试写出f (n )的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？【课堂练习】1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(x ＞2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 33．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值14．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.145．设a ，b ，c ∈R ，ab ＝2，且c ≤a 2＋b 2恒成立，则c 的最大值是( ) A.12 B ．2 C.14D ．41．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，若运用基本不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答. 【巩固提升】 一、选择题1．下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋12．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.143．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B .4 C.92 D ．5 4．若0<x <12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1 B.12 C.14 D.185．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.926．已知x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，若对任意x >0，y >0，x ＋y >m 2＋8m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－8,0)B ．(－9,1)C ．(1，5)D ．(－8,1) 7．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．58．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M二、填空题9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝ .10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为 ．11．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为 ．12．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是 ．三、解答题13．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}． (1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b1－x ，求函数f (x )的最小值．14．已知x ＞0，y ＞0,2xy ＝x ＋4y ＋a . (1)当a ＝6时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y 的最小值．15.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．第2课时 基本不等式的应用答案例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(3)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时，取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2处取得最小值4.(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6. (3)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 跟踪训练1 答案 －4解析 ∵x <0，∴－x ＞0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2(－2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立.例2 (1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是； (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是． 答案 (1)18 (2)233解析 (1)∵xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，设xy ＝t (t ＞0)，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，∴t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y 且2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故xy 的最小值为18.(2)根据题意，1＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝34(x ＋y )2，所以43≥(x ＋y )2，所以x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时等号成立． 反思感悟 基本不等式连接了和“x ＋y ”与积“xy ”，使用基本不等式就是根据解题需要进行和、积的转化． 跟踪训练2 答案 9解析 ∵x ＋y ＝1，∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝1＋4＋y x＋4x y.∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＞0，4xy＞0， ∴y x＋4x y≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x＋4xy≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4xy，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝9. 例3 解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x＋10809≥29x ·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少． 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2. 则⎝⎛⎭⎪⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎪⎫9x 2＋900x 2＋10809＝9(x 1－x 2)＋900⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少． 跟踪训练3 答案 B解析 由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N *，分别把n ＝2,3代入y ＝n ＋8n，易知n ＝3时，y 最小．故最适宜的教室应在3楼． 典例解 (1)由题意得，f (n )＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )＋0.9n ＝14.4＋0.2n (n ＋1)2＋0.9n ＝0.1n 2＋n ＋14.4.(2)设该车的年平均费用为S 万元，则有S ＝1n f (n )＝1n (0.1n 2＋n ＋14.4)＝n 10＋14.4n＋1≥2 1.44＋1＝3.4，当且仅当n 10＝14.4n，即n ＝12时等号成立，此时S 取得最小值3.4.故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元． 【课堂练习】 1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5 D ．x ＝－5答案 C解析 ∵x ＞2，∴x －2＞0. ∴9x －2＋(x －2)≥29x －2(x －2)＝6， 当且仅当x －2＝9x －2，即x －2＝3，x ＝5时取等号．故选C. 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x ＞0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤－23，则y ＝3－3x －1x≤3－23，故选D.3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34. ∵x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1.4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14答案 B解析 由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．设a ，b ，c ∈R ，ab ＝2，且c ≤a 2＋b 2恒成立，则c 的最大值是( ) A.12B ．2C.14D ．4 答案 D解析 ∵ab ＝2，∴a 2＋b 2≥2ab ＝4.又c ≤a 2＋b 2恒成立，∴c ≤4. 【巩固提升】 一、选择题1．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1答案 C解析 ∵y ＝x ＋4x中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1，又∵y＝sin x ＋4sin x 在(0,1]上单调递减，∴最小值为5；由于e x ＞0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x＝4，当且仅当e x＝2时取等号，∴其最小值为4，∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为2 2.2．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4B ．2C ．1D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.4．若0<x <12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B.12C.14D.18答案 C解析 因为0<x <12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C. 5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72C ．4D.92考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4， 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 6．已知x >0，y >0，且1x ＋4y＝1，若对任意x >0，y >0，x ＋y >m 2＋8m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－8,0) B ．(－9,1) C ．(1，5) D ．(－8,1)答案 B解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋4y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y＋4≥9(当且仅当x ＝3，y ＝6时取等号)，∴(x ＋y )min ＝9.又∵对任意x >0，y >0，x ＋y >m 2＋8m 恒成立，∴m 2＋8m <9，解得－9<m <1，故选B.7．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立．8．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M答案 A解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1. 