苏教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第七章 计数原理 7.3 第1课时 组合、组合数公式

(5)(方法一
直接法)可分为三类:
第 1 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C31 C94 种选法;
第 2 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C32 C93 种选法;
第 3 类,甲、乙、丙 3 人均参加,有C33 C92 种选法.
所以,共有C31 C94 + C32 C93 + C33 C92 =666(种)不同的选法.
(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务,
有多少种不同的选法?
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法?
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(2)“10人相互通一次电话,共通多少次电话?”是组合问题.( √ )
(3)组合概念中的“n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的”,即从n
个不同的元素中进行m次不放回地取出.( √ )
(2)从 1,3,5,7 中任取两个数相乘,所得不同的积为
1×3=3,1×5=5,1×7=7,3×5=15,3×7=21,5×7=35,共 6 个.
(3)问题(1)所求的解与取出元素的先后顺序有关.如取出元素 1 和
3
和 1=3
1
3,则商为
3
两个不同结果,是排列问题.问题(2)所求的解与取出元素的先后顺序
98
②C100
(1)解①3C83 -2C52
+
199
C200
=
2
C100
+
+
8×7×6
5×4
8
C8 =3×
-2×
+1=149.
3×2×1
2×1
1
C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
!
!
2·!
(2)证明左边=
+
+
(+1)!(--1)!
(-1)!(-+1)!
!(-)!
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
解 (1)首先从 4 名外科专家中任选 2 名,有C42 种选法,再从除外科专家的 6 人
去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加;
(6)甲、乙、丙三人中至多2人参加.
5
解 (1)C12
=792(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的 9 人中选 2 人,共有C92 =36(种)不
10C7
!(5-)!
!(6-)!
得
−
5!
6!
=
7×!(7-)!
,
10×7!
化简得 m2-23m+42=0,解得 m=2 或 21.
又 0≤m≤5,所以 m=2.所以C8 = C82 =28.
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
第 3 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C32 C93 种选法.
共有C95 + C31 C94 + C32 C93 =756(种)不同的选法.
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人全参加的有
5
C92 种选法,所以共有C12
− C92 =756(种)不同的选法.
规律方法
常用于证明.
m!(n-m)!
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1) C53 =5×4×3=60.( × )
(2)从2,4,6,8中任取两个数相乘可得 C42 =6个积.( √ )
(3)“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”叫作“从3个不同元素中取出2
个元素的组合数”.( × )
(3)3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题.
(4)3人参加某项活动,没有顺序,是组合问题.
规律方法 判断一个问题是否为组合问题的流程:
变式训练1
从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个,共有多少种不同的组合?请写出所有
组合.
解 先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个
2.(1)从1,3,5,7中任取两个数相除,可以得到多少个不同的商?
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可以得到多少个不同的积?
(3)请指出问题(1)和问题(2)的不同之处.
解 (1)从 1,3,5,7 中任取两个数相除,因为取出的两个数若先后顺序不同,得到
的商不同,所以不同的商的个数为A24 =4×3=12.
②有 1 名外科专家参加,有C41 C65 种选法;
③有 2 名外科专家参加,有C42 C64 种选法.
所以共有C66 + C41 C65 + C42 C64 =115(种)抽调方法.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)组合与组合数的定义;
(2)组合数的计算与证明;
(3)组合数的两个性质及应用;
(4)组合问题的实际应用.
写出来,如图所示.
由此可得所有的组合:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,【例 2】 (1)计算:①3C83 -2C52 + C88 ;
98
199
②C100
+ C200
.
(2)求证:C+1
-1
+ C +2C
+1
= C+2
.
答案
6
(方法二 间接法)不考虑是否有外科专家,共有C10
种选法.考虑选取 1 名外科
6
专家参加,有C41 C65 种选法;没有外科专家参加,有C66 种选法,所以共有C10
−
C41 C65 − C66 =185(种)抽调方法.
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,
①没有外科专家参加,有C66 种选法;
8 .
10C
7
解 (1)由组合数的公式的性质,
2 ≥ 17-,
13 + ≥ 3,
可得
解得 n=6.
*
*
2∈N ,17-∈N ,
13 + ∈N* ,3∈N * ,
11
18
1
1
所以,原式=C12
+ C19
= C12
+ C19
=12+19=31.
1
(2)由
C5
1
−
C6
=
7
,
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人都不参加的
有C95 种,
5
所以,共有C12
− C95 =666(种)不同的选法.
(6)(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多 2 人参加,可分为三类:
第 1 类,甲、乙、丙都不参加,有C95 种选法;
第 2 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C31 C94 种选法;
常见的含限制条件组合问题的解法:
(1)特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素.特殊元
素的多少作为分类依据.
(2)含有“至多”“至少”等限制语句,要分清限制语句中所包含的情况,可以此
作为分类依据,或采用间接法求解.
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分
类表达,逐类求解.
(2)涉及字母的可以用阶乘式C
=
=
A

