【初三数学】哈尔滨市九年级数学上(人教版)第24章圆单元综合练习题(含答案解析)

人教版九上数学第二十四章圆单元测试卷
一．选择题
1．下列说法中正确的是（）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦
2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（）
A．75°B．65°C．60°D．50°
3．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）
A．100°B．80°C．50°D．40°
4．在⊙O中，∠AOB＝120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°
5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（）
A．9+3B．12+6C．18+3D．18+6
7．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（）
A．2B．4 C．4D．4π
8．如图，AD是⊙O的弦，过点O作AD的垂线，垂足为点C，交⊙O于点F，过点A作⊙O 的切线，交OF的延长线于点E．若CO＝1，AD＝2，则图中阴影部分的面积为（）
A．4﹣πB．2﹣πC．4﹣πD．2﹣π
9．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）
A．B．2 C．D．
10．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B，C，G，H都在⊙O的直径上，正方形ABCD 的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC＝1，GH＝2，则正方形PCGQ的面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．10
11．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）
A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣
12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B．6 C．3D．2
二．填空题
13．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝度．
14．边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是．
15．△ABC为半径为5的⊙O的内接三角形，若弦BC＝8，AB＝AC，则点A到BC的距离为．16．如图，BD为⊙O的直径，＝，∠ABD＝35°，则∠DBC＝°．
17．如图，在扇形AOB中，OA＝OB＝4，∠AOB＝120°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），射线AD与扇形AOB所在⊙O相切，点P在射线AD上，连接AB，OC，CP，若AP ＝2，则CP的取值范围是．
三．解答题
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BE上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交AC于点D．BD平分∠ABC．
（1）求证：AC为⊙O切线；
（2）点F为的中点，连接BF，若BC＝，BD＝8，求⊙O半径及DF的长．
19．如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，
DE交AC于点G．
（1）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME＝MG 是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）在满足第（2）问的条件下，已知AF＝3，FB＝，求AG与GM的比．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD切于点E，AD交⊙O于点F．（1）求证：∠ABE＝45°；
（2）连接CF，若CE＝2DE，求tan∠DFC的值．
21．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于
点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：CD＝AD+CE．
（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．
23．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，点M为劣弧BC上任意一点，且∠AMC＝60°．（1）若BC＝6，求△ABC的面积；
（2）若点D为AM上一点，且BD＝DM，判断线段MA、MB、MC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
24．如图，⊙O的直径AB为10cm，点E是圆内接△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点D （1）求AD的长；
（2）求DE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：D．
2．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∠BAD＝25°，
∴∠B＝65°．
∴∠C＝65°．
故选：B．
3．解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠C＝∠AOB＝50°，
故选：C．
4．解：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得，∠ACB＝AOB＝60°，
由圆内接四边形的性质得到，∠APB＝180°﹣∠ACB＝120°，故选：C．
5．解：连接OB，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝65°．
故选：D．
6．解：连接OE，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠DOE＝＝60°，
∴∠DAE＝∠DOE＝×60°＝30°，∠AED＝90°，
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝2OD＝12，
∴DE＝AD＝×12＝6，AE＝DE＝6，
∴△ADE的周长为6+12+6＝18+6，
故选：D．
7．解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1＝4（米），设正方形边长是x米，则
x2+x2＝42，
解得：x＝2，
所以正方形桌布的边长是2米．
故选：A．
8．解：连接OA，OD
∵OF⊥AD，
∴AC＝CD＝，
在Rt△OAC中，由tan∠AOC＝知，∠AOC＝60°，则∠DOA＝120°，OA＝2，
∴Rt△OAE中，∠AOE＝60°，OA＝2
∴AE＝2，S
阴影＝S
△OAE
﹣S
扇形OAF
＝×2×2﹣×π×22＝2﹣π，
故选：B．
9．解：取DE的中点O，过O作OG⊥AB于G，连接OC，又∵CO＝1.5，
∴只有C、O、G三点一线时G到圆心O的距离最小，∴此时OG达到最小．
∴MN达到最大．
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AC•BC＝AB•CF，
∴CF＝，
