矩阵教案第一讲

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6 机械力学
全长370米，宽4米，主跨144米，2000年6月10日开通。
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中新浙江网11月7日电 伦敦千禧桥在2000年刚开放两 天之后就关闭了，原因是在 2000年 6月这座桥的开放的那 一天，当拥挤的人群走过的时候，这个钢筋结构的， 320 米长的大桥开始从一边向另一边摇晃。据路透社伦敦报道 科学家最新发现，千禧桥的摇晃不稳，是一种自然现象， 而不是设计上的失误，引起这个摇晃的原因是一种叫做集 体同步的现象。 “这种现象是指随意地，按照他们自己最喜欢的速度 行走的人们，在没有任何组织的情况下，不自觉地使用同 一种频率行走。”纽约康奈尔大学(Cornell University)的斯 蒂文 •斯道格兹说。“就是这种现象。人们为什么会开始 同步移动？他们完全是下意识的。这种情况是谁也没有想 到，而设计桥的工程师也不曾预料到的。” 应用数学家和有关专家说，现在，集体同步现象应该 是桥梁工程师在设计的时候就应该考虑到的问题。 返回
解： 1 ) P n n 基 为
E ij
i , j 1, 2 , , n
dim( P n n ) n 2
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E ij E ji 2 ) 令 Fij E ii n ( n 1) 维数为 . 2
1 i j n
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定义 3 : 如果数域 P 上的线性空间 V 的一非空子集 W 对于 V 的两种运算也构成线性空间, 则称 W 是 V 的 线性子空间.
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Google 的两个创始人拉里· 佩奇 （Larry Page ）和 谢尔盖.布林 (Sergey Brin) 把这个问题变成了一个二 维矩阵相乘的问题，并且用迭代的方法解决了这个 问题。他们先假定所有网页的排名是相同的，并且 根据这个初始值，算出各个网页的第一次迭代排名， 然后再根据第一次迭代排名算出第二次的排名。 他们两人从理论上证明了不论初始值如何选取， 这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们 的真实值。值得一提的是，这种算法是完全没有任 何人工干预的。
矩阵理论
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导 引
1、矩阵方法在电路网络中的应用 a
R2
R6 E(t)
R1
c
R3
b
R5
R4
d
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KCL(基尔霍夫电流定律:在集总电路中，任何时刻， 对任意结点,所有流出结点的支路电流的代数和恒等 于零 )的矩阵表示
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i1 ( t ) 0 0 1 i2 ( t ) 1 1 0 1 i (t ) 0 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 1 0 i4 ( t ) 0 1 1 0 1 i5 ( t ) 0 i (t ) 6
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假设传感器的个数m大于等于信号源的个数n， 各信号源si(t) (i=1, …, n)之间相互独立，在此情 况下，BSS的目标就是根据累积量矩阵找到一 个m×n的分离矩阵W，使得 Y=WX=WAS 是S的一个近似。
从上述表达式可以看出，分离矩阵W可以看 作是混合矩阵A的某种“广义逆矩阵”。
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“很多人在责备这座漂亮的，样式新颖的千禧大桥， 认为是它的设计过于先锋导致的不稳固。而实际上并 不是这样的。” 在自然界，有很多集体同步现象发生。比如蟋蟀 会同时鸣叫。在某些地方，很多萤火虫会完全同步地 一明一暗，像圣诞树上的彩灯一样。而住在一起的女 人也会有月经趋于同步的现象。“这总是令人震惊甚 至是诡异的，因为就像是从混乱中理出了头绪，”斯 道格兹说。在花费了 5 百万英镑和关闭 20个月对它进 行整修和加固以后，伦敦千禧桥在 2002 年 2 月成功地 重新开放通行了。
证： , V
2 ( ) 2 2 (1 1 ) (1 1 ) 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) (1 1 )( ) 1( ) 1( )
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一个质点-----弹簧系统
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二次特征值问题在很多领域有其应用， 例如：机械力学的动力分析中，流体力学的 线性稳定性等领域。
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一、线 性 空 间
1、什么是线性空间？
设 V 是 一 非 空 集 合 ，P 是 一 个 数 域. 在 V 中 定 义 加 法 ： v ; 在 V与 P之 间 定 义 数 量 乘 法 ： k . 如 果
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1 1 1 1 ( )

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4. 求 下 列 线 性 空 间 的 维 数 与 一 组 基.
1) 数域P上全体n阶方阵构成的空间 Pnn， nn 2) P 中全体对称矩阵构成数 域P上的空间.
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最后，对给定累积量矩阵组 G1，…， Gk利用正交联合对角化算法，估计混合矩 阵U，并计算得到源信号的估计 Y=UTZ= UTBX。
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4、信号滤波的矩阵分析：
X s N