A

=
(-1)(-2)…(- +1)
计算;
!
!
计算;
!(- )!
(3)计算时应注意利用组合数的性质C = C- 简化运算.
变式训练2
17-
3
(1)求值:C2 + C13+
;
1
(2)已知
C5
−
1
C
6
=
7

,求C
2.方法归纳:公式法、间接法、分类讨论.
3.常见误区:(1)分不清“排列”还是“组合”;
(2)易忽视组合数中m与n的限制条件;
(3)计算中不会利用组合数性质.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022江西师大附中高二期中)一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个
黑球,从中取出3个球,则不同的取法种数为(
2.“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
提示 “组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同元素中取
出m(n,m∈N*,m≤n)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;
组合数是指“从n个不同元素中取出m(n,m∈N*,m≤n)个元素的所有组合的
个数”,它是一个数.
18
2.计算:C20
=
3
2
,C99
+ C99
=
.
答案190 161 700
解析
18
C20
3
C99
2
C99
+
=
2
C20
=
3
C100
=
20×19
=190,
2×1
=
100×99×98
=161
3×2×1
700.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题:
(1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场?
A.C61 C22
B.C62 C21
C.C63
D.C83
)
答案 D
解析 根据题意,一个口袋内装有大小相同的 6 个白球和 2 个黑球,共 8 个球,
从中取 3 个球,有C83 种取法,故选 D.
2-3
C12 ,则

2.若C12
=
A.3
B.5
n 等于(
)
C.3或5 D.15
答案 C
解析 由组合数的性质得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5.故选C.
!
=
·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]
(+1)!(-+1)!
!
(+2)!
+1
=
(n+2)(n+1)=
=C+2
=右边.
(+1)!(-+1)!
(+1)!(-+1)!
规律方法 关于组合数计算公式的选取:
(1)涉及具体数字的可以直接用公式C
知识点1 组合的概念
一般地,从n个不同元素中取出m(n,m∈N*,m≤n)个元素并成一组,叫作从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合.
这m个不同元素可以构成一个集合
名师点睛
排列与组合的区别与联系:
(1)联系:两者都是从n个不同元素中取出m(n,m∈N*,m≤n)个元素.
(2)区别:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有C95 =126(种)
不同的选法.
(4)甲、
乙、
丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、
乙、
丙中选 1 人,有C31 =3(种)
选法,再从另外的 9 人中选 4 人有C94 种选法,共有C31 C94 =378(种)不同的选法.
知识点3 组合数的性质
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)从7个不同元素中取出3个不同元素的组合数与从7个不同元素中取出4
个不同元素的组合数不相同.( × )
021
(2)C22 022
= C21 022 =2 022.( √ )
(3)C43 + C53 + C63 +…+C23 022 = C24 023 -1.( √ )
3.6个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手
次.
答案 15
解析 每两人握手 1 次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C62 =15 次.
9
9
8
4.化简:C
− C+1
+ C
=
.
答案 0
9
9
9
9
8
解析 原式=(C
+ C
)-C+1
= C+1
− C+1
=0.
5.(2022北京西城期末)从2名女生、4名男生中选出3人参加垃圾分类宣传
第七章
第1课时 组合、组合数公式
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系;
课标要求 2.会推导组合数公式,并会应用公式进行计算;
3.理解组合数的性质,并能应用性质求值、化简和证明.
基础落实•必备知识全过关
无关,如取出 1 和 3,相乘后得的积是 3,与 1,3 的顺序无关,是组合问题.
知识点2 组合数与组合数公式
所有组合的个数
C
名师点睛
(1)n0 =1.
(2)nm
=
m
n
m
m
n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)
=
常用于计算.
m(m-1)(m-2)×…×3×2×1
(3)nm
=
n!
中选取 4 人,有C64 种选法,所以共有C42 C64 =90(种)抽调方法.
(2)(方法一
直接法)按选取的外科专家的人数分类:
①选 2 名外科专家,共有C42 C64 种选法;
②选 3 名外科专家,共有C43 C63 种选法;
③选 4 名外科专家,共有C44 C62 种选法.
根据分类计数原理,共有C42 C64 + C43 C63 + C44 C62 =185(种)抽调方法.