推理与证明数学归纳法一轮复习资料

062 推理与证明数学归纳法
【教学目标】
（一）合情推理与演绎推理
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

（二）直接证明与间接证明
1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（三）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
【考点要求】合情推理与演绎推理的高考考试要求为B 级，其余高考考试要求均为A 级 【知识网络】
2.合情推理包括 和 ；
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.。

归纳推理的基本模式：a,b,c ∈M 且a,b,c 具有某属性，结论：
∀d ∈M,d 也具有某属性。

类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简称类比。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

类比推理的基本模式：A:具有某属性a,b,c,d ；B 具有某属性'
'
'
,,c b a ；结论：B 具有属性'
d 。

（a,b,c,d 与'
'
'
,,c b a ，'
d
相似或相同） 3.演绎推理：：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 第一段：大前提——已知的一般原理；
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳
类比
直接证明
间接证明
数学归纳法
综合法 分析法
反证法
第二段：小前提——所研究的特殊情况；
第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
（2）三段论常用格式为：①M 是P ，② S 是M ，③S 是P ；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.用集合说明：即若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P 。

4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．
5.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明； 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。

框图表示： （其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。

框图表示：。

分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。

6. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
7．数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明
当n 取第一个值0n 时命题成立；然后假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时命题成立，证明当1
n k =+命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数0n ，如果当0n n =时，命题成
立，再假设当n k =(*
k N ∈，k ≥0n )时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数01n +，
02n +，…，命题都成立.
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
()1证明：当n 取第一个值0n 结论正确；()2假设当n k =(*k N ∈，k ≥0n )时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确由()1，()2可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确.数学归纳法
被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 两点提醒：()1用数学归纳法证题时，两步缺一不可；()2证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.
用数学归纳法可以证明等式、不等式、整除问题 【基础知识】
1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 . 答案 白色
2.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 33为 . 答案 3
3.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比
EB AE =BC
AC
，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图所示），而DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比
的结论是 . 答案
EB AE =BCD
ACD
S S ∆∆ 4.若a ＞b ＞0,则a +b
1
b +
a
1
.(用“＞”,“＜”,“=”填空) 答案 ＞
5.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2
+bx +c =0（a ≠0）有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 . ①假设a 、b 、c 都是偶数 ②假设a 、b 、c 都不是偶数 ③假设a 、b 、c 至多有一个偶数 ④假设a 、b 、c 至多有两个偶数 答案 ②
6．用数学归纳法证明：
（1）111111111234212122n n n n n -+-++-=++-++ （2）
1111,()1231
n N n n n +++≥∈+++ （3）(31)71,()n n n N *
+⋅-∈能被9整除。

【典型例题】
例1. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=
++
； 2
3125sin 65sin 5sin 222=++
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
________________________________________=
2
3
（ * ）并给出（ * ）式的证明. 解：一般形式: 2
3)120(sin )60(sin sin 222=++++
ααα
证明：左边 = 2
)
2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 2123
++++-ααα
= -+-+-
240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2
123ααα]240sin 2sin α = ]2sin 2
3
2cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23
（将一般形式写成 222
3sin (60)sin sin (60),2
ααα-+++=
2223
sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。

）
变式训练1：设)()(,cos )('
010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则=)(2008x f
解：x cos ，由归纳推理可知其周期是4
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.2
2
2
b a
c +=
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 解：2
4
232221S S S S =++。

变式训练2：在△ABC 中，若∠C=90°，AC=b,BC=a ，则△ABC 的外接圆的半径2
2
2b a r +=，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：本题是“由平面向空间类比”。

考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD ，且AB=a ，AC=b ，AD=c ， 则此三棱锥的外接球的半径是2
2
22c b a r ++=。

例3．若c b a ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222π
ππ+
-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证：c b a ,,中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）
假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，
而3)6
3
2
()1()1()1()6
2()3
2()2
2(222222-+
+
+-+-+-=+-++-++-=++π
π
ππππz y x x z z y y x c b a
=3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x
∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c
b a ,,
中至少有一个大于0。

变式训练1：用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可以被5整除，那么b a ,中至少有一个能被5整除。

”那么假设的内容是
答案：a,b 中没有一个能被5整除。

解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n-1个”。

例4. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，
求证：
c
b a
c b b a ++=+++3
11。

