初等几何研究试题答案

初等几何研究试题答案
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(-3, 1)，点C在x轴上，且三角形ABC是等腰直角三角形，求点C 的坐标。

【解题过程】
一、已知条件
1. 点A的坐标为(2, 3)；
2. 点B的坐标为(-3, 1)；
3. 点C在x轴上，即点C的坐标形式为(x, 0)；
4. 三角形ABC是等腰直角三角形。

二、分析
1. 由于三角形ABC是等腰直角三角形，所以AC=BC；
2. 利用两点间的距离公式计算AC和BC的长度；
3. 根据AC=BC，列出方程求解x的值；
4. 得到点C的坐标。

三、解题步骤
1. 计算AC的长度：
由两点间的距离公式，AC的长度为：
AC = √[(x - 2)² + (0 - 3)²]
= √[(x - 2)² + 9]
2. 计算BC的长度：
由两点间的距离公式，BC的长度为：
BC = √[(-3 - x)² + (1 - 0)²]
= √[(x + 3)² + 1]
3. 列出方程求解x的值：
由于AC=BC，所以：
√[(x - 2)² + 9] = √[(x + 3)² + 1]
两边平方，得：
(x - 2)² + 9 = (x + 3)² + 1
展开方程，得：
x² - 4x + 4 + 9 = x² + 6x + 9 + 1
化简方程，得：
-10x = -5
解得：
x = 0.5
4. 得到点C的坐标：
由题意知，点C在x轴上，所以点C的坐标为(0.5, 0)。

四、结论
通过以上解题过程，我们得到了点C的坐标为(0.5, 0)。

此时，三角形ABC为等腰直角三角形，满足题目条件。

五、拓展
1. 如果将点C的位置限定在y轴上，求点C的坐标；
2. 如果将三角形ABC限定为等边三角形，求点C的坐标；
3. 如果给定三角形ABC的面积为某个数值，求点C的坐标。

通过以上拓展，我们可以进一步探讨平面几何中的各种问题，提高解题能力。

总结：本题涉及了平面直角坐标系、两点间的距离公式、
方程求解等知识点。

通过分析题目条件，列出方程求解，最终得到了点C的坐标。

在解题过程中，需要注意单位的统一和精度的控制。

此外，本题还可以进行拓展，探讨更多有趣的几何问题。