1.2.2.3函数的概念复习课
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函 数 的 概 念 (1)
1、函数的传统定义
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，则称x是自变量，y是x的函数.
设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都
定
义R
域
y = a x 2+ b x + c
R
R
y k (k 0) x
{x x 0}
值域
R
{y |
y
4ac b2 }
{y |
y
4ac b2 }
{y
y
0}
4a
4a
针对练习：
1.已知 f (x) 的定义域是 (3,3] ，求 f (2x 1) 的定义域; 2.已知 y f (2x 1) 的定义域是[1,1] ,求 f (x) 的定义域;
{ x | – 2 ≤ x < 6 }∪{ x | 3 < x ≤ 8 } =[–2,8]
针对练习:
1. 求下列函数的定义域:
(1) f (x) 1 ; (2) f (x) 1 x x 3 1.
解: (
1
)使分式
4x
1
7
有意义的实数
x
需满足 4x
7
0
4x 7
故所求的定义域为{x | x 7}
因此，若 a 0 ，集合 A 的元素为 1； 若 a 1 ，集合 A 的元素为 2 .
6、分式不等式的解法
(1)
f (x) g(x)
0
f (x) 0 g(x) 0
或
f (x) 0 g(x) 0
f
(x) g(x)
0
(2)
f (x) g(x)
4
( 2 )使根式 1 x 和 x 3 有意义的实数 x 需分别
满足1 x 0 和 x 3 0
故所求的定义域为{x | x 1}{x | x 3}
{x | 3 x 1}
4、函数相等
如果两个函数的定义域相同，且对应关系 完全一样，可称这两个函数相等.
{x | x a} ( – ∞, a ]
{x | x b} ( b , +∞)
{x | x b} [ b , +∞)
{x | x R} ( – ∞, +∞)
数轴表示
。。
.. .。 。.
。
.
。
.
数轴上所有的点
3、集合的区间表示 说明: ( 1 ) 区间是集合; ( 2 ) 区间上的左端点必须小于右端点; ( 3 ) 区间中的元素都是点,可以用数字表示;
0
f (x) 0 g(x) 0
或
f (x) g ( x)
0 0
f
(x) g(x)
0
(3)
f
(x)
≥0
g(x)
f g
(x) (x)
g(x) 0
0
(4)
f (x) g ( x)≤0
f g
(x) (x)
g(x) 0
0
针对练习
解下列不等式:
(1) 3x 4 1; 2x 5
( 4 ) 任何区间都可在 数轴上表示出来;
( 5 ) 以 – ∞或 + ∞ 为区间一端时, 这一端 必须用小括号;
针对练习：用区间表示下列实数集合。 { x | –1 8 ≤ x ＜ 5 } = [ – 18 , 5 )
{ x | x > 6 }∩{ x | – 5 < x ≤ 14 } = ( 6 , 14 ]
3.已知 f ( x ) x 2 x ，求 f (x) . 4．已知 f (x 2) x 3 ，求 f (x) 的解析式及 f (x)
的定义域.
5．已知集合 A {x | ax 2 4x 4 0, x R, a R} 只有
一个元素，求 a 的值和这个元素．
解: 集合 A 只有一个元素,即方程 ax 2 4x 4 0 只有一个解
当 a 0 时,方程即为 4x 4 0 ,解得 x 1，满足条件;
当 a 0 时,二次方程 ax 2 4x 4 0 只有一个解,即 0
故由 16 16a 0 ，解得 a 1 ，此时解得 x 2
y
y
yy2ຫໍສະໝຸດ 220x
0
x
0
x
0
x
-2
-2
-2
-2
A
B
C
D
3、集合的区间表示
集合表示
区间表示
{x | a x b} ( a , b )
{x | a x b} [ a , b ]
{x | a x b} [ a , b ) {x | a x b} ( a , b ]
{x | x a} ( – ∞, a )
是函数的值域 C =｛ f ( x ) | x∈ A ｝ B.
