贵州省遵义市3月高三数学高考信息报告会

2009年3月遵义市高考信息报告会———
也谈高三数学复习
高三数学复习，时间紧迫，内容繁杂。

如何在比较紧的时间内，尽可能的提高复习效率和质量，收到比较好的复习效果呢？相信这是每一个高三数学老师都曾经思考过，并正在积极实践、探求解答的问题。

在这里，我来谈谈我们学校的老师们在对这一问题所作的一些或成功或不成功的探索，以起抛砖引玉之效。

一．考纲解读
1．对考试大纲的解读
由教育部考试中心颁布的2009年数学科考试大纲(大纲版，以下简称《考试大纲》)，与前两年相比，基本没有什么变化。

强调在考查知识的同时，注重对能力的考查。

要求考生对所学的内容融会贯通，考查考生在理解的基础上牢固掌握双基的能力。

重点放在系统掌握课程内容的内在联系上，放在掌握分析问题的方法和解决问题的能力上。

具体说来，着重阐明了对数学知识、数学能力的考查要求。

我们要对照《考试大纲》理清考点；《考试大纲》中有哪些考点；每个考点的要求属于哪个层次；如何运用这些考点解题。

对照《考试大纲》理清联系；为了理清联系，可以画出知识网络图表。

对照《考试大纲》理清方法；熟练掌握常用的重要的数学思想方法，有意识地对基本思想和方法进行归纳和总结，掌握科学的方法。

2．对考纲说明的解读
《考试大纲》中所说的知识是指教学大纲所规定的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及蕴涵在其中的数学思想。

要求达到“了解、理解和掌握、灵活和综合运用”三个层次。

数学思想和方法蕴含在基础知识和基本技能之中，《考试大纲》强调，对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的考查，考查时必须与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解;要从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对数学思想和方法的掌握程度。

显然，《考试大纲》的这一要求，既指出了对数学思想考查的意义，又指出了对数学思想考查的方法。

《考试大纲》着重对思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识作了细化说明，并提出了明确的考查要求。

对于思维能力，《考试大纲》指出：“思维能力是数学学科能力的核心”。

要求考生“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括，会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地进行表述”。

考查的方法和内容是，以知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，考查考生对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式的思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

《考试大纲》把对考生思维能力的考查放在能力考查的首位，旨在强调思维能力在数学能力中的主体地位与核心地位，有效检测考生的理性思维水平。

关于运算能力，《考试大纲》首先对“运算”作了明确的说明：“运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等”。

并且要求考生“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算”。

在此基础上，对运算能力的内涵作了明确的界定，指出“运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”。

这一界定，将数学运算的过程提到了理性思维的高度。

这不仅是对运算能力的诠释，而且是对运算过程中思维程序的设计和要求，为我们指明了运算过程中的思维方向。

《考试大纲》对空间想象能力解释为“是对空间形式的观察、分析、抽象的能力”，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。

识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及在原有图形上添加辅助图形或对图形进行各种变换。

对图形的想象是空间想象能力高层次标志，主要包括有图想图和无图想图两种。

对空间想象能力的考查，
《考试大纲》提出的要求是：“能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观的形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合与变换;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质”。

“实践能力是将客观事物数学化的能力”，这是《考试大纲》对实践能力的注解。

其过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，并加以解决。

具体说来，要求考生能综合运用所学数学知识、思想和方法解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型;能应用相关的数学方法解决这个抽象而得的数学问题，并能在验证的基础上用数学语言正确地表述和说明。

显然，这不仅是对实践能力的考查要求，而且为我们指明了求解应用问题常规的思维程序。

围绕创新意识，《考试大纲》对试题命制与否、知识载体、形式类别、难易程度等方面都提出了明确的要求，指出：创新意识是理性思维的高层次表现。

命题要求是创设比较新颖的问题情景，构造有一定深度和广度的问题，要注重问题的多样性，体现思维的发散性。

并提出要“精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目;反映数、形运动变化的题目;研究型、探索型、开放型的试题”。

不难看出，高考中创新问题要命制，试题的知识载体是数学的主体内容，试题的宏观类型是研究型、探索型、开放型试题。

近年来，数学高考试题的命制注重能力立意，并且以思维能力为核心，全面考查各种能力。

为此，对思维能力的考查必将贯穿于全卷，着重体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、严谨性、抽象性。