∴OG＝﹣＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝，
故选：C．
10．解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，O C＝x，OG＝y，
由勾股定理可知：，
②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22＝0，
∴（x+y）2﹣22＝（y+2）2﹣x2，
∴（x+y+2）（x+y﹣2）＝（y+2+x）（y+2﹣x），
∵x+y+2≠0，
∴x+y﹣2＝y+2﹣x，
∴x＝2，代入①得到r2＝10，代入②得到：10＝4+（x+y）2，∴（x+y）2＝6，
∵x+y＞0，
∴x+y＝，
∴y＝﹣2．
∴CG＝x+y＝，
∴正方形PCGQ的面积为6，
故选：B．
11．解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S
菱形ABCO
＝OB×AC＝×2×2＝2，
S
扇形AOC
＝＝，
则图中阴影部分面积为S
扇形AOC ﹣S
菱形ABCO
＝π﹣2，
故选：C．
12．解：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OD＝OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60°，∠ABC＝∠DOC＝60°，∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，AF＝2，
∴AD＝4，即AC＝8，
∴FB＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，
在Rt△BFG中，∠BFG＝30°，
∴BG＝3，
则根据勾股定理得：FG＝3．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
13．解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴OA＝AB，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AE＝BE，＝，
即OA＝2AE，
∴∠AOD＝30°，
∴和的度数是30°
∴∠BAD＝15°，
故答案为：15．
14．解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，
那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为4的正六边形外接圆半径是4．
故答案为4．
15．解：作AH⊥BC于H，连结OB，如图，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝4，AH必过圆心，即点O在AH上，
在Rt△OBH中，OB＝5，BH＝4，
∴OH＝＝3，
当点O在△ABC内部，如图1，AH＝AO+OH＝5+3＝8，当点O在△ABC内部，如图2，AH＝AO﹣OH＝5﹣3＝2，∴综上所述，点A到BC的距离为8或2，
故答案为：8或2．
16．解：连接DA、DC，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠ADB＝55°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝55°，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝70°，
由圆周角定理得，∠BDC＝∠BAC＝70°，
∴∠DBC＝20°，
故答案为：20．
17．解：如图，当O、C、P三点在一条直线上时，∵射线AD与扇形AOB所在⊙O相切，
∴∠OAP＝90°，
∵AO＝4，AP＝2，
∴＝2，
∴PC＝2﹣4，
过点O作OE⊥AB于点E，连接PE、PB，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴AE＝BE＝2，∠BAP＝60°，
∴AE＝AP，
∴△AEP是等边三角形，
∴∠AEP＝60°，
∴∠EPB＝30°，
∴∠APB＝90°，
∴＝＝6，∵点C不与A、B重合，
∴PC的取值范围是2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
18．（1）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠OBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ADO ＝∠C ＝90°，
∴OD ⊥AC ，
∴AC 为⊙O 切线；
（2）解：∵BE 为⊙O 的直径，
∴∠BDE ＝90°，
∴∠C ＝∠BDE ，
∵∠CBD ＝∠EBD ，
∴△CBD ∽△DBE ，
∴，
即＝，
∴BE ＝10，
∴⊙O 半径OB ＝5；
∴DE ＝6，
∵点F 为
的中点， ∴＝，
∴∠EDF ＝∠BDF ＝45°，
过B 作BM ⊥DF 于M ，过E 作EN ⊥DF 于N ，连接EF ，
∴BM ＝BD ＝4，EN ＝DE ＝3，EF ＝BE ＝5， ∴S 四边形BDEF ＝S △BEF +S △BDE ＝S △DEF +S △DBF ，
∴×5
×5+×6×8＝×3DF +×4DF ，
∴DF ＝7．
19．解：（1）ME ＝MG 成立，理由如下：
如图，连接EO，并延长交⊙O于N，连接BC；
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，即A C＝DE，∠N＝∠B；
∵ME是⊙O的切线，
∴∠MEG＝∠N＝∠B，
又∵∠B＝90°﹣∠GAF＝∠AGF＝∠MGE，
∴∠MEG＝∠MGE，故ME＝MG．
（2）由相交弦定理得：DF2＝AF•FB＝3×＝4，即DF＝2；
故DE＝AC＝2DF＝4；
∵∠FAG＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴，即，
解得AG＝，GC＝AC﹣AG＝；
设ME＝MG＝x，则MC＝x﹣，MA＝x+，
由切割线定理得：ME2＝MC•MA，即x2＝（x﹣）（x+），解得MG＝x＝；
∴AG：MG＝：＝10：3，即AG与GM的比为．
20．（1）证明：如图1，连接OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵DC是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝45°；
（2）解：如图2，连接OE，则OE⊥CD，
设DE＝x，则CE＝2x，
∴AB＝CD＝3x，
∴OA＝OE＝OB＝1.5x，
过D作DG⊥AB于G，
∴DG＝OE＝1.5x，OG＝DE＝x，
∴AG＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB＝90°，∠BCF＝∠DFC，
Rt△ADG中，BC＝AD＝＝＝，∵∠A＝∠A，∠AFB＝∠AGD＝90°，
∴△AGD∽△AFB，
∴，
∴＝，
∴BF＝，
Rt△BFC中，tan∠DFC＝tan∠BCF＝＝＝．
21．解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝5，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴＝，即＝，解得DE＝9．
故答案为：①60°；②9．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AD⊥OA，
∵AO是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线，
又∵DF是⊙O的切线，
∴AD＝DF，
同理可得CE＝CF，
∵CD＝DF+CF，
∴CD＝AD+CE．
