人教版高中数学选择性必修第一册1-4-2(1课时)用空间向量研究距离、夹角问题
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新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
∴P(2k，k，0)，D→1P＝(2k，k－2，－2)． ∴|D→1P|＝ 4k2＋（k－2）2＋4 ＝ 5k2－4k＋8＝ 5k－252＋356. ∴当 k＝25时，|D→1P|min＝65 5. k＝25表明此时 P 点确实在 AE 上．
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新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完 成：
(1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向 量的模，即可求出点到平面的距离． 由于|nn|＝n0 可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距 离实质是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量 积的绝对值，即 d＝|A→B·n0|.
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1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (第1课时 空间距离)
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要点 1 空间中的距离
（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2
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要点 2 点到直线的距离
已知直线 l 的方向向量是 a，点 P∉l，P′∈l，则点 P 到直线
n·P→B＝0， 则n·P→C＝0，
即34xy－－zz＝＝00，.
取 n＝(4，3，12)，又A→B＝(3，0，0)，
∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d＝|n·|nA|→B|＝1123.
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探究 3 本题给出了求点到平面距离的常见三种方法．方法 一是作出点 A 到平面 PBC 的垂线段，然后在三角形中，求垂线 段的长度．方法二运用了等体积法，从而减少了作垂线段的步 骤．方法三运用空间向量中 a 在 b 上的投影公式，即点 A 到平面 PBC 的距离为A→B在平面 PBC 的法向量上的投影的长度．
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思考题 3 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面是边长为
2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( C )
A.83
B.38
4
3
C.3
D.4
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新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
【解析】 取D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系，可求得平面 AB1D1 的法向量 n＝ (2，－2，1)．故 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d＝|A→A|n1·| n|＝43.
探究 2 用向量法求点面距离的方法与步骤是什么？ (1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系． (2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量 A→B. (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化 为求解方程组，求出法向量 n. (4)得答案：代入公式 d＝|A→|Bn·| n|求得答案．
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课时学案
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题型一 点到直线的距离 互动 1 怎样利用向量求点到直线的距离？ 【解析】 如图，
设 l 是经过 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一点，d＝ |P→A|2－|P→A·s0|2)，(|P→A·s0|是P→A在 s 上的投影)
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【解析】 方法一(平面几何法)： 如图所示，在正方形 ABCD 中，作 DP⊥AE 于 P，交 AB 于 F.
由平面几何知识，易得 Rt△DPA∽Rt△DAF. ∴||ADDF||＝||ADDP||，∴|DP|＝|A|DDF||2.
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1．点面距的常用求法
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2．求点到平面距离的步骤 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，|B→O| ＝|B→A|cos∠ABO＝|B→A||B→O|B|→cOos|∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O| ＝|A→|Bn·| n|.
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方法三：如图所示建立空间直角坐标系 Axyz.
则 P(0，0，1)，B(3，0，0)，C(0，4，0)， ∴P→B＝(3，0，－1)， P→C＝(0，4，－1)．
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设平面 PBC 立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过 O1 作 O1D⊥AC 于点 D，
设 D(x，y，0)，则O→1D＝(x，y，－2)，A→D＝(x－2，y，0)． ∵A→C＝(－2，3，0)，O→1D⊥A→C，A→D∥A→C， ∴－ x－－22x2＋ ＝3y3y，＝0，解得xy＝ ＝11118323， ，∴D1183，1123，0，
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例 1 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，P 是 AE 上的动点， 求|PD1|的最小值．
【思路分析】 连接 DP，则△DD1P 是直角三角形，|D1P|2＝ |DD1|2＋|DP|2，若|D1P|最小，则|DP|最短，反之亦然．
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互动 3 如何求与平面平行的直线到该平面的距离？如何求 平行平面间的距离？
【解析】 两者均转化为点到平面的距离求解，且这个点要适 当选取，以求解简单为准则．
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例 2 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别 是 AB，AD 的中点，GC⊥平面 ABCD 且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．
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思考题 4 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N， E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，B1C1 的中点，求平面 AMN 与 平面 EFBD 间的距离．
【思路分析】 易证得平面 AMN∥平面 EFBD，从而两个平面 具有共同的法向量，由于 A∈平面 AMN，B∈平面 EFBD，所以 AB 是夹在两平行平面间的斜线段，它在法向量方向上的投影的绝对值 即为所求值．
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∴|O→1D|＝ 11832＋11232＋（－2）2＝2 12386.