对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时通常以代数运算为主，同时也考查估算、简算。

对空间想象能力的考查，主要体现文字语言、符号语言及图形语言之间的相互转译，表现为对图形的识别、理解和加工。

考查时常与运算能力、逻辑思维能力相结合。

3．对考题示例的解读
(1)立体几何 (2)应用问题
二．对近三年来全国高考数学二卷的分析 1．解答题
（1） 三解函数
对三角函数解答题的考法，全国题和地方题都大同小异，主要有三种考法，第一种：同时考查利用三角公式化简、三角函数的图象和性质
示例：已知函数x x b x a x f cos sin cos 2)(2+=，且f ()02=，f ()π3123
2
=+．
（１）求函数)(x f 的解析式及其单调递增区间；
（２）把)(x f 的图象按向量)1,(-=h 平移，所得图象正好关于y 轴对称，求h 的最小正值．
解：（１）由题意⎩⎨⎧==⇒⎪
⎩⎪
⎨⎧+=+===2123
214321)3
(2
2)0(b a b a f a f π
1)4
2sin(212cos 2sin cos sin 2cos 2)(2++=++=+=∴π
x x x x x x x f
2
24
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k ，)(x f 的单调递增区间 )](8
,83[Z k k k ∈+-
π
πππ （２）]4
)(2sin[211)(π
+
-=-+-h x h x f )2cos(2x =)2cos(2x -=时，图像关
于y 轴对称，由最小正周期π=T ，图像向右平移8
3π
个单位即得，∴h 的最小正值为
8
3π．
第二种：解三解形
示例：A B C ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，7=a ， 60=A ，c b c b <=+且5 求：C c b sin ,及
解：A ac c b a cos 2222-+=
bc bc c b bc c b 3253)(7222-=-+=-+=∴ 6=∴bc ，又3,2,5==∴<=+c b c
b c b
14
21
37323sin sin ,sin sin =
==∴=c a A C C c A a
第三种：三角向量综合
示例：已知向量⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=+=)25sin(,1cos 2),sin 32,1cos 2(x x b x x a π
函数b a x f
⋅=)(，求出函数)(x f 的解析式，并作出函数)(x f y =在],0[π上
解：x x x x x b a x f 2sin 32cos cos sin 321cos 2)(2+=+-=⋅=
)6
2s i n (2)2s i n 232c o s 21(2π
+=+=x x x 先用五点作图法
然后再考察两点)1,0(和)1,(π，作出函数图象如下：
（2）概率应用题
对于概率应用题，全国卷和地方卷基本都形成了一种模式，就是同时考查事件的概率、随机变量的分布列的期望或方差
示例：一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球
(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率 (2)采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球数ξ的期望和方差
解：（1）先摸得白球，后摸得黑球或先摸得黑球，后摸得白球，其概率为
94
64622=⨯⨯=P
（2）ξ的可能取值为2,1,0
5
25364)0(=⨯=
=ξP
158********)1(=⨯+⨯=
=ξP 151
5162)2(=⨯==ξP
ξ的分布列为
所以3215121581520=⨯+⨯+⨯
=ξE 45
16
151)322(158)321(52)320(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD
（3）立体几何
对于立体几何的考查，各地的高考试题也都是大同小异，或者是一证一算，或者是一证两算，也有两个小题都是计算的。