③ f 是对应关系: 它可以是一个或几个解析式 , 可以是
图象、表格 , 也可以是文字表述.
注意：
① 函数三要素: 定义域、值域、对应法则, 缺一不可; ② f 表示对应法则, 在不同的函数中, f 的具体含义是不一样; ③ f ( x ) 是一个函数符号, 绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.
除用 f ( x ) 外, 还可用 g ( x )、F ( x )、G ( x ) 等符号表示.
检验给定两个变量之间是否具有函数关系, 只要检验: （1）定义域和对应关系是否给出; （2）根据给出的对应关系, 自变量 x 在其定义域中的每 一个值， 是否都能确定唯一的函数值.
1. 判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数: ( 1 ) A =｛–1, 1, 2, 3｝, B =｛1, 4, 9, 16｝, y = x 2, x∈A ;
(2) 15 2x 1; x2
(3)(2 x)(2x 4)(3x 8) 0.
(4)(2 x)2 (2x 4)(3x 8) 0.
针对练习：判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
1.表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h 130t 5t 2
和二次函数 y 130x 5x 2 ；
2. f (x) 1和 g(x) x0
5、填写下表:
函数 一次函数
二次函数
a>0
a<0
反比例 函数
对应 y = a x + b 法则 ( a ≠ 0 )
有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称 f : A B 为
从集合A到集合B的一个函数，记作
y f (x), x A
y = f ( x )的意义是： y 等于 x 在对应关系 f 下的对应值
①自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; ②和自变量 x 相对应的 y 的值为函数值 , 函数值的集合
( 2 ) A =｛1, 2｝, B =｛ 1,1, 2, 2｝, y2 x, x A.
检验给定两个变量之间是否具有函数关系, 只要检验: （1）定义域和对应关系是否给出; （2）根据给出的对应关系, 自变量 x 在其定义域中的每 一个值， 是否都能确定唯一的函数值.
2. 下列图象中不能作为函数 y = f ( x ) 的图象的是（ B ）
1、函数的传统定义
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，则称x是自变量，y是x的函数.
设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都
定
义R
域
y = a x 2+ b x + c
R
R
y k (k 0) x
{x x 0}
值域
R
{y |
y
4ac b2 }
{y |
y
4ac b2 }
{y
y
0}
4a
4a
针对练习：
1.已知 f (x) 的定义域是 (3,3] ，求 f (2x 1) 的定义域; 2.已知 y f (2x 1) 的定义域是[1,1] ,求 f (x) 的定义域;
{ x | – 2 ≤ x < 6 }∪{ x | 3 < x ≤ 8 } =[–2,8]
针对练习:
1. 求下列函数的定义域:
(1) f (x) 1 ; (2) f (x) 1 x x 3 1.
解: (
1
)使分式
4x
1
7
有意义的实数
x
需满足 4x
7
0
4x 7
故所求的定义域为{x | x 7}
因此，若 a 0 ，集合 A 的元素为 1； 若 a 1 ，集合 A 的元素为 2 .
6、分式不等式的解法
(1)
f (x) g(x)
0
f (x) 0 g(x) 0
或
f (x) 0 g(x) 0
f
(x) g(x)
0
(2)
f (x) g(x)
4
( 2 )使根式 1 x 和 x 3 有意义的实数 x 需分别
满足1 x 0 和 x 3 0
故所求的定义域为{x | x 1}{x | x 3}
{x | 3 x 1}
4、函数相等
如果两个函数的定义域相同，且对应关系 完全一样，可称这两个函数相等.
{x | x a} ( – ∞, a ]
{x | x b} ( b , +∞)
{x | x b} [ b , +∞)
{x | x R} ( – ∞, +∞)
数轴表示
。。
.. .。 。.
。
.
。
.