即
O1
到直线
AC
的距离为2
286 13 .
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方法二：连接 AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴A→O1＝(－2，0，2)，A→C
探究 1 (1)三种方法各有千秋，望同学们仔细体会，一题多 解对于提高能力是有用的．
(2)方法二说明在空间图形的某一个面内原有的平面知识结 论照样是成立的．
(3)方法三体现了函数思想．
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思考题 1 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，则
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，由G→E·n＝0 及G→F·n ＝0，可得 x＝－k，y＝－k，z＝3k，即 n＝(－k，－k，3k)，于 是点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝|B→|En·|n|＝ 1＋21|k＋| 9|k|＝21111.
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点 A1 与面对角线 BC1 所在直线间的距离是( A )
A. 26a
B．a
a
C. 2a
D.2
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思考题 2 在长方体 OABC－O1A1B1C1 中，OA＝2，AB ＝3，AA1＝2，求 O1 到直线 AC 的距离．
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方法二(等体积法)：VP－ABC＝13AP·S△ABC＝2. 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h， 则 VA－PBC＝13h·S△PBC＝163h. 又 VP－ABC＝VA－PBC， ∴163h＝2, ∴h＝1123. 即点 A 到平面 PBC 的距离为1123.
∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC，又 PA∩AD ＝A，PA，AD⊂平面 APD，
∴BC⊥平面 APD. 又∵BC⊂平面 PBC，
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∴平面 APD⊥平面 PBC. 过 A 作 AE⊥PD，垂足为 E，则 AE⊥平面 PBC. ∴线段 AE 的长为点 A 到平面 PBC 的距离． 在 Rt△ABC 中，AB＝3，AC＝4. ∴AD＝152. 在 Rt△PAD 中，PA＝1，PD＝153. ∴AE＝PAP·DAD＝1123. ∴点 A 到平面 PBC 的距离为1123.
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例 3 如图，P 为 Rt△ABC 所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，PA＝1.求点 A 到平面 PBC 的距离．
第29页
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【解析】 方法一：如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，连 接 PD.
∴直线 AE 方程为 y＝12x，即 x－2y＝0.
则|PD|min＝|0－12＋×42|＝4
5
5 .
∴|D1P|min＝65 5.
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方法三(空间向量法)： 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，以 A 点为坐 标原点，建立如右图空间直角坐标系． 则 A(0，0，0)，E(2，1，0)，D1(0，2，2)． ∴A→E＝(2，1，0)．∵P 在 AE 上， ∴可设A→P＝k·A→E＝(2k，k，0)．
l 的距离为 d′＝
|P→P′|2－P→P|a′·| a2.
两条平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离．
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要点 3 点到平面的距离 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段(点 A 在平面 α 内)，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面α的距离为 d＝||A→B|·cos〈A→B，n〉| |A→B·n| ＝___|n_|_____．空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问 题．
＝(－2，3，0)，∴A→O1·A→C＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4，
∴ A→O1·A→C ＝ →
4 13
，
∴
O1
到直线
AC
的距离
d＝
|AC|
（|A→O1|）2－A→O|A1→·CA|→C2＝2
286 13 .
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题型二 点到平面的距离 互动 2 怎样利用向量求点到平面的距离？ 【解析】 如图，设 n 是平面 α 的法向量，PA 是平面 α 的一条 斜线，则点 A 到平面 α 的距离 d＝|P→A|n·|n|.
∵边长为 2，E 为 BC 中点，
∵Rt△DAF≌Rt△ABE，∴|DF|＝ 5.
∴|DP|＝
4 ＝4 5
5
5.(说明：也可用面积法求|DP|)
∴|D1P|min＝
4＋156＝6
5
5 .