（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
∵AD＝4CE，
∴设CE＝t，则AD＝4t，
∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，
∴在Rt△ABE中，AE＝＝4t，∴OA＝OE＝2t，
∵DA，DF是⊙O的两条切线，
∴∠ODA＝∠ODF，
∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，
∴AF⊥OD，
∴在Rt△OAD中，tan∠ODA＝，
∵∠OAD＝∠AMD＝90°，
∴∠EAF＝∠ODA，
∵，
∴∠EGF＝∠EAF，
∴∠ODA＝∠EGF，
∴tan∠EGF＝．
23．解：（1）∵∠ABC＝∠AMC＝60°，
而AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积＝BC2＝×36＝9；
（2）MA＝MB+MC，理由如下：
∵BD＝DM，∠AMB＝∠ACB＝60°，
∴△BDM为正三角形，
∴BD＝BM，
∵∠ABC＝∠DBM＝60°，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBM﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBM，
在△ABD与△CBM中，
，
∴△ABD≌△CBM（SAS），
∴AD＝CM，
∴MA＝MD+AD＝MB+MC．
24．解：（1）连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵点E是圆内接△ABC的内心，
∴CE平分∠ACB，
∴∠1＝45°，
∴∠DBA＝∠1＝45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝×10＝5；
（2）连接AE，如图，
∵点E是圆内接△ABC的内心，
∴∠2＝∠4，
∵∠1＝∠5，
∴∠3＝∠1+∠2＝∠5+∠4，即∠3＝∠DAE，
∴DE＝DA＝5．
人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题(1)
一、选择题(每题4分，共32分)
1．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是() A．点在圆内B．点在圆上
C．点在圆心上D．点在圆上或圆内
2．如图1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为()
图1
A．35°B．45°
C．55°D．65°
3．已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是()
A．18π cm2B．27π cm2
C．18 cm2D．27 cm2
4．一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A ．12 mm
B ．12 3 mm
C ．6 mm
D ．6 3 mm
5．如图2，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合，若BC ＝4，则图中阴影部分的面积是( )
图2
A ．2＋π
B ．2＋2π
C ．4＋π
D ．2＋4π
6．如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC ＝124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( )
图3
A ．56°
B ．62°
C ．68°
D ．78°
7．如图4，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )
图4
A ．6
B ．8
C ．5 2
D ．5 3
8．如图5，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ︵＝CD ︵＝DB ︵
，点E 是点D 关于
AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，有下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝1
2∠DOB ；
③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10.上述结论中正确的个数是( )
图5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题(每题5分，共35分)
9．已知正方形ABCD 的边长为1，以点A 为圆心，2为半径作⊙A ，则点C 在________(填“圆内”“圆外”或“圆上”)．
10．如图6所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．
图6
11.如图7，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，C 是AB ︵
上的一点，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为________．
图7
12．如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD 交BE 于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________．
图8
13．如图9，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长为________．
图9
14．如图10，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为________．
图10
15．如图11，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
图11
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是________．
三、解答题(共33分)
16．(10分)如图12，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
图12
17．(10分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，连接CE交并延长⊙O于点D.
(1)如图13①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图13②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图13
18．(13分)如图14，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝6 3，DE＝3.求：
(1)⊙O的半径；
(2)弦AC的长；
(3)阴影部分的面积．
图14
1．D 2.C 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．圆上
10.13
4 [11．110° 12．8 13．4π 14．π
15．(1)1 (2)1＜d ＜3
16．解：(1)∵A(0，6)，N(0，2)，∴AN ＝4. ∵∠ABN ＝30°，∠ANB ＝90°， ∴AB ＝2AN ＝8，
∴由勾股定理，得NB ＝AB 2－AN 2＝4 3，∴B(4 3，2)．
(2)证明：连接MC ，NC ，如图． ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN ＝90°， ∴∠NCB ＝90°.