数轴上所有的点
3、集合的区间表示 说明: ( 1 ) 区间是集合; ( 2 ) 区间上的左端点必须小于右端点; ( 3 ) 区间中的元素都是点,可以用数字表示;
0
f (x) 0 g(x) 0
或
f (x) g ( x)
0 0
f
(x) g(x)
0
(3)
f
(x)
≥0
g(x)
f g
(x) (x)
g(x) 0
0
(4)
f (x) g ( x)≤0
f g
(x) (x)
g(x) 0
0
针对练习
解下列不等式:
(1) 3x 4 1; 2x 5
( 4 ) 任何区间都可在 数轴上表示出来;
( 5 ) 以 – ∞或 + ∞ 为区间一端时, 这一端 必须用小括号;
针对练习：用区间表示下列实数集合。 { x | –1 8 ≤ x ＜ 5 } = [ – 18 , 5 )
{ x | x > 6 }∩{ x | – 5 < x ≤ 14 } = ( 6 , 14 ]
3.已知 f ( x ) x 2 x ，求 f (x) . 4．已知 f (x 2) x 3 ，求 f (x) 的解析式及 f (x)
的定义域.
5．已知集合 A {x | ax 2 4x 4 0, x R, a R} 只有
一个元素，求 a 的值和这个元素．
解: 集合 A 只有一个元素,即方程 ax 2 4x 4 0 只有一个解
当 a 0 时,方程即为 4x 4 0 ,解得 x 1，满足条件;
当 a 0 时,二次方程 ax 2 4x 4 0 只有一个解,即 0
故由 16 16a 0 ，解得 a 1 ，此时解得 x 2
y
y
yy2ຫໍສະໝຸດ 220x
0
x
0
x
0
x
-2
-2
-2
-2
A
B
C
D
3、集合的区间表示
集合表示
区间表示
{x | a x b} ( a , b )
{x | a x b} [ a , b ]
{x | a x b} [ a , b ) {x | a x b} ( a , b ]
{x | x a} ( – ∞, a )
是函数的值域 C =｛ f ( x ) | x∈ A ｝ B.
③ f 是对应关系: 它可以是一个或几个解析式 , 可以是
图象、表格 , 也可以是文字表述.
注意：
① 函数三要素: 定义域、值域、对应法则, 缺一不可; ② f 表示对应法则, 在不同的函数中, f 的具体含义是不一样; ③ f ( x ) 是一个函数符号, 绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.
除用 f ( x ) 外, 还可用 g ( x )、F ( x )、G ( x ) 等符号表示.
检验给定两个变量之间是否具有函数关系, 只要检验: （1）定义域和对应关系是否给出; （2）根据给出的对应关系, 自变量 x 在其定义域中的每 一个值， 是否都能确定唯一的函数值.
1. 判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数: ( 1 ) A =｛–1, 1, 2, 3｝, B =｛1, 4, 9, 16｝, y = x 2, x∈A ;
(2) 15 2x 1; x2
(3)(2 x)(2x 4)(3x 8) 0.
(4)(2 x)2 (2x 4)(3x 8) 0.
针对练习：判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
1.表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h 130t 5t 2
和二次函数 y 130x 5x 2 ；
2. f (x) 1和 g(x) x0
5、填写下表:
函数 一次函数
二次函数
a>0
a<0
反比例 函数
对应 y = a x + b 法则 ( a ≠ 0 )
有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称 f : A B 为
从集合A到集合B的一个函数，记作
y f (x), x A
y = f ( x )的意义是： y 等于 x 在对应关系 f 下的对应值
①自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; ②和自变量 x 相对应的 y 的值为函数值 , 函数值的集合
( 2 ) A =｛1, 2｝, B =｛ 1,1, 2, 2｝, y2 x, x A.
检验给定两个变量之间是否具有函数关系, 只要检验: （1）定义域和对应关系是否给出; （2）根据给出的对应关系, 自变量 x 在其定义域中的每 一个值， 是否都能确定唯一的函数值.
2. 下列图象中不能作为函数 y = f ( x ) 的图象的是（ B ）