证明题都集中在证明平行或垂直，而计算题要么求角（线线角、线面角、二面角），要么求距离（线线距、线面距、面面距），或者是求体积，回顾近三年的全国二卷，06年是证线线垂直与求二面角，07年是证线面平行与求二面角，08年是证线面垂直与求二面角
示例1：如图,矩形ABCD 和矩形BCEF 所在平面互相垂直，G 为边BF 上一点，
︒=∠90CGE ，3=AD ，2=GE ．
（1）求证：直线//AG 平面DCE ；
（2）当AB 2=时，求直线AE 与面ABF 所成的角．
证：
………………………………………………（5分）
EF AB BCEF AB BC AB BCEF ABCD ⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥面面面 ABF EF BF EF 面⊥⇒⎭⎬⎫
⊥
所成的角与面即为直线ABF AE EAF ∠∴．………………（9分） 23====GE EF BC AD ，则1=FG 由EFG Rt ∆∽GBC ∆可得3=BG
6
6
tan 234==
∠∴==∴AF EF EAF AF BF （2） ABF AG 面⊂ DCE AG 面//⇒⎭
⎬⎫ DCE ABF CE BF BCEF CD AB ABCD 面面矩形矩形//////⇒⎭
⎬⎫⇒⇒ （
1）
示例2：如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2==AC AB ，221=AA ， 90=∠BAC ，1AA D 是的中点;
（1）求证：11BC D B ⊥. (2)求1B 到平面BDC 的距离. (3)求二面角C D B B --1的大小.
证： （1）设11BC C B 和相交与点O ，取BC
连接AE DO ,， 2==AC AB ， 90=∠BAC ∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴BC AE ⊥，
又AD 平行且等于B B 121，OE AE BB ⊥1，∴四边形ADOE 是矩形，
∴OE AE ⊥，而E OE BC = ，故AE 平面⊥ DO AE //，∴11B BCC DO 平面⊥， ∴D B 1在平面11B BCC 的射影是C B 1
又2222=+=AC AB BC ，221=AA ，l
故11B BCC 矩形是正方形，∴C B BC 11⊥ 11法二：证11CDB BC 面⊥：法三：证1DB 垂直1BC 在面11A ABB 上的射影1BA
(2) 设1B 到平面BDC 的距离为h .，则=-BD C B V 1h S BDC ⋅∆3
1
62222
=+==DC BD ，∴=∆BDC S 22，=-BD C B V 1h ⋅223
1
又221=∆BD B S ，11ABB A CA 平面⊥，∴AD S V BD B BD B C ⋅=∆-∆113
1
BD B C BD C B V V 11--=∴23
2
2322=h ∴2=h 所以直线ABF AE 与面所成的角为66
arctan ．……………………（13分）
法二：ID 即为所求的高（11C B 的中点为I ，F 为BC 的中点，可证BDC DFI ⊥且IFD ∆为直角三角形，DF ID ⊥）
(3)过A 在D B 1的延长线上作D B 1的垂线AH ，连接CH ，
平面11A ABB ABC 平面⊥，又AB CA ⊥，∴11ABB A CA 平面⊥，CH ∴在平面11A ABB 内的射影是AH ，又D B AH 1⊥，111A ABB D B 平面⊆∴D B CH 1⊥， 故CHA ∠为二面角C D B B --1的平面角，
D A B AHD 11∆≈∆，∴D B AD B A AH 111=，∴3
2
622=
⋅=AH ∴33
22tan ===
∠AH
CA CHA ，∴ 60=∠CHA 故二面角C D B B --1的大小为 60
法二：射影面积法1
111cos BDB O
DB CDB ADB S S S S ∆∆∆∆=
=θ（O C B BC =11 ）；法三：BMO ∠=θ（M DB BA =11 ）
（4）解析几何
全国二卷07年解析几何题处于20题的位置，06年与08年都是第21题，考查的都是解析几何的基本方法与基本技能，难度只能算是中偏上。

示例1：（08年第21题）设椭圆的中心在坐标原点，)0,2(A ，)1,0(B 是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于D ，与椭圆相交于F E ,两点。

（1）若6=，求k 的值 （2）求四边形AEBF 面积的最大值
示例2：．圆0622=+-++c y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，求c 为何值时OQ OP ⊥（O 为坐标原点）
示例3：已知点)0,1(),0,1(B A -和动点P 满足θ2=∠APB ，且存在正常数m ，
使得
m PB PA =⋅θ2cos ||||
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）设直线1:+=x y l 与曲线C 相交于两点F E ,，且与y 轴的交点为D ，若
DF DE )32(+=，求m 的值
解：（1）在ABC ∆中，θ2cos ||||2||||||222PB PA PB PA AB ⋅-+= 所以)2cos 1(||||2|)||(|42θ+⋅-+=PB PA PB PA m PB PA 4|)||(|2-+=
则m PB PA +=+12||||，即P 的轨迹为椭圆
方程为
112
2=++m
y m x （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1112
2
m
y m x x y ，得01)1(2)12(22=-++++m x m x m 设)1,0(),,(),,(2211D y x F y x E ，则1
21,12)1(22
2121+-=++-=+m m x x m m x x
又)32(+=，43
21
)32(1221=+++=+∴
x x x x 即21
1]2)[(42121221212
22
1=⇒-+=+=m x x x x x x x x x x 或31-=m （舍负）
示例4：已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，n P P P ,,,21 依次为抛物线C 上的n 个点，满足
*),2(2113221N n n n
FP P FP P FP P FP P n n n ∈≥=
∠=∠==∠=∠-π
，记
n
FP FP FP n f 111)(21+++=
，如图，设1与x 轴正半轴的夹角为α （1）求证：α
cos 11-=
p
FP ；
0 1P
2P
3P
x
y
α
F
（2）求)3(),2(f f ；并猜想)(n f 的表达式（不需要证明）；
（3）对一切正整数n ，令⎩⎨⎧≥==)2()()1(1n n pf n a n
求证：
4
3
1211121<++++++≤n a a a n n n 解：（1）过1P 作A P 1垂直于抛物线的准线于A ，作B P 1垂直于x 轴于B 则由抛物线定义知α
αcos 1cos 1111-=⇒⋅+==p
FP FP p A P FP
（2）由题意p
p p f 2
)cos(1cos 1)2(=+-+-=
απα p
p
p
f )34cos(1)32cos(1cos 1)3(π
απαα
+-++
-+-=
p p p p p 3]sin 23cos 21sin 23cos 21[cos 13)]3
4cos()32cos([cos 13=+----=++++-=
αααααπαπαα
于是猜想p
n
n f =
)( （3）由p
n
n f =
)(及11=a ，可得n n pf a n ==)(（*N n ∈） 于是，原不等式等价于4
31211121<++++++≤n n n n 一方面，由2≥n ，于是
2
1
211112111==++++++≥++++++n n n n n n n n n n n n 另方面，令)1211()2131211(12111)(n
n n n n n n g +++-++++=++++++=
4
32321)1123(21)111413131211(21])1(14313211[21])
12(15313211[21)
21121()4131()211()1211(21)12151311(=⋅<+-=+-++-+-+=+++⋅+⋅+<-++⋅+⋅+=--++-+-=+++--++++
=n n n n n n n n n n n
综上4
31211121<++++++≤n a a a n n n 对一切正整数n 成立
（5）函数导数
近三年的全国二卷的函数导数题,除开06年是第20题外,07年和08年都是压轴题,但是相对于其它地方卷，难度明显要低一点，06年的题中是“若对于,0≥x 都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围”；08年的题中是“如果对于任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围”；所考查的知识点的方法基本一样。

