【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第一册：本章总结第三章 函数的概念与性质

[例 2] (1)设 abc>0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能 是( D )
(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)在 x≥0 时的图象如图所示， 则 f(x)<0 的解为__(－__∞__，__－__4_)_∪__(_－__2_,0_)_∪__(2_,_4_)_______．
[解析] (1)A 项，由图象开口向下知 a<0，由对称轴位置知 －2ba<0，所以 b<0.又因为 abc>0，所以 c>0.而由题图知 f(0)＝c<0， A 错；B 项，由题图知 a<0，－2ba>0，故 b>0.又因为 abc>0，所 以 c<0，而由题图知 f(0)＝c>0，B 错；选项 C、D 中，开口向上， 故 a>0，f(0)＝c<0.由 abc>0 知 b<0，从而函数的对称轴 x＝－2ba>0， 故 C 错 D 正确．故选 D.
专题二 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性， 通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性 等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出． 函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直 观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图 象和利用图象解题的试题．
[解] (1)由 f(2)＝4a＋2b＝0，得 2a＋b＝0，① f(x)＝x，即 ax2＋bx＝x， 即 ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根． ∴b－1＝0，∴b＝1. 将其代入①得 a＝知 f(x)＝－12(x－1)2＋12， 显然 f(x)在[1,2]上是减函数． ∴当 x＝1 时，f(x)max＝12， 当 x＝2 时，f(x)min＝0， 故当 x∈[1,2]时，函数的值域是0，12.
150 x
＋
1≥2 6100x·15x0＋1＝2.当且仅当6010x＝15x0，即 x＝300 时，上
式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买 300 台．
(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量
q(m)＝185m60－m，1≤m≤30， 当 1≤m≤30 时，300
480，
m>30，
(2)由于 f(x)为 R 上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作 出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知 f(x)<0 的解集 为(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)．
[点评] (1)识图．识别函数的图象，实质就是分析函数的性 质，主要观察以下几点：①函数的定义域；②函数图象的最高点 (即最大值)和最低点(即最小值)；③与坐标轴的交点(即 f(x)＝0 或 x＝0 的点)；④图象的对称性(即函数的奇偶性)；⑤函数图象 在某段区间上的变化趋势(即函数的单调性)．
则需要人数为1144200000＝120(人)．
∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用 人数量最多可减少12102－030×100%＝75%.
(2)用图．因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性 质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等 式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的．
专题三 函数的性质与应用 函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式 看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或 参数的取值范围是命题的重点与热点． [例 3] 函数 f(x)＝(x－2)(x＋m)为偶函数，则 m＝____2____.
[点评] 解决函数的单调性与奇偶性时的三点注意： (1)要证明函数 f(x)在区间 D 上不是单调函数，只要举一反例 即可，即只要找到两个特殊的 x1，x2，不满足定义即可． (2)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化 简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔ff－xx ＝±1(f(x)≠0)． (3)如果 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)，如果 f(x)是奇函数， 那么 f(0)＝0(原点有定义)，解题时常用．
(2)证明：由(1)知 y＝f(x)－1 为奇函数， 所以 f(x)－1＝－[f(－x)－1]． 任取 x1，x2∈R，且 x1<x2，则 x2－x1>0. 所以 f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1 ＝f(x2)－[f(x1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1. 因为当 x>0 时，f(x)>1. 所以 f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1>1， 即 f(x1)<f(x2)，故 f(x)是 R 上的增函数．
[解析] f(x)＝(x－2)(x＋m)＝x2＋(m－2)x－2m 为偶函数， 所以 m－2＝0，即 m＝2.
[例 4] 若定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1，x2∈R，都有 f(x1 ＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1 成立，且当 x>0 时，f(x)>1.
(1)求证：y＝f(x)－1 为奇函数； (2)求证：f(x)是 R 上的增函数； (3)若 f(4)＝5，解不等式 f(3m－2)<3.
(3)因为 f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且 f(4)＝5， 所以 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即 f(2)＝3，
由不等式 f(3m－2)<3，得 f(3m－2)<f(2)．
由(2)知 f(x)是 R 上的增函数，
所以
3m－2<2，即
3m－4<0，即
4 m<3.
故不等式 f(3m－2)<3 的解集为－∞，43.
专题四 函数模型及应用 把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应 用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应 用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给 定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题； 3.建立拟合函数模型解决实际问题．
[例 5] 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机 器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 x
台机器人的日平均分拣量为 160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，
∴当 m＝30 时，日平均分拣量有最大值 144 000 件．当 m>30 时，
日平均分拣量为 480×300＝144 000(件)．∴300 台机器人的日平
均分拣量的最大值为 144 000 件．若传统人工分拣 144 000 件，
480
m>30
拣每人每日的平均分拣量为 1 200 件，问引进机器人后，日平均 分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可 减少百分之几？
[解] (1)由总成本 p(x)＝6100x2＋x＋150万元，可得每台机
器人的平均成本
y
＝
px x
＝
6100x2＋x＋150 x
＝
1 600
x
＋
[解] (1)证明：因为定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1，x2∈ R，都有 f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1 成立．
所以令 x1＝x2＝0，则 f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1. 即 f(0)＝1. 令 x1＝x，x2＝－x， 则 f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1. 所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0， 故 y＝f(x)－1 为奇函数．
台机器人的总成本 p(x)＝6100x2＋x＋150万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在 机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知， 每台机器人的日平均分拣量 q(m)＝
185m60－m，1≤m≤30， (单位：件)，已知传统人工分
第三章
函数的概念与性质
本章总结
专题一 函数的概念 函数的概念主要是对函数三要素：定义域、值域、对应关系 的考查，其中定义域是研究任何函数问题的前提条件，而求函数 的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点． [例 1] 已知 a，b 为常数，且 a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0， 方程 f(x)＝x 有两个相等的实数根． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 x∈[1,2]时，求 f(x)的值域． [分析] (1)用待定系数法求解；(2)利用函数的单调性求解．