新华师大版八年级上册初中数学 类型二 公式法 教学课件
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在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为m 2 － n 2. (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2 = [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ]
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等 于这两个数的和（或差）的平方.
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式
(1) 完全平方公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式； (2) 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式； (3) 因式分解中的完全平方公式与整式乘法中的完全平方公式 的区别是等号两边的内容相反.
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项， 并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两 项乘积的二倍，符号不限．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式 的多项式因式分解.
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式 定义：我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
符合两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍这个
特点的式子就是完全平方式.
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式 探究 a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =完全平方式？为什么？
（1） 1+4a2
不是
（2） 4b2+4b+1 是，(2b+1)2
（3） a2+ab+b2；不是
（4） a2-4a+4 ．是，(a-2)2
新课讲解
知识点1 用完全平方公式分解因式
完全平方公式：把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(ab)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2.
新课导入
思 考 a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
上面多项式有什么特点？ 可以化为两个数的和或差的平方的形式. 能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？ 不能.没有公因式也不符合平方差公式.
新课导入
思考
a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
能用完全平方公式来解决这个问题吗？
a2+b2+2ab= (a+b)2 a2+b2-2ab= (a-b)2
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式 完全平方公式的特点：
(1) 等号左边是二次三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平 方，中间一项是这两个数（或者两个式子）的积的2倍，符号正负都可以； (2) 等号的右边是这两个数（或两个式子）的平方，当等号左边中间的乘积 项与首尾两项符号相同时，等号右边是两数和的平方；当等号左边中间的乘 积项与首尾两项符号相反时，等号右边是两数差的平方.
新课讲解
练一练 1 分解因式： (1)4x2 － 9;
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
分析：在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =(2 x) 2 －3 2 ， 即可用平方 差公式分解因式；
(1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
分析：“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
新课讲解
练一练 3 分解因式： (1) x4-y4；
分析：对于(1)，x4-y4=( x2 )2-( y2)2，可用平方差公式来分解因式； 解:（1） x4 -y4
=（x2+y2）（x2 -y2） 分解完全了吗？ =（x 2 +y 2）（x+y）（x-y）
新课导入
思考
计算下列式子： (1) (3a+2)(3a-2)= 9a2-4 ; (2) 9a2-4= (3a+2)(3a-2) ;
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式
定义：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘 法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b).
第十二章 整式的乘除2
12.5 因式分解 专题1 因式分解的常用方法
类型二 公式法
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解并掌握公式法分解因式的运算法则.（重点） 2.熟练运用公式法分解因式的运算法则进行实际的计算.( 难点）
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可 以是多项式.
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘积，等于 这两个数的平方差 .
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的乘积.
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式 平方差公式的特点： (1)等号的左边是一个二项式，两项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和， 另一个二项式是这两个数的差. 运用平方差公式的注意事项： (1)只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式； (2)运用平方差公式分解因式的前提条件是多项式可以写成两个数（两个 式子）的平方差的形式.
新课讲解
练一练 2 分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
解析：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公式分解因式； 对于(2)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； 对于(3)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)； (2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)； (3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等 于这两个数的和（或差）的平方.
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式
(1) 完全平方公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式； (2) 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式； (3) 因式分解中的完全平方公式与整式乘法中的完全平方公式 的区别是等号两边的内容相反.
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项， 并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两 项乘积的二倍，符号不限．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式 的多项式因式分解.
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式 定义：我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
符合两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍这个
特点的式子就是完全平方式.
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式 探究 a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =完全平方式？为什么？
（1） 1+4a2
不是
（2） 4b2+4b+1 是，(2b+1)2
（3） a2+ab+b2；不是
（4） a2-4a+4 ．是，(a-2)2
新课讲解
知识点1 用完全平方公式分解因式
完全平方公式：把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(ab)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2.
新课导入
思 考 a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
上面多项式有什么特点？ 可以化为两个数的和或差的平方的形式. 能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？ 不能.没有公因式也不符合平方差公式.
新课导入
思考
a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
能用完全平方公式来解决这个问题吗？
a2+b2+2ab= (a+b)2 a2+b2-2ab= (a-b)2
新课讲解
知识点2 用完全平方公式分解因式 完全平方公式的特点：
(1) 等号左边是二次三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平 方，中间一项是这两个数（或者两个式子）的积的2倍，符号正负都可以； (2) 等号的右边是这两个数（或两个式子）的平方，当等号左边中间的乘积 项与首尾两项符号相同时，等号右边是两数和的平方；当等号左边中间的乘 积项与首尾两项符号相反时，等号右边是两数差的平方.
新课讲解
练一练 1 分解因式： (1)4x2 － 9;
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
分析：在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =(2 x) 2 －3 2 ， 即可用平方 差公式分解因式；
(1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
分析：“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
新课讲解
练一练 3 分解因式： (1) x4-y4；
分析：对于(1)，x4-y4=( x2 )2-( y2)2，可用平方差公式来分解因式； 解:（1） x4 -y4
=（x2+y2）（x2 -y2） 分解完全了吗？ =（x 2 +y 2）（x+y）（x-y）
新课导入
思考
计算下列式子： (1) (3a+2)(3a-2)= 9a2-4 ; (2) 9a2-4= (3a+2)(3a-2) ;
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式
定义：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘 法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b).
第十二章 整式的乘除2
12.5 因式分解 专题1 因式分解的常用方法
类型二 公式法
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解并掌握公式法分解因式的运算法则.（重点） 2.熟练运用公式法分解因式的运算法则进行实际的计算.( 难点）
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可 以是多项式.
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘积，等于 这两个数的平方差 .
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的乘积.
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式 平方差公式的特点： (1)等号的左边是一个二项式，两项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和， 另一个二项式是这两个数的差. 运用平方差公式的注意事项： (1)只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式； (2)运用平方差公式分解因式的前提条件是多项式可以写成两个数（两个 式子）的平方差的形式.
新课讲解
练一练 2 分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
解析：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公式分解因式； 对于(2)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； 对于(3)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)； (2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)； (3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；