示例：设1x 、2x 为函数)12()()(2--+=x x b ax x x f (0>a )的两个极值点. (1) 如果2121x x <<<，求证：1)3(<'f . (2) 若1||,1||121=-<x x x ，求b 的取值范围.
(3) 设函数)(x g 满足：)2(2)()(22x x x x f x g -=-， 若),(,22112x x x x x ∈=-，且
3
2
>
a ，求导函数)(x g '的最小值)(a h 解：(1)1)2(23)()2()(223+-+='∴+-+=x
b ax x f x x b ax x f . 因1x 、2x 是函数)(x f 的两个极值点，所以)()(21x f x f '='=0. 又2121x x <<<，0>a
所以03231)2(23)1(>-+=+-+='b a b a f ..○1 且074121)2(412)2(<-+=+-+='b a b a f ..○
2 设3,3)2()1(1)3('''=-=⇒+=-n m nf mf f .则1)3(01)3(''<⇒<-f f (2)由(1)知：012)2(42>--=∆a b ，a
x x a b x x 31
,3242121=
-=
+. 由此得:2≠b ，
且)1
1(212)(212212121x x x x x x b +-=+-=.
(i)当011<<-x 时，0031
221<∴>=
x a
x x ，又1||12=-x x 0112<-=∴x x . )0,1(),11
1(212111-∈-+-=∴x x x b ，令)0,1(),111(212)(-∈-+-=x x x x ϕ.则
0)1(11)(2
2>-+='x x x ϕ，从而)(x ϕ是增函数, 此时，411
)1()(1
=->=ϕϕx b . (ii)当101<<x 时,,1,0122+=>x x x )1,0(),1
1
1(212111∈++
-=∴x x x b . 令)1,0(),11
1(212)(∈++
-==∴x x x x b ψ, 同理可证)(x ψ是增函数.此时
4
5
)1()(1=<=ψψx b .
(3)因)2(2)()(22x x x x f x g -=-， 所以)(4)()(2x x x f x g -+'='，又1x 、2x 是函数
)(x f '=0
的两个根，可设:))((3)(21x x x x a x f --='，)(4))((3)(221x x x x x x a x g -+--='
=)34
)((312a x x x x a +--. 因0,0),,(1221>-<-∈x x x x x x x ，3
2>a , 由均值不等式有:
=⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+--≥+---='2
12122343)34)((3)(a x x a a x x x x a x g 12343)321(32---=+-a a a a .当
且仅当:a x x x x 34
12+-=-，即a
x x x 32221
-+=),(321211x x a x ∈-+=时取等号. 故)(a h 1234
3--
-=a
a .
2．选填题
从上表我们可以看出，函数、解几、立几所占比比较大，而且也比较稳定，每年都是32-个，复数和二项式定理每年一个，三角函数起伏双较大，而各地的高考题都有这样一上特点，那就是重点知识重点考查，次重点知识轮流考查。

（1）函数
示例1：点),1(m P -是抛物线n x x y ++=42上的点，已知P 点的抛物线的切线过点)0,2(-，则n m +的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7 解：),1(m P -点的切线斜率为24)1(2=+-⨯，
7522)
2(10
=+⇒=⇒=⇒=----∴
n m n m m ，选D
示例2：已知定义域为R 上的函数)(x f 满足：)4()(+-=-x f x f 。

