巴彦县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

巴彦县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）
A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2
2．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）
A．36种B．18种C．27种D．24种
3．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
4．设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（）
A．∅B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
可．
6．定义运算：
,
,
a a b
a b
b a b
≤
⎧
*=⎨
>
⎩
．例如121
*=，则函数()sin cos
f x x x
=*的值域为（）
A ．22⎡-
⎢⎣⎦ B ．[]1,1- C ．2⎤⎥⎣⎦ D ．1,2⎡-⎢⎣⎦
7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）
A ．2160
B ．2880
C ．4320
D ．8640
8． 设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）
9． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．下列命题正确的是（ ）
A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22
a b >”的必要不充分条件
B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有2
10x ->”
C ．函数13
1()()2
x
f x x =-的零点在区间11(,)32
内
D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥
11．已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=
，则
•
=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣
D ．
12．已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（1，+∞）
D ．（2，+∞）
二、填空题
13．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]
14．设α为锐角，若sin （α﹣
）=，则cos2α= ．
15．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
16．已知函数32
()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．
17．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．
18．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ．
三、解答题
19．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35． （1）求{a n }和{B n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．
20．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求：使得对所有n ∈N *
都成立的最大正整数m ．
21．（本题满分15分）
如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为
3
π
时，求λ的值．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
22．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）．
（1）当a=
1
2
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （x ）为f 1（x ），f 2（x ）
的“活动函数”．已知函数()()
22
1121-a ln ,2f x a x ax x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭.()22122
f x x ax =+。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
23．已知定义域为R 的函数是奇函数．
（1）求f （x ）；
（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．
24．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
巴彦县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，
∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．
∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．
∴首项a1和公差d的值分别为1，4．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．
2．【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
3．【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减
结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C
当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B
故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
4．【答案】B
【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），
且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
5．【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，
N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，
故选D．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，
6．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
7．【答案】C
【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，
又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．
故选C
【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．8．【答案】A
【解析】解：令f（x）=x3﹣，
∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，
∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；
又f（1）=1﹣=＞0，
f（0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），
∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），
∴x0所在的区间是（0，1）．
故答案为：A．
9．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
10．【答案】C
【解析】
考
点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．
【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 11．【答案】B
【解析】解：由A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=
，
即有||2+|
|2=|
|2，
可得△OAB 为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有
•=|
|•|
|•cos45°=1×
×
=1．
故选：B ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．
12．【答案】C
【解析】解：令F （x ）=，（x ＞0），
则F ′（x ）=
，
∵f （x ）＞xf ′（x ），∴F ′（x ）＜0， ∴F （x ）为定义域上的减函数，
由不等式x 2
f （）﹣f （x ）＞0，
得：＞，
∴＜x ，∴x ＞1， 故选：C ．
二、填空题
-
13．【答案】[]1,1
【解析】
考点：函数的定义域.
14．【答案】﹣．
【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
15．【答案】0
【解析】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A1E⊥GF，
∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．
故答案为：0．
16．【答案】5
【解析】
试题分析：'2'
=++∴-=∴=．
f x x ax f a
()323,(3)0,5
考点：导数与极值．
17．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是=，
三角形AB
D1的面积为4，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则，
1
则h=
故点A1到平面AB1D1的距离为．
故答案为：．
18．【答案】．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．
则+x+y+=3+，
化为：x+y=3．
则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．
∴这两个正方形的面积之和的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意知：S n=n2﹣n，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，
当n=1时，a1=1，适合上式，
则a n=3n﹣2；
（2）根据题意得：b n===﹣，T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+
﹣=1﹣，
∴{T n }在n ∈N *上是增函数，∴（T n ）min =T 1=，
要使T n ＞对所有n ∈N *都成立，只需＜，即m ＜15，
则最大的正整数m 为14．
21．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.
【解析】（1）由于2AB =，AM BM ==
AM BM ⊥， 又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ，
∴⊥BM 平面ADM ，…………3分
又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分
22．【答案】（1）()()2max min 11,.22e f x f x =+= （2）a 的范围是11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】试题分析：（1）由题意得 f （x ）=12
x 2+lnx ，()2'11f 0x x x x x +=+=>，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当 时，，；
对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令
＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=
＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，
∵
若 ，令p ′（x ）=0，得极值点x 1=1，，
当x 2＞x 1=1，即 时，在（x 2，+∞）上有p ′（x ）＞0，
此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意； 当x 2＜x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；
若 ，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p ′（x ）＜0，
从而p （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p （x ）＜0在此区间上恒成立，只须满足
，
所以 ≤a ≤．
又因为h ′（x ）=﹣x+2a ﹣=＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数， h （x ）＜h （1）=+2a ≤0，所以a ≤
综合可知a 的范围是[，]． 23．【答案】
【解析】解：（1）因为f （x ）是R 上的奇函数，
所以f （0）=0，即
=0，解得b=1；
从而有
；… 经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f （x ）=
=﹣+； 由y=2x 的单调性可推知f （x ）在R 上为减函数； …
（3）因为f （x ）在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式
f （1+|x|）+f （x ）＜0等价于f （1+|x|）＜﹣f （x ），
即f （1+|x|）＜f （﹣x ）； …
又因f （x ）是R 上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x ，…
解得x ∈R ．…
24．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2
228x y -+=． 【解析】
试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.
（2）由360320x y x y --=⎧⎨
++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-, 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,
所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM =
=从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.1
考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.。