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方法二(解析几何法)： 如右图在平面 ABCD 上，以 A 为坐标原点，建 立如图坐标系，则 E 点坐标为(2，1)，D 点坐标为(0， 2)． ∵直线 AE 过原点，
【思路分析】 用向量在平面的法向量上的射影来求解．
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【解析】 如图，建立空间直角坐标系 Cxyz， 则 B(0，－4，0)，G(0，0，2)，E(－2，－4，0)， F(－4，－2，0)．
∴G→E＝(－2，－4，－2)，G→F＝(－4，－2，－2)，B→E＝(－2， 0，0)．
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∴P(2k，k，0)，D→1P＝(2k，k－2，－2)． ∴|D→1P|＝ 4k2＋（k－2）2＋4 ＝ 5k2－4k＋8＝ 5k－252＋356. ∴当 k＝25时，|D→1P|min＝65 5. k＝25表明此时 P 点确实在 AE 上．
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因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完 成：
(1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向 量的模，即可求出点到平面的距离． 由于|nn|＝n0 可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距 离实质是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量 积的绝对值，即 d＝|A→B·n0|.
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1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (第1课时 空间距离)
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要点 1 空间中的距离
（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2
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要点 2 点到直线的距离
已知直线 l 的方向向量是 a，点 P∉l，P′∈l，则点 P 到直线
n·P→B＝0， 则n·P→C＝0，
即34xy－－zz＝＝00，.
取 n＝(4，3，12)，又A→B＝(3，0，0)，
∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d＝|n·|nA|→B|＝1123.
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探究 3 本题给出了求点到平面距离的常见三种方法．方法 一是作出点 A 到平面 PBC 的垂线段，然后在三角形中，求垂线 段的长度．方法二运用了等体积法，从而减少了作垂线段的步 骤．方法三运用空间向量中 a 在 b 上的投影公式，即点 A 到平面 PBC 的距离为A→B在平面 PBC 的法向量上的投影的长度．
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思考题 3 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面是边长为
2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( C )
A.83
B.38
4
3
C.3
D.4
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【解析】 取D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系，可求得平面 AB1D1 的法向量 n＝ (2，－2，1)．故 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d＝|A→A|n1·| n|＝43.
探究 2 用向量法求点面距离的方法与步骤是什么？ (1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系． (2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量 A→B. (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化 为求解方程组，求出法向量 n. (4)得答案：代入公式 d＝|A→|Bn·| n|求得答案．
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课时学案
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题型一 点到直线的距离 互动 1 怎样利用向量求点到直线的距离？ 【解析】 如图，
设 l 是经过 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一点，d＝ |P→A|2－|P→A·s0|2)，(|P→A·s0|是P→A在 s 上的投影)
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【解析】 方法一(平面几何法)： 如图所示，在正方形 ABCD 中，作 DP⊥AE 于 P，交 AB 于 F.
由平面几何知识，易得 Rt△DPA∽Rt△DAF. ∴||ADDF||＝||ADDP||，∴|DP|＝|A|DDF||2.
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1．点面距的常用求法
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2．求点到平面距离的步骤 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，|B→O| ＝|B→A|cos∠ABO＝|B→A||B→O|B|→cOos|∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O| ＝|A→|Bn·| n|.
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方法三：如图所示建立空间直角坐标系 Axyz.
则 P(0，0，1)，B(3，0，0)，C(0，4，0)， ∴P→B＝(3，0，－1)， P→C＝(0，4，－1)．
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设平面 PBC 立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过 O1 作 O1D⊥AC 于点 D，
设 D(x，y，0)，则O→1D＝(x，y，－2)，A→D＝(x－2，y，0)． ∵A→C＝(－2，3，0)，O→1D⊥A→C，A→D∥A→C， ∴－ x－－22x2＋ ＝3y3y，＝0，解得xy＝ ＝11118323， ，∴D1183，1123，0，
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例 1 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，P 是 AE 上的动点， 求|PD1|的最小值．
【思路分析】 连接 DP，则△DD1P 是直角三角形，|D1P|2＝ |DD1|2＋|DP|2，若|D1P|最小，则|DP|最短，反之亦然．
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互动 3 如何求与平面平行的直线到该平面的距离？如何求 平行平面间的距离？
【解析】 两者均转化为点到平面的距离求解，且这个点要适 当选取，以求解简单为准则．
第23页
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例 2 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别 是 AB，AD 的中点，GC⊥平面 ABCD 且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．
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思考题 4 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N， E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，B1C1 的中点，求平面 AMN 与 平面 EFBD 间的距离．
【思路分析】 易证得平面 AMN∥平面 EFBD，从而两个平面 具有共同的法向量，由于 A∈平面 AMN，B∈平面 EFBD，所以 AB 是夹在两平行平面间的斜线段，它在法向量方向上的投影的绝对值 即为所求值．
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∴|O→1D|＝ 11832＋11232＋（－2）2＝2 12386.