当2>x 时，)(x f 是递增的，若421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值为（ ） (A) 恒小于0 (B) 恒大于0 (C) 可能为0 (D) 可正可负
示例3：定义在R 上的函数()f x 满足1
(0)0,()(1)1,()()52
x f f x f x f f x =+-==，
且当1201x x ≤<≤时，=≤)2008
1
(
),()(21f x f x f 则（ ） A ．21 B ．161 C ．32
1 D ．641
解：令1)1()0(0=+⇒=f f x ，则1)1(=f ，从而2
1
)1(21)51(==f f ，则
21)51(1)54(=-=f f ，对]54,51[∈x ，都有21)(=x f ，所以321)2008625(161)20081(==f f 示例4：设定义域、值域均为R 的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若()()2f x f x +-=，则11(1)(3)f x f x ---+-的值为 （2）解析几何
示例1：已知椭圆12
42
2=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 且倾角为 45的直
线l 交椭圆于B A ,两点，对以下结论：①2ABF ∆的周长为8；②=||AB 3
8
；③椭圆上不存在相异两点关于直线l 对称；其中正确的结论有（ ）个 Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1
示例2：光线被曲线反射，等效于被反射点的曲线的切线反射，
已知从椭圆的一个焦点出发的光线被椭圆反射后反射光线经过椭圆的另
一个焦点。

如图所示，一光线沿倾斜角为6
π
的
直线从一椭圆的左焦点出发，被椭圆连续反射；设第一次反射的反射角为1a ,, 第n 次反射的反射角为n a ,, 现已知光线第12+n 次
被反射后的反射光线的倾斜角为θ，则1221++++n a a a 的值为_________ 示例3：已知抛物线12-=x y 与x 轴交于)0,1(),0,1(B A -两点，
)11()1,(2<<--x x x M 在抛物线弧AB 上运动，则||||BM AM +的最大值为（ ）
A ．32
B ．3
C ．22
D ．
2
3
3 解：设抛物线12-=x y 与y 轴的交点为C ，则)1,0(-C ，以)0,1(),0,1(B A -为焦点，短轴长为2，作一个椭圆，如图，可以证明此椭圆与抛物线12-=x y 相切于点C ，由于椭圆上的点到B A ,的距离之和为定值，故当M 在C 点时，
||||BM AM +最大，最大值为22，故选C
示例4：如图,面积足够大的矩形草坪ABCD ,AB 、AD 为两条公路，已知
汽车在公路上的速度是1公里/分钟，在草地上的速度为
2
1
公里/分钟，汽车可以从公路的任意位置进入草坪，一辆从A 点出发的汽车在10分钟内能到达的草坪内的点组成区域S ，则区域S 的面积为（ ）平方公里
（A ）)13(50- （B ）π25 （C ）4
25π （D ）3100
解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所
在直线为y 轴建立直角坐标系，设汽车在x 轴上行驶的时间为t 分钟，则它能到达的草坪内的区
域为圆222)21
5()(t y t x -=+-在第一象限的部
分。

