高中《三角函数》全部教案

三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1角有正负之分如：=210=150=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）3还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30390330是第Ⅰ象限角 30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和390=30+360)1(=k 330=30360)1(-=k30=30+0×360 )0(=k1470=30+4×360)4(=k1770=305×360)5(-=k3．所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4．例一 （P5 略） 五、小结： 1角的概念的推广用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边相同的角”第二教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180=rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例一 把'3067ο化成弧度解：οο⎪⎭⎫⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=ο 例二 把rad π53化成度o rC2ra 1rarl=2o AAB解：οο1081805353=⨯=rad π注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

例三 用弧度制表示：1终边在x 轴上的角的集合 2终边在y轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ3终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 第三教时教材：弧度制（续）目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二二、由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比相应的公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad Rl∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ 比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇要简单 例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅=⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο ∴)(655101211cm l ππ=⨯=例三 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S == 例四 计算4sin π5.1tan解：∵ο454=π∴ 2245sin 4sin==οπ'578595.855.130.571.5rad οο==⨯=•∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==ο例五 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ ο315- oRSl解：πππ63319+= ππ2436045315-=-=-οοο例六 求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 360π=ο∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6 四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10P12-13 习题 5—14 《教学与测试》P102 7、8及思考题第四教时教材：任意角的三角函数（定义）目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k +(k Z)的同名三角函数值相等的道理。

过程：一、提出课题：讲解定义：1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r （图示见P13略）2．比值r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做的余弦 记作： r x =αcos 比值xy叫做的正切 记作： x y =αtan 比值yx叫做的余切 记作： yx =αcot 比值xr叫做的正割 记作： xr =αsec 比值yr叫做的余割 记作： yr =αcsc R=4560注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k +(k Z)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。

（下面有例子说明）③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）⑤定义域：αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k R R ∈+≠ππα αααcsc sec cot ===y y y)()(2)(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παππαπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值解：13)3(2,3,222=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos =13132 tan=23cot =32 sec=213csc =313 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵⑶23π⑷2π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17⑷ 当=2π时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0xoy P(2,-3)sec2π不存在 csc 2π=1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数xxxx y tan tan cos cos +=的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx0 ∴x 的终边不在y 轴上∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0><y x |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2…………ⅢⅣ………, 0,00,0<><<y x y x |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0例四 《教学与测试》P103 例二⑴ 已知角的终边经过P(4,3),求2sin +cos的值 ⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值解：⑴由定义 ：5=r sin=53cos =54∴2sin +cos=52 ⑵若0>a a r 5= 则sin=53cos =54∴2sin +cos=52 若0<a a r 5-= 则sin=53cos =54∴2sin +cos=52 三、小结：定义及有关注意内容四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题 3《教学与测试》P104 4、5、6、 7第五教时教材：三角函数线目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2．介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O ，半径等于单位长度的圆 3．作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 …… …… ……… …… ……设任意角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于P ，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A 、B两点过P(x,y)作PMx 轴于M ，过点A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于T ，过点B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于S4．简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。