离散系统的状态空间表达式

一 、差分方程和脉冲传递函数
线性定常离散系统可用n次差分方程表示： y[(k+n)T]+an-1 y[(k+n-1)T]+……+a0y(kT)= bmu[(k+m)T]+bm-1u[(k+m-1)T]+……+b0u(kt)
(k=0,1……，n；n≥m) 由：Z[x(k-m)]=z-m x(z) Z[(x(k)]=x(z)
试求系统的状态空间表达式，并画出 其模拟结构图。
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
则输入同上 输出为：
x1(k)
y(k) x(k) 6
2
3x2 (k)
x3 (k )
本章小结
1、状态空间表达式概念、模拟结构图、可控可 观标准型及变换。
2、化高阶微分方程（u不含导数项）为状态方 程。
3、直接法由G（s)求状态方程。
4、由差分方程求状态方程。
作业
1、已知系统微分方程，试将其变换为状态空间
表达式,并画出模拟结构图。
(1)y 2y 4y 6y 2u (2)y 7y 3y u 3u 2u
2、已知系统的G(s) s2 s 1
G(s) s3 6s2 11s 6 建立状态空间表达式
3、已知离散系统的差分方程为
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) 2u(k 1) 3u(k)
0 a0
0 a1
01an1xxnn(1k()k
)
0 1
y(k) x1(k) 1
x1(k)
00
x2
(k
)
xn
(k
)
向量矩阵形式
x(k 1) G(k)x(k) H(k)u(k) y(k) G(k)x(k) D(k)u(k)
离散系统方块图：
例1.9：已知离散系统的差分方程为
Y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=u(k)
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
……-an-1xn(k)+u(k)
…… …
x1(k 1)

(k
1)
0 0
1 0
00 x1(k) 0
10
x2(k)
0 u(k)
xn1
(k
1)
xn (k 1)
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
1.7 离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
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