当10=t 时，圆退化为点)0,10(，当0=t 时，圆为2522=+y x ，过点)0,10(作圆2522=+y x 的切线，为
,031033=-+y x 对任意)100(≤≤t t ，可以证明此直线与
222)2
15()(t y t x -
=+-都相切，故所求区域为如上图所示的“阴影”部分，故
所求面积为)13(50-，故选A
（3）立体几何
示例1：如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为
(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤ (C)模块②，④，⑥
(D)模块③，④，⑤
示例2：如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球
心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中
阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A ）V 1=2V (B) V 2=2
V
（C ）V 1> V 2 （D ）V 1< V 2
示例3：如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为过正方体表面正方形ABCD ，11B BCC ，1111D C B A ，DA D A 11的 中心的圆上的一动点，Q 为正方形
ABCD 的内切圆上的一动点，R 为
过顶点11,,,A D C B 的圆上的一动点， 则QR PQ +的最小值为（ ） A ．
a 2
2
3- B ．a 21
C ．
a 212- D ．a 2
1
3-
（3）线性规划
示例1：实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥--1020
1x y x ay x ，目标函数y x z 3+= 当⎩⎨⎧==01y x 时
取最大值，则a 的取值范围是_________________
示例2： 设动点坐标),(b a 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-+≥+-320420
12a b a b a ，则224b a +的最小值是（ ）
A ． 5
B ．
C ．
17
2
D ． 10 解：作变换b y a x ==,2，如图，则满足条件的点),(y x 为图中阴影区域，则22y x +的最小值为2||OP ，选D
示例3：已知b a ,为正实数，方程02,022=++=++a bx x b ax x ，都有实数根，则b a +的最小值为________________
示例4：已知函数=y M ,最小值为m ,则
m
M
的值为
(A)14
(B)
12
示例5：函数x x x f 241)(-++=的最大值为_________
（4）不等式
示例1：若正数a 、b 满足8++=b a ab ，则ab 的最小值为___________．
解：4(,4828==≥⇒+≥++=b a ab ab b a ab 时取等号），故ab 的最小值为16
示例2：若关于x 的不等式074)54(74)22(222222<-+--++-+-++a a x a a x a a x a x 的解集是一些区间
的并集，且这些区间的长度和不小于4，则实数a 的取值范围是____________
解：设方程074)22(222=-+-++a a x a x 的两根为21,x x ，且21x x <，方程
074)54(222=-+--++a a x a a x 的两根为43,x x ，且43x x <，由韦达定理知04321<=x x x x ，
则有4231x x x x <<<或2413x x x x <<<，故所求的区间长度和为7
4|)54()22(||)()(|2224321+-=-+-+=+-+a a a a a x x x x ，由
14742≤⇒≥+-a a a 或3≥a
（5）二项式定理 示例1：如果n
x
x )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，那么不含x 的项是______ 解：由n
x x )1(2
3+
的展开式中只有第6项的系数最大可知10=n ，故不含x 的项为210)1(
)(6
243410=x
x C
示例2：已知1521501215(1)x a a x a x a x +=+++
+，
则01234567a a a a a a a a +++++++=________
解：1515102=+++a a a ，又1598710a a a a a a +++=+++ 所以147102=+++a a a
示例3：已知n 为偶数,n n n x a x a x a a x x 2422102)1()1()1()22(+++++++=++ ，则 n a a a a ++++ 420=____________
示例4：设2008200822102008)1(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=+，则=+⋅⋅⋅+++2008840a a a a （ ）
A.10042
B.20072
C.2006100322-
D.2006100322+ （6）极限 示例
1：已知R 上的函数)(x f 处处可导，a x f =')(0，则
x
x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(l i m 0000=_______________
示例2：已知e n n n =+∞→)11(lim （其中n N ∈），则=-∞→n n n )11(lim _____________
解：n
n n n n n n n n n n n n n -∞→-∞→∞→∞→-+=-=-=-)1
11(lim )1(lim )1(
lim )11(lim
11
1)]1
11()111[(lim ---∞
→=-+-+
=e n n n n
3：已知函数x c c bx x x f )()(2++=,其中b ,c ∈R 为常数. （Ⅰ）若b 2＞4(a -1),讨论函数f (x )的单调性；
（Ⅱ）若b 2＜4(c -1),且0lim →x x
c
x f -)(=4,试证：－6≤b ≤2.
(7)向量
示例1:已知点O 为ABC ∆的外心，且||4,||2,AC AB ==则()AO AC AB ⋅-等于（ ）
（Ａ）2 （Ｂ）4 （Ｃ）6 （Ｄ）8
解: 【提示】：取AC 的中点M ，则O A M AO AM ∠==cos ||2||，
8cos ||||=∠⋅=⋅OAM AC AO AC AO ，同理
2
=⋅AB AO ，故
()AO AC AB ⋅-628=-=
示例2: 已知O 为ABC ∆的垂心，下列结论一定成立的是（ ）
(A) OA OB OC == (B) OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅
(C) 0OA OB OC ++= (D) 0B C O A A C O B A B O C ⋅+⋅+⋅=
三、对高考复习最后阶段的应对策略 1．后阶段的计划和安排
2．月考题的命制和练习题的命制
（1）已知21,R R 是阻值不同的两个电阻，现分别按图1、图2连接，设相应的总阻值分别为A R 、B R ，则A R 与B R 的大小关系是（ ） （A ）B A R R =
（B ）B A R R < （C ）B A R R > （D ）不确定
图1
（2）水平抛出一乒乓球，由于空气阻力，被光滑地
面反弹后，反弹高度刚好只能达到抛出时高度的一
半。