当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)2－2k 2＋3k 2＋1＝(k 2＋1)2－2(k 2＋1)＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2≥2(k 2＋1)·5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号)．∴2∈M,0∈M . 9． 答案 20解析 总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1600x≥24x ·1600x＝160，当且仅当4x ＝1600x，即x ＝20时取等号．10． 答案 14解析 由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立． 11．答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14，即S 的最大值为14.12．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.13．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}． (1)求实数a ，b 的值； (2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b1－x，求函数f (x )的最小值．解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x >0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x 1－x ＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立， ∴f (x )的最小值为9.14．已知x ＞0，y ＞0,2xy ＝x ＋4y ＋a . (1)当a ＝6时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y 的最小值．解 (1)由题意，知x ＞0，y ＞0， 当a ＝6时，2xy ＝x ＋4y ＋6≥4xy ＋6，即(xy )2－2xy －3≥0，∴(xy ＋1)·(xy －3)≥0，∴xy ≥3， ∴xy ≥9，当且仅当x ＝4y ＝6时，等号成立，故xy 的最小值为9.(2)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝0时，可得2xy ＝x ＋4y .两边都除以2xy ，得12y ＋2x ＝1，∴x ＋y ＋2x ＋12y ＝x ＋y ＋1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋2x ＋1＝72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2y x ≥72＋2x 2y ·2y x ＝112， 当且仅当x 2y ＝2y x ，即x ＝3，y ＝32时，等号成立，故x ＋y ＋2x ＋12y 的最小值为112.15.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列， 则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N *)， 所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
基本不等式解决最值问题
应用二、利用基本不等式解决最值问题。
课堂小结：
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问 题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及 不等式性质等）解决问题．比第一年增长p％，第三年比第二 年增长q％，又这两年的平均增长率为s％，则s和 （p＋q）／２的大小关系为（ ）
基本不等式在实际问题中的应用
a+b 1. a、b ∈ R , ≥ ab (当且仅当a = b时取等号） 2 a+b 2 +
+
复习回顾
a、b ∈ R , ab ≤ (
2
) (同上）
２．利用基本不等式解决的一类最值问题
(1) a + b ≥ 2 ab ( a > 0, b > 0) 表明： 若 ab = 定值，则可以求 a + b最小值。
Ａ．S＞ （p＋q）／２ Ｃ．S ≤（p＋q）／２ Ｂ． S＝（p＋q）／２ Ｄ．S ≥ p＋q）／２
（３）一段长36米的篱笆围成一个一边靠墙 靠墙的 靠墙 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜 园的面积最大，最大面积是多少？
（４）计划用篱笆围成一个面积为８００m２的 矩形菜园，在菜园内，沿左、右两侧和后侧内墙 分别保留１m宽的通道，沿前侧内墙保留３m宽 的空地，当矩形菜园长、宽各为多少时？蔬菜的 种植面积最大？最大的种植面积是多少？
1m
菜园种植面积
1m 1m
3m
例２：计划要在菜园建造一个长方体无盖贮水 池，用以灌溉农作物，其容积为１００m３， 深为４m，如果池底每平方米的造价为１５０ 元，池壁每平方米的造价为１２０元． ①怎样设计水池能使总造价最低？最低总造 价是多少元？ ② 在总造价最低的条件下，若贮水池第一 年的保养费为0.１万元，以后逐年递增0.１万 元，试问这个贮水池使用多少年时，它的平均 费用最少？
基本不等式应用题
5.某种汽车购车时费用为10万元，每 年的保险、养路、汽油费用共9千元， 汽车的维修费逐年以两千元递增，第
一年为2千元，第2年为4千元，第三 年为6千元……问这种汽车使用几年 后报废最合算? (即汽车的年平均费用为最低，已知
公式：l+2+3+…+
x1x 2
x)
1.建造一个容积为8m3,深为2m
的长方体无盖水池.如池底和池
壁的造价每平方米分别为120元 和80元.求水池的最低总造价.
2.利用长12米长的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形养鸡场，要使场 地面积最大，问矩形的的边长应 为多少?
3.某品牌手机为了打开市场，进行 促销，准备对特定型号手机降价。
有四种降价方案，
方案(1)：先降 a％，再降b％；
方案(2)：先降 b％，再降a％；
方案(3)：先降
a
2
b
％，再降
a
2
b
％；
方案(4)：一次性降价(ab)％。
如果 a0 ,b0 ,ab 且销量不变，
从商家角度考虑，应选择哪种方案？
4.某新建居民小区欲建一面积为700 平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设 人行道，设计要求绿地长边外人行道 宽3米，短边外人行道宽4米，如图所 示(图中单位：米)，怎样设计绿地的 长与宽，才能使人行道的占地面积最 小?(结果精确到0．1米)
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用基本不等式解决应用题
例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35
k
p x x =
≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．
变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室面积为900m 2的矩形温室，在温室划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．
17．解：（1）由题设，得
N
T
M
H
G F
E D
C
B
A
()9007200822916S x x x x ⎛⎫
=--=--+ ⎪⎝⎭
，()8,450x ∈． ………………………6分
（2）因为8450x <<
，所以72002240x x +
≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分 答：当矩形温室的室长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为
676m 2 ． ………………………14分
例2．某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交,AB DF 于N M ,，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设()DN x m =． （1）将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；
（2）当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
变式. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆
心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/
米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
18、（本题满分16分）
如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。
（I）求“舒适感”k的取值围；
（II）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）。
17. （本小题满分14分）
某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足
2
4
x P
（其中0,x a a 为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P
P
万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为20
(4
)P
元/件. (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120,,
AB AC
的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆. （1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
A
P
Q B C
18．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域和区域外的需求，若区域每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后，油库储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值围．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，
∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），
∴油库储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；
（2）∴0≤M≤30，
∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），
∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；
设=t，则≤t≤1，．
由≤（x=4时取等号），可得m≥，
由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，
∴≤m≤．
17．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值围是多少？
考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．
专题：计算题；应用题．
分析：（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的围，确定问题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的围．
解答：解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，
即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则（1+0.2x%）
所以，所以ax≤，
即a≤恒成立，
因为，
当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，
即a的取值围为（0，5]．。