2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
3．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（）
A．x＝3B．x＝﹣3
C．x1＝3，x2＝﹣3D．x＝9
4．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
5．（3分）圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（）
A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．20πcm2
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）
A．90°B．100°C．110°D．120°
7．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O 的半径为（）
A．2√3B．3C．4D．4−√3
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（）
A．①②③B．②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）方程x2＝x的解是．
10．（3分）四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝度．
11．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则该扇形的弧长为cm（结果保留π）．12．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是．
13．（3分）抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是．
15．（3分）如图，半径为4的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
17．（10分）解方程：（1）2x2+1＝3x．
（2）3（y﹣1）2＝1﹣y．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径．
19．（10分）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线P A，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP＝cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP＝cm时，四边形AOBP是正方形．
20．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
21．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；
若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．（3分）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
【分析】OP＝5，A为线段PO的中点，则OA＝2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
【解答】解：∵OA=1
2
OP＝2.5，⊙O的半径为3，
∴OA＜⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
故选：A．
3．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（）A．x＝3B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3D．x＝9【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故选：C．
4．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
5．（3分）圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（）
A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．20πcm2
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥侧面积．
【解答】解：根据题意得圆锥侧面积=1
2
×2π×3×4＝12π（cm2）．
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数．
【解答】解：连接AD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ADE＝∠ACE＝20°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，
故选：C．
7．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O 的半径为（）
A．2√3B．3C．4D．4−√3
【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC
＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO=1
2
∠BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可
得到结论．
【解答】解：设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，
∵等边三角形ABC的边长为8，
∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，
∵圆分别与边AB，AC相切，
∴∠BAO＝∠CAO=1
2
∠BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
∴OC=1
2
AC＝4，
∵OE⊥AC，
∴OE=√3
2
OC＝2√3，
故选：A．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（）
A．①②③B．②③C．①②④D．①②③④
【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴−
b
2a
=−1，∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，∴②正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
从图象可知，当x ＝2时y ＞0，
即4a +2b +c ＞0，∴③错误；
∵（﹣5，y 1）关于直线x ＝﹣1的对称点的坐标是（3，y 1），
又∵当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而增大，3＜5，
∴y 1＞y 2，∴④正确；
即正确的有3个①②④．
故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）方程x 2＝x 的解是 x 1＝0，x 2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x 2＝x ，
移项得：x 2﹣x ＝0，
分解因式得：x （x ﹣1）＝0，
可得x ＝0或x ﹣1＝0，
解得：x 1＝0，x 2＝1．
故答案为：x 1＝0，x 2＝1
10．（3分）四边形ABCD 内接于圆，若∠A ＝110°，则∠C ＝ 70 度．
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠A +∠C ＝180°，
∵∠A ＝110°，
∴∠C ＝70°，
故答案为：70．
11．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm ，则该扇形的弧长为 4π cm （结果保留π）．
【分析】利用弧长公式：l =nπr 180求出即可．
【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm ，
∴扇形的弧长是：
120×π×6180=4π（cm ）．
故答案为：4π．
12．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是﹣2．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2的值．
【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=−b
a
=−2．
故答案为：﹣2．
13．（3分）抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是y＝（x﹣1）2．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是2√7．
【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．
【解答】解：连接OC，
由题意，得
OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
CE＝ED=√OC2−OE2=√7，
CD＝2CE＝2√7，
故答案为2√7．
15．（3分）如图，半径为4的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为4√3．
【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D＝A′A，再根据∠B′A′C′＝60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′＝AD，且∠DAA′＝60°，由∠OAA′﹣∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义求出AE的长，由AD＝2AE可求出AD的长，即为平移的距离．
【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，
∵平移前圆O与AC相切于A点，
∴OA⊥A′C，即∠OAA′＝90°，
∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，
即A′D与A′A为圆O的两条切线，
∴A′D＝A′A，又∠B′A′C′＝60°，
∴△A′AD为等边三角形，
∴∠DAA′＝60°，AD＝AA′＝A′D，
∴∠OAE＝∠OAA′﹣∠DAA′＝30°，
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，AO＝4，
∴AE＝AO•cos30°＝2√3，
∴AD＝2AE＝4√3，
∴AA′＝4√3，
则该直角三角板平移的距离为4√3．
故答案为：4√3．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为√2−1．
【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．
【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED=2×√2
2
=√2，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为√2−1．
故答案为：√2−1．
三、解答题（本大题共5小题，共52分）17．（10分）解方程：（1）2x2+1＝3x．（2）3（y﹣1）2＝1﹣y．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）2x2+1＝3x．2x2﹣3x+1＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2=1 2．
（2）3（y﹣1）2＝1﹣y，3（y﹣1）2+（y﹣1）＝0．（y﹣1）（3y﹣3+1）＝0，∴y﹣1＝0或3y﹣3+1＝0，
∴y1＝1，y2=2 3．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径．
【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点P，以P为圆心，PC为半径作⊙P即可．
（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB＝3﹣R，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB＝3﹣R，
在Rt △ABC 中，AB =√32+42=5，
∵⊙P 与AC 、AB 都相切，
∴AD ＝AC ＝4，
∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1，
在Rt △PBD 中，∵PD 2+BD 2＝PB 2，
∴R 2+12＝（3﹣R ）2解得：R =43，
答：⊙P 的半径为43． 19．（10分）如图，CD 是⊙O 的直径，且CD ＝2cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线P A ，PB ，切点分别为点A ，B ．
（1）连接AC ，若∠APO ＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP ＝ 1 cm 时，四边形AOBD 是菱形；
②当DP ＝ √2−1 cm 时，四边形AOBP 是正方形．
【分析】（1）利用切线的性质可得OC ⊥PC ．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP ＝30°，从而求得．
（2）①要使四边形AOBD 是菱形，则OA ＝AD ＝OD ，所以∠AOP ＝60°，所以OP ＝2OA ，DP ＝OD ． ②要使四边形AOBP 是正方形，则必须∠AOP ＝45°，OA ＝P A ＝1，则OP =√2，所以DP ＝OP ﹣1．
【解答】解：（1）连接OA ，AC
∵P A 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥P A ，
在Rt △AOP 中，∠AOP ＝90°﹣∠APO ＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACP ＝30°，
∵∠APO ＝30°
∴∠ACP＝∠APO，
∴AC＝AP，
∴△ACP是等腰三角形．
（2）
①DP＝1，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA＝AD＝OD，
∴∠AOP＝60°，
∴OP＝2OA，DP＝OD．
∴DP＝1（cm），
②DP=√2−1，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝P A＝1，OP=√2，
∴DP＝OP﹣1
∴DP＝（√2−1）（cm）．
20．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x
件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到x 的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
21．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积
再作比即可．因为S△BCM＝S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=1
2
•AB•OC，则结论易得．
（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离＝OC＝3，又（1）得抛物线解析式，即得P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4）．
（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，
∵S△BCM＝S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC
=1
2
•（3+4）•1+
1
2
•2×4−
1
2
•3•3
=7
2
+
8
2
−
9
2
=3
S△ABC=1
2
•AB•OC=
1
2
•4•3＝6，
∴S△BCM：S△ABC＝3：6＝1：2．
（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，
∵四边形ACQP为平行四边形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ＝OC＝3，
∴﹣3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝2或x＝0（与C点重合，舍去），
∴P（1，0）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，
∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ＝OC＝3，
∴3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1+√7或x＝1−√7，
∴P（2−√7，0）或（√7，0）．
综上所述，P点为（1，0）或（2−√7，0）或（√7，0）．。