g12 g 22 gn2 g1n g2n g nn
ˆ s
g11 g 21 G g n1
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5. Google矩阵
定义： Google矩阵A (aij ) : 为网页关联矩阵， 用来表达网页链接关系 。 若从页面i向页面j有链接，则aij 1；否则aij 0。如果N来表示页面 数，那么A为N N的方阵，称为 Google 矩阵，PageRank 矩阵是把A 转置。为了将各列失量 总和为 （全概率），把各个列 1 矢量除以各自 链接数。这个矩阵称为 迁移概率矩阵，仍记为 A。
根据假设源信号的统计规律，观测信号的二阶 和高阶累积量矩阵组具有可联合对角化结构，可 归结为数学问题如下：首先，根据观测信号得到 一组实对称的矩阵组G1, …, Gk，其中Gi具有如下 结构 Gi=AΛiAT，i=1, …, k， 其中Λi是n×n的未知的对角矩阵；其次，对给 定矩阵组G1, …, Gk利用联合对角化算法，估计混 合矩阵A或者分离矩阵W；最后，计算得到源信 号的估计 Y=WX。 此类算法属于非正交算法。
斯道格兹和他在康奈尔大学以及美国、英国和德国其他大 学的同事基于发生在千禧大桥身上的事，设计出了一种理 论，用来计算一座步行桥需要多少阻尼和稳定减摇作用。 他们的这一发现将在科学期刊《自然》上发表。在一次采 访中，他说：“我们认为我们的这个理论会为帮助桥梁设 计师避免这样的问题提供一些指导。” 一定会有其他的 可能发生集体同步现象的巧合情况。在伦敦千禧桥摇晃的 事件中，是大批的人群穿过一步行桥，而这座桥的震动频 率在每秒一周，恰好和人的步行频率相等。“人和桥产生 了共振”，斯道格兹说。 当桥开始摇晃的时候，人们为了稳住自己而在摇晃中 加紧步伐。他们为了更容易行走而加大了自己的步幅，而 这样做使他们在无意中加剧了大桥的摇晃。
.
F称为Fourier矩阵，出现在离散Fourier分析 及快速Fourier变换中.
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3. 盲信号分离中的应用 在离散时间t时刻，n个未知源信号S(t)=[s1(t),…, sn(t)]T 被m个传感器观测到的信号X(t)=[x1(t),…, xm(t)]T，加性噪 声V(t)=[v1(t),…, vm(t)]T，则观测信号和源信号之际的关系 如下： X(t)=AS(t)+V(t)， 其中A=(aij)为m×n的未知列满秩混合矩阵， AT表示矩 阵A的转置。为了讨论方便，这里假设无噪音，因此模 型如下： X(t)=AS(t) (简记X=AS)。
出现在多项式插值中, 谐波恢复中
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F V (1, , , ,
2
n 1
) 1
1 1 1 1 2 2 4 1 1 n1 2( n1) 其中＝e
i 2 n
n 1 2( n1) ( n 1)2
成的集合.
2) 数域P上次数等于定数 n(n 1)的多项式全体所
构成的集合.
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3) n阶 对 称 矩 阵 与 反 对 称 矩 阵的全体所成的集合，
4) 全体实数的集R是否构成实数域上的线 性空间?
是否构成复数域上的线 性空间?
3 证明:线性空间定义的八个条 件中，“加法满足 交换律”不是独立的 .
加法与数量乘法满足：
1) 2) 3) 4)
( 加 法 交 换 律) ( ) ( ) ( 加 法 结 合 律) 0 V , V , 有 0 ( 加 法 零 元) V , V , 使 得 0 (加 法 负 元 素 )
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2. 在数值计算中的应用（Vandermonder矩阵）
1 x 1 2 x V ( x1 , , xn ) 1 x n 1 1 其中（x1 , , xn C）

1 xj x2 j
1 xn j

1 xn 2 xn ， n 1 xn
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利用正交矩阵具有的性质，可把观测信 号作白化预处理，然后再利用白化后的信号 计算累积量矩阵，此时获得的累积量矩阵组 具有可正交联合对角化结构。 归结为数学问题如下：首先，对观测信号 X 作白化处理得到白化后的信号 Z=BX ，其 中B为白化矩阵；其次，根据白化后观测信 号 Z 计算得到一组实对称的累积量矩阵组 G1, …, Gk，其中Gi具有如下结构 Gi=UΛiUT，i=1, …, k, 其中Λi是n×n的未知的对角矩阵， UUT=UTU=I，I表示单位矩阵。
2 ) ( kA1 ) A k ( A1 A ) k ( AA1 ) A( kA1 )
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在互联 网上，如果一个网页被很多其它网页所链 接，说明它受到普遍的承认和信赖，那么它的排名就高。 这就是 PageRank 的核心思想。 当然 Google 的 PageRank 算法实际上要复杂得多。 比如说，对来自不同网页的链接对待不同，本身网页排 名高的链接更可靠，于是给这些链接予较大的权重。 PageRank 考虑了这个因素，可是现在问题又来了，计 算搜索结果的网页排名过程中需要用到网页本身的排名， 这不成了先有鸡还是先有蛋的问题了吗？
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理论问题解决了，又遇到实际问题。因为互联网上 网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上 讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿 个网页，那么这个矩阵 就有一百亿亿个元素。这样大 的矩阵相乘，计算量是非常大的。拉里和谢尔盖两人 利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量，并 实现了这个网页排名算法。今天 Google 的工程师把这 个算法移植到并行的计算机中，进一步缩短了计算时 间，使网页更新的周期比以前短了许多。
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5) 6) 7) 8)
1 k ( l ) ( kl ) ( k l ) k l k ( ) k k
则 V 称 为 数 域 P 上 的 线 性 空 间 . 其中的元素也称为向量.
2 判断下列集合是否构成 向 量 空 间.
1) 空间中不平行于一已知 向量的全体向量所构
5 设 A P n n， 证 明 ： 全 体 与A 可 交 换 的 矩 阵 组
成的一个子空间，记为 C( A).
证 AE EA A1 , A2 C ( A )
E C ( A ). A1 A AA1 , A2 A AA2
A ( A1 A2 )
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1 ) ( A1 A2 ) A A1 A A2 A AA1 AA2