如图，有10级光滑台阶，一乒乓球从距①级台
阶4.142厘米高的A 点水平抛出，依次被①、②、
…、⑩级台阶反弹，已知每级台阶的高度都为20厘米，
则乒乓球被第⑩级台阶反弹后的反弹高度为
____________厘米
（3）物理学中，我们通常用“沙摆实验”来研究简谐振动，如图所示．在一次实验中，我们以速度0v 匀速拖动木板，细
纱在木板上形成的图象刚好是函数
x y cos =在),0[+∞上的图象，现保持其它
实验条件不变，以初速度0v ，加速度a 匀
加速拖动木板，则细纱在木板上形成的图
象的函数解析式为
_______________________
解：当我们以速度0v 匀速拖动木板时，,0t v x =)cos(0t v y =，以初速度0v ，加速
度a 匀加速拖动木板时，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=)
cos(21020t v y at t v x ，消去参数t ，得a ax v v v y 2cos
20020++-=
（4）已知圆1)1()1(:22=-+-y x C ，直线x y L 2
1:=，过x 轴上一点)0,(11x A )2(1>x 作圆C 的切线交y 轴正半轴于1B ，过1B 作x 轴的平行线交L 于
y
1C ，
过1C 作x 轴的垂线交x 轴于)0,(22x A ，又过2A 作圆C 的切线交y 轴于2B ，…，这样一直作下去，得点列)0,(,),0,(),0,(2211n n x A x A x A ，
（1）试用n x 表示1+n x ；
（2）求证：0))((21≤--x x x x n n ．
解：（1）设n B 的纵坐标为n y ，则直线n n B A 的方程为
1=+n n y y x x ，即有：0=-+n n n n y x y x x y ，由题意有1||22=+-+n n n n n n y x y x y x ，即1)(222=+-+n n n n n n y x y x y x ，
整理得2)2)(2(=--n n y x ，
又因n C ),(1n n y x +在直线x y 21=
上，即121+=n n x y ，所以有2)22
1)(2(1=--+n n x x 故而4241+-=+n n x x （2）证明：因为42
41+-=
+n n x x ，又21>x ，显然当1≠n 时，4>n x 当531+=x 时，
534)
15)(15()15(4451442412+=+-+-=++=+-=x x ， 此时}{n x 为常数列，53+=n x ，0))((21=--x x x x n n ，所证不等式
成立。

当5321+<<x 时，534253442412+=+-+>+-=
x x n n n n x x x x 4642)42
4(442412-=+-+-=+-=++ 下面用数学归纳法证明：m m m m x x x x 222121253<<+<<++-
①当1=m 时，1
1112111113)]53(][)53[(4646x x x x x x x x x x ---+=--=--=-0> 5353464613+=+-<-=x x
即有5331+<<x x ，同理可证2453x x <<+，故当1=m 时,命题成
立
②假设k m =时命题成立，即k k k k x x x x 222121253<<+<<++- 则=--=-++++121
2123246k k k k x x x x 0)]53(][)53[(461
21212122
1212>---+=--++++++k k k k k k x x x x x x 535
346461232+=+-<-=++k k x x 同理可证02242<-++k k x x ，535346462242+=+->-=++k k x x 2242321253++++<<+<<∴k k k k x x x x ，即1+=k m 时命题也成立
综合①②可得所证不等式成立
所以，对任意n ，当n 为奇数时有531+<≤n x x ，当n 为偶数时253x x n ≤<+
总有21x x x n ≤≤，所以0))((21≤--x x x x n n 成立。

（5）已知定义在R 上的函数)(x f ，满足条件：①对所有非零实数x ，
)1()(x
xf x f =；②对任意实数y x ,都有)(1)()(y x f y f x f ++=+ （1）求证：对任意实数x ，都有2)()(=-+x f x f
（2）求函数)(x f 的解析式
（3）设函数)0(2)()(2≥-=x x x f x g ，直线x n y -=2分别与函数)(x g y =，
)(1x g y -=交于n A 、
n B 两点，（其中 ,,2,1n n =），设||n n n B A a =，n S 为数列}{n a 的前n 项和，求证：当2≥n 时，)32(2322n
S S S S n n +++> 解：（1）由已知，令0==y x ，)0(1)0()0(f f f +=+，得1)0(=f ；再令x y -= 得211)(1)()(=+=-+=-+x x f x f x f
（2）由（1）可得2)1()1(=-+x
f x f ，又由题设有 )(2)1(2)]1(2[)1()(x f x x
xf x x f x x xf x f +-=+-=--=--=- 联立⎩⎨⎧=--=-+x
x f x f x f x f 2)()(2)()(得1)(+=x x f
（3）由（2）可得12)1()(2
2+=-+=x x x x g ，联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x n y x y 212得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n n A n 2212,221222，由
此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n B n 2212,221222，所以n n n n n n n n n B A a n n n 12212221222122212||222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--== 11-=-n n S n S 222112n
n S S S n n n +-=∴-， ∴当2≥n 时，221212n n S S S n n n -=
-- 212221)1(112---=
----n n S S S n n n ……
2221222
122-=-S S S 累加得: )13121(1)32(2222322n
n S S S S n n +++-++++= 又 )13121(
1222n +++- ])1(1321211[1-++⨯+⨯->n n )1113121211(1n n --++-+-
-= 01>=n ∴)32(2322n
S S S S n n +++> 我们的应对策略可以用两句话来概括：“以不变应万变”和“以变应变”。