在Rt △NCB 中，∵D 为NB 的中点， ∴CD ＝1
2NB ＝ND ，∴∠CND ＝∠NCD.
∵MC ＝MN ，∴∠MCN ＝∠MNC. 又∵∠MNC ＋∠CND ＝90°， ∴∠MCN ＋∠NCD ＝90°， 即MC ⊥CD.
∴直线CD 是⊙M 的切线．
17．解：(1)如图①，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，
即∠TAB＝90°.
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
(2)如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，
∴∠BAD＝∠BCD＝65°.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.
18．解：(1)∵半径OD⊥BC，∴CE＝BE.
∵BC＝6
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(9)
一．解答题
1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E
是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切．
（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．
4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB 于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．
8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．
10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN 交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中AC＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．
（1）求证：CD∥BM；
（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．
参考答案一．解答题
1．（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
3．（1）证明：如图1，连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，
∵AD＝AG，
∴∠D＝∠G，
∴∠OED＝∠G，
∴OE∥AG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝90°，
∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，
∴CH＝，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴，
在Rt△OHC中，
OC＝＝＝4，
∵OA＝AC＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
＝＝．
∴S
扇形OAC
4．（Ⅰ）证明：连OD，如图，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC．
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3．
∴∠1＝∠2，
即AD平分∠BAC；
（Ⅱ）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，即．
解得AC＝．
5．（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），
∴BC＝BH；
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，
设OE＝r，则OA＝5﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，解得r＝，
∴AO＝5﹣r＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
6．（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，∴AB•AE＝k，
如图2，连接DB，
∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE+∠EDO＝90°，∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠ADE＝∠EBD，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AE•AB，
∵，
∴，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴x
1＝3，x
2
＝1，
∴AE＝1，AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
∴⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，∴，
解得：x ＝
．
∴． 7．（1）证明：连接OD ，如图所示．：
在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心，
∴DO ＝AO ＝EO ＝AE ，
∴点D 在⊙O 上，且∠DAO ＝∠ADO ．
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠CAD ＝∠DAO ，
∴∠ADO ＝∠CAD ，
∴AC ∥DO ，
∵∠C ＝90°，
∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC ，
∵OD 为半径，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵⊙O 的直径为4，
∴AE ＝4，DO ＝AO ＝EO ＝AE ＝2，
∵∠ABC ＝30°，
∴∠CAD ＝∠DAO ＝30°，
∴CD ＝AD ，DE ＝AE ＝2，AD ＝
＝＝2， ∴CD ＝，AC ＝
＝＝3， ∵tan ∠ABC ＝
， ∴BC ＝＝＝3，
∴阴影部分面积＝S △ABC ﹣S 梯形ODCA ﹣S 扇形ODE ＝AC •BC ﹣（OD +AC ）•CD ﹣＝×3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣．
8．（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC切⊙O于点A
∴CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABD＝90°，
而∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠DAB＝∠BED，
∴∠C＝∠BED；
（2）解：连接OD，如图，
∵∠BED＝∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠BED＝100°，
∴的长度＝＝．
9．（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵EC⊥AO，
∴∠ACE＝90°，
∴∠A+∠AEC＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBA+∠DBE＝90°，
∴∠AEC＝∠DBE，
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接OE，
∵OA＝OB，E是AB的中点，
∴∠OEB＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°，
∴BE＝DE＝，
∴OB＝＝＝2．
10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝60°
∵∠ABD＝30°，
∴∠ODB＝90°
∴OD⊥BD．
∵点D为⊙O上一点，
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°．
∵OA＝5，
∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．11．（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BA C＝30°，
∴BD＝AB＝＝4．
12．（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴，
∴FN＝．
13．（1）证明：∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM，
∵AC＝AD，
∴＝，
∴AB⊥CD，
∴CD∥BM；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AE，
∵AB⊥BE，
∴AB2＝AD•AE，
∴（4）2＝AD（AD+2），
∴AD＝8（负值舍去），
∴AE＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴OE＝＝2，
∵DF⊥AB，BE⊥AB，
∴DF∥BE，
∴＝，
∴＝，。