即
O1
到直线
AC
的距离为2
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方法二：连接 AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴A→O1＝(－2，0，2)，A→C
探究 1 (1)三种方法各有千秋，望同学们仔细体会，一题多 解对于提高能力是有用的．
(2)方法二说明在空间图形的某一个面内原有的平面知识结 论照样是成立的．
(3)方法三体现了函数思想．
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思考题 1 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，则
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，由G→E·n＝0 及G→F·n ＝0，可得 x＝－k，y＝－k，z＝3k，即 n＝(－k，－k，3k)，于 是点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝|B→|En·|n|＝ 1＋21|k＋| 9|k|＝21111.
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点 A1 与面对角线 BC1 所在直线间的距离是( A )
A. 26a
B．a
a
C. 2a
D.2
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思考题 2 在长方体 OABC－O1A1B1C1 中，OA＝2，AB ＝3，AA1＝2，求 O1 到直线 AC 的距离．
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方法二(等体积法)：VP－ABC＝13AP·S△ABC＝2. 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h， 则 VA－PBC＝13h·S△PBC＝163h. 又 VP－ABC＝VA－PBC， ∴163h＝2, ∴h＝1123. 即点 A 到平面 PBC 的距离为1123.
∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC，又 PA∩AD ＝A，PA，AD⊂平面 APD，
∴BC⊥平面 APD. 又∵BC⊂平面 PBC，
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∴平面 APD⊥平面 PBC. 过 A 作 AE⊥PD，垂足为 E，则 AE⊥平面 PBC. ∴线段 AE 的长为点 A 到平面 PBC 的距离． 在 Rt△ABC 中，AB＝3，AC＝4. ∴AD＝152. 在 Rt△PAD 中，PA＝1，PD＝153. ∴AE＝PAP·DAD＝1123. ∴点 A 到平面 PBC 的距离为1123.
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例 3 如图，P 为 Rt△ABC 所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，PA＝1.求点 A 到平面 PBC 的距离．
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【解析】 方法一：如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，连 接 PD.
∴直线 AE 方程为 y＝12x，即 x－2y＝0.
则|PD|min＝|0－12＋×42|＝4
5
5 .
∴|D1P|min＝65 5.
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方法三(空间向量法)： 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，以 A 点为坐 标原点，建立如右图空间直角坐标系． 则 A(0，0，0)，E(2，1，0)，D1(0，2，2)． ∴A→E＝(2，1，0)．∵P 在 AE 上， ∴可设A→P＝k·A→E＝(2k，k，0)．
l 的距离为 d′＝
|P→P′|2－P→P|a′·| a2.
两条平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离．
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要点 3 点到平面的距离 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段(点 A 在平面 α 内)，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面α的距离为 d＝||A→B|·cos〈A→B，n〉| |A→B·n| ＝___|n_|_____．空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问 题．
＝(－2，3，0)，∴A→O1·A→C＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4，
∴ A→O1·A→C ＝ →
4 13
，
∴
O1
到直线
AC
的距离
d＝
|AC|
（|A→O1|）2－A→O|A1→·CA|→C2＝2
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题型二 点到平面的距离 互动 2 怎样利用向量求点到平面的距离？ 【解析】 如图，设 n 是平面 α 的法向量，PA 是平面 α 的一条 斜线，则点 A 到平面 α 的距离 d＝|P→A|n·|n|.
∵边长为 2，E 为 BC 中点，
∵Rt△DAF≌Rt△ABE，∴|DF|＝ 5.
∴|DP|＝
4 ＝4 5
5
5.(说明：也可用面积法求|DP|)
∴|D1P|min＝
4＋156＝6
5
5 .
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新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
方法二(解析几何法)： 如右图在平面 ABCD 上，以 A 为坐标原点，建 立如图坐标系，则 E 点坐标为(2，1)，D 点坐标为(0， 2)． ∵直线 AE 过原点，
【思路分析】 用向量在平面的法向量上的射影来求解．
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【解析】 如图，建立空间直角坐标系 Cxyz， 则 B(0，－4，0)，G(0，0，2)，E(－2，－4，0)， F(－4，－2，0)．
∴G→E＝(－2，－4，－2)，G→F＝(－4，－2，－2)，B→E＝(－2， 0，0)．