以不变应万变
经过多年的实践和探索，现在的高考命题水平有了长足的进步，在近几年进入到了一个比较稳定和规范的阶段，并呈现出一种稳中求新，稳中求变的态势。

有人说现在的高考题中有120分题目有章可循，有30分题目防不胜防。

面高考题目的求新求变，有人热衷于猜题押题，偶有所成便沾沾自喜。

但我们认为，猜题押题可偶尔为之，但那只能算作偏门，绝非正道。

高考题确实是在求新求变，但
我们认为万变不离其宗，其所考查的内容和范围有《教本》为凭，其考查的要求和说明有《考纲》可依；我们只要抓“纲”靠“本”，重基础，抓落实，就可以做到以不变应万变。

本即课本，近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。

强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”，有相当多的题目是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的。

要重视课本，回归课本，尤其要重视重要概念、公式、法则的形成过程和例题的典型作用，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。

当然回归课本不是死记硬背，要理解领悟，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。

没有扎实的基础，搞综合提高，无异于建空中楼阁，是不会有好效果的。

同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课中的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。

指导学习、监督学习
指导学生听好一节课,比如教会学生如何记好课堂笔记,课堂笔记和听课效率是一对矛盾，我们知道课堂认真作笔记是一个比较好的学习习惯。

作笔记可以强制自己将注意力集中在课堂上，避免“开小差”；课堂笔记还是自己回顾课堂内容、查漏补缺、考前复习的重要资料。

然而对于高三的数学复习课，容量大、综合性较强，这要求学生注意力高度集中，并时时和老师互动，积极思考。

这种情形下，又怎么可能作好课堂笔记呢？为了解决这一矛盾，可以指导学生课上“速记”，课后整理。

在课堂上，我们只记“关键步骤”、“重要思路”，课后及时花时间进行整理。

这样不仅能保证课堂的听课效果，还能及时检测自己的“接受”情形，并能对所复习知识进行及时梳理。

指导学生解决好习题量和时间的矛盾，要想取得比较好的数学成绩，必要的习题量是不可或缺的。

只有通过习题，才能使我们所掌握的知识得到巩固和提高，才能拓展我们的解题思路，才能检测出自己“知识网络”中的“缺漏”，才能“熟”进而生“巧”，从而提高我们的解题速度和准确度。

但是在复习过程中，各科老师都会强调本学科习题的重要性，并都布置了近乎“海”量的习题，而我们的时
间是有限的，要保质保量地做好所有习题，往往是“不可能完成的任务”。

怎样解决这一矛盾呢？在我们的数学复习中，我们可以“精”“泛”结合，所谓“精”就是选择老师布置的和复习内容同步的少量习题进行“精做”：认真分析解题思路，解析题目所考察的知识点，寻求一题多解，对比参考答案发现自己的“思维缺陷”：如自己是否很好地理解题意，弄清题设和结论之间的内在联系，较好地找到解决问题的突破口，自己所用的解题方法是否合理简捷，有没有更好的解法，解题过程是否正确无误，表述是否符合逻辑，是否全面，解题所用的方法是否有广泛的应用价值，如果适当改变题目的条件或结论，问题将会再现什么变化，与过去做过的题目之间有没有联系等。

对于大量的习题，我们可以“泛做”：我们只寻求解题思路，省去大量计算步骤，不用写出完整的解答过程。

这样，既节约了时间，又达到了开拓视野的目的。

规范学生解题步骤的书写，在高考的阅卷过程中，我们发现许多同学的解题思路和最后结果都正确，但是由于书写步骤不严谨，不规范，导致许多失分。

所以，我们在复习过程中要加强学生对解题步骤规范书写的练习。

但是，如果每一个题都要求规范书写，那一天也就做不了几个题了。

为了解决这一矛盾，我们每天选择一个题目布置给学生，要学生认真、严谨、规范地书写在作业本上，然后教师提供标准答案让学生进行对照，从而达到培养学生良好的解题习惯的目的。

优化教学设计，提高课堂效率
高三的复习，大部分时间都是通过一堂堂数学课来呈现的，大部分复习任务也是通过一堂堂数学课来完成的。

所以说，数学课的教学质量和课堂效率直接关乎高三复习的成败。

首先，我们针对实际确定好每个阶段的复习目标，保证每个教学单元的时间和质量。

高考数学复习教学是一项系统工程，每一个教学环节都有它的重要作用和预定目标。

每一复习阶段必须根据教学和学生实际，科学地制定教学目标和复习计划，并配给合理的复习时间。

那种在复习教学中不按复习计划教学，“讲到哪里算哪里”、“一堂课只讲几道习题或几堂课的内容压缩到一堂课来讲”的现象，显然是不科学的，同时也是严重违反学生的认知规律和教学规律的。

在确立了复习目标之后，我们尽量做到精心设计教学，做到精讲精练，不加重学生负担，避免“题海战”。

一堂好的数学复习课应该既要有好的教学设计，。