答案：证明：要证c
b a
c b b a ++=+++311，即需证3=+++++++c b c
b a b a
c b a 。

即证1=+++c
b a
b a
c 。

又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+ ∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。

∴B=60°。

由余弦定理，有 60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。

∴222b ac a c +=+成立，命题得证。

变式训练2：用分析法证明：若a >0，则21
212
2-+
≥-+a
a a
a 。

答案：证明：要证21
212
2-+
≥-+a
a a a ， 只需证21
212
2++
≥++
a
a a a 。

∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证222
2)21
()21(++
≥++a
a a a 只需证)1
(22221
14412
22
22
2a a a
a a
a a
a +++++
≥++++
，
只需证)1(22122a a a a +≥
+，只需证)21
(2112222++≥+a
a a a ， 即证212
2≥+
a a ，它显然成立。

∴原不等式成立。

例5．已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12
12
1•++∈=-+N n a a a n n n ． 记n n a a a S +++= 21．)
1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++
+++++= ． 求证：当•
∈N n 时，
（1）1+<n n a a ； （2）2->n S n ； （3）3<n T 。

解：（1）证明：用数学归纳法证明．
①当1n =时，因为2a 是方程2
10x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*
()n k k =∈N 时，1k k a a +<，
因为2
2
1k k a a +-2
2
2211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．
即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．
根据①和②，可知1n n a a +<对任何*
n ∈N 都成立．
（2）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥），
得2
2231()(1)n n a a a a n a +++
+--=．
因为10a =，所以21n n S n a =--．
由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，
所以2n S n >-．
（3）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得
111
(2313)12k k k
a k n n a a ++=-+≤，，，，≥
所以2342
1
(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++≤≥，
于是2222
232211
(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤≥，
故当3n ≥时，211
11322
n n T -<++++<，
又因为123T T T <<，所以3n T <．
062作业 推理与证明数学归纳法
1．数列{}n a 满足12a =，111n n n
a a a ++=
-（*
n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅
⋅的值为 ．
2．观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式
24n S =
38n S =412n S = 3．函数()f x 由下表定义：。

若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = ．
4．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更
大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n 表示)
……
5．正奇数按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 ……
……
27
25
那么应该在第 行，第 列。

6．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为
()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为
()1,2,3,4i h i =，若31241234a a a a k ====，则.()4
1
2i i S
ih k ==
∑类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱
锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若
3124
1234
S S S S K ====, 则()4
1
i
i iH ==∑ __
7．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则
222
111
h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．
8．下图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n≥2)中第2个数是________（用n 表示）.
122343
4774511141156162525166
9．在△ABC 中，C
B C
B A cos cos sin sin sin ++=，判断△AB
C 的形状并证明.
图1 图2
图3
10．如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：
)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-∆是正三角形（0A 是坐标原点）． （1）写出1a 、2a 、3a ；
（2）求出点)0,(n n a A （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式并证明.
1,32
-答 案
1. 22(2)n n --
2. 3. 4 4.
*(1)(41)
6
n n n n N +-∈
5. 251,3
6、
3V K 7．．22221111h a b c =++
8．222
n n -+
9.解: 分析：由3
2,
323sin sin sin 32sin 3sin 323π
π=⇒=⇒=⇒=A A B A B B a b 由C A C A =⇒=cos cos B C A ==
=∴3
π
所以ABC ∆为等边三角形
10.如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：
)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-∆是正三角形（0A 是坐标原点）． （1）写出1a 、2a 、3a ；
（2）求出点)0,(n n a A （n *∈N ）的 横坐标n a 关于n 的表达式并证明.
解:（Ⅰ）;12,6,2321===a a a ……………….6分
（2）依题意，得2
3,211---⋅=+=n n n n n n a a y a a x ，由此及n n x y ⋅=32
得 )(2
3)23(121--+=-⋅n n n n a a a a ，即)(2)(121n n n n a a a a +=---．
由（Ⅰ）可猜想：)(),1(*
∈+=N n n n a n ．
下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；
（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及
211()2()k k k k a a a a ++-=+
得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即
2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，
解之得：1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去），
即当1n k =+时，命题成立．。