材料力学 组合变形的强度问题

2、按基本变形求各自应力：
s M z y My cos
Iz
Iz
s
Myz
M
z
sin
Iy
Iy
z
y
Py M z
z
y
Pz M y
C点总应力：
sc
s s
M
y Iz
c os
z Iy
sin
确定中性轴的位置
设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由
中性轴上 s 0即
0
M
y0 Iz
杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。 2.分类------①两个平面弯曲的组合(斜弯曲)
②拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压 ③扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合
3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主， 其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平 面内的弯曲）
当外力作用面不通过主惯 性平面时,则弯曲变形后,梁 的轴线不在外力作用面内。
z Fx
F
Fy
y
斜弯曲——荷载不作用在构件的纵向对称面内， 梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
二、组合变形工程实例
烟囱，
传动轴
吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
组合变形工程实例----以下是什么组合？
三、基本解法(叠加法)
1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起
Iz Iy
求解步骤 ①外力分解和简化。 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
四、可行性
由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围 内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所 引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。
实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精 确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下 的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对 弹性体系所引起的总应力和总变形。
cos
z0 Iy
sin
故中性轴的方程为
cos sin
I z y0 I y z0 0
中性轴是一条通过截面形心的直线
tan y0 Iz tan
z0 I y
为中性轴与z轴夹角
z y
D1
z
D2
中性轴
y
注： 1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、
受压两个区域；
离中性3）轴同最一远横处截点面D1上、D2。s发ma生x 在
的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；
2.基本解法： ①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一 种基本变形
②分别计算各基本变形下的内力及应力
③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点)
④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3) ⑤用强度准则进行强度计算
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变 形下的内力和应力，然后进行应力叠加。
曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结： 1、轴向拉（压） 2、扭转 3、弯曲 4、剪切 这四种基本变形的： 内力的名称及符号、内力及内力图； 应力的计算公式和分布规律； 最大应力的公式和强度条件； 变形和应变的公式和刚度条件。
第8章
组合变形
§8-1 组合变形的概念
一、概念
1.组合变形：
矩形截面梁的斜弯曲 应力计算 中性轴的位置
1、简化外力：
z
C
y
Pz P sin Py P cos
x面上的弯矩： M (x) P(l x)
Pz
Py
如何求C点的正 应力？
x面上的弯矩： M (x) P(l x)
Pz P sin 以y为中性轴弯曲 Py P cos 以z为中性轴弯曲
M y Pz (l x) P csions(l x) M csions M z Py (l x) P scions (l x) M scions
4）若截面为曲线周边时，
可作//于中性轴的切线，
切点为
s
处
max
z
中性轴
y
强度计算
1）危险截面：当x=0时，M Z M Y 同时取最大
故固定端截面为危险面
2）危险点：危险截面上D1 D2 点
强度计算式：
s max
M (csoins
Iz
y1,2
csoins
Iy
z1,2 )
s
对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面， 最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据 梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置， 无需确定中性轴位置。
Mz 1KN m
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
1KN
m
（三）应力分析和最大应力 绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两
点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。
s Mz
Wz
y
应力分布图
Mz y
（四）计算中性轴位置及最大正应力
AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）
tan
Iz Iy
My x Mz x
重申基本研究步骤
1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷， 使每一组只引起一种基本变形。
2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作 用下的应力、位移。
3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的 解。
§8-2 非对称弯曲（斜弯曲） 教材12-1
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
例1图
解（一）外力分析 例1图
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁
的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大
弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
s max
M zmax Iz
ymax
M ymax Iy
zmax
M zmax M ymax
Wz
Wy
s max
M z max Wz
M y max Wy
[s ]
例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。