山东省平阴县高二数学3月月考试题 理

山东省平阴县2016-2017学年高二数学3月月考试题 理
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1.函数2
x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2
+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）
A.2米/秒
B.3米/秒
C. 4米/秒
D. 5米/秒 3.曲线ｙ＝－
313
x －2在点（－1，3
5-）处的切线的倾斜角为（ ） A.30º B.45º C.135º D.150º
4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
5. 函数2
()1
x f x x =-（ ）
A ．在(0,2)上单调递减
B ．在(0,2)上单调递增
C ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增
D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减
6.已知a>0，函数ｙ＝3
x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A.0 B. 1 C.2 D.3
7.如图是导函数/
()y f x =的图象，那么函数()y f x =在 下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x
8.观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=， 93431⨯+=，…，猜想第*
()n n ∈N 个等式应为（ ） A ．9(1)109n n n -+=- B ．9(1)109n n n ++=+ C ．9(1)101n n n +-=-
D ．9(1)(1)1010n n n -+-=-
9.P 是曲线x x y ln 2
-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）
A.１
B. ２ D.10.某个命题与正整数有关，若当()
*n k k N =∈时该命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知当5n =时该命题不成立，那么可推得( ) A.当6n =时，该命题不成立 B.当6n =时，该命题成立 C.当4n =时，该命题成立 D.当4n =时，该命题不成立
11.平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）
A a
B
C
D 12.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ） A.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0 B.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0
C.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0
D.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.函数13)(3
+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为 . 14.由曲线2
y x =与2
x y =所围成的曲边形的面积为________________ . 15.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
a与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数
n
.
16.物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是/m s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。

则它
们相遇时，A 物体的运动路程为 .
三、解答题：本大题共6个小题，满分70分。

解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17．（本小题满分10分）
已知复数2
2
(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时， （1）z 为实数？z 为纯虚数？ （2）A 位于第三象限？
18.（本小题满分12分）
（1）计算定积分
3
4
|2|x dx -+⎰
（2）求由曲线2
2y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积
19.（本小题满分12分）已知二次函数2
()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行． (1）求()f x 的解析式；
(2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间及极值。

20. （本小题满分12分）如图，设P 是圆22
25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M
为P D 上一点，且4
5
MD PD =
（1）当P 的在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度。

21.（本小题满分12分）若),,3,2,1(0n i x i =>，观察下列不等式：
4)11)(
(2121≥++x x x x ，9)111)((3
21321≥++++x x x x x x ，…，请你猜测)1
11)(
(2121n
n x x x x x x ++++++ 将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

22.（本小题满分12分）已知函数2
1()eln ,()ln 1,()2
f x x
g x x x
h x x ==--=. （1）求函数()g x 的极大值.
（2）求证：存在0(1,)x ∈+∞，使01()()2
g x g =；
（3）对于函数()f x 与()h x 定义域内的任意实数x ，若存在常数k,b,使得()f x kx b ≤+和
()h x kx b ≥+都成立，则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的分界线.试探究函数()f x 与()h x 是
否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k ,b 的值；若不存在，请说明理由.
平阴一中2015级高二下学期第一次检测数学答题纸、
2015级高二下学期第一次检测测试答案
一、选择BDCBC DBACD BA
二、填空13：17,3- 14、13
15、12+=n a n 16、答案：m 72；提示，设运动ts 时两物体
相遇，那么405)81()12(0
=++-⎰⎰dt t dt t t
t
得9=t ，由于72)12(9
=-⎰
dt t ，得相遇时A 物体运动
m 72；
三、解答
17.解：（1）当2
918m m -+＝0即m ＝3或m ＝6时，z 为实数； …………………………3分 当2
8150m m -+=，2
9180m m -+≠即m ＝5时，z 为纯虚数.…… ……………6分
（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩
即3536m m <<⎧⎨<<⎩即3<m<5时，对应点在第三象限. ……………10分
.18、解：(1)
3
4
|2|x dx -+⎰
=23
4
2
22x dx x dx ----+++⎰⎰（）（）
=22
41(2)|2
x x ---+ +23
21(2)|2
x x -+=
292
(2) 1
2
220
1
(23)(32)1S x x dx x x dx =+-+--=⎰
⎰
19、(1)由
,可得.
由题设可得 即
解得
,
.所以
. (2)由题意得, 所以
.令
,得113
x =
,.
所以函数的单调递增区间为,.
在
有极小值为0。

在11
3
x =
有极大值4/27。

20：（Ⅰ）设M 的坐标为(,),x y P ，P 的坐标为(,),p p x y
由已知得,
5
,4
p p x x y y =⎧⎪
⎨=⎪
⎩P 在圆上，2
2
5()25,4
x y ∴+=即C 的方程为2212516x y +
= （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线方程为4(3)5y x =-，设直线与C 的交点为
22(,),(,)A x y B x y ，将直线方程4
(3)5
y x =-代入C 的方程，得22(3)12525x x -+=，
即2
380x x +-=。

123322
x x +∴=
= ∴线段AB
的长度为AB ==
41
5
== 21解：将满足的不等式为)2()1
11)(
(22121≥≥++++++n n x x x x x x n
n ， 证明如下：0
1当2=n 时，结论成立；
02假设k n =时，结论成立，即22121)1
11)(
(k x x x x x x k
k ≥++++++ 那么，当1+=k n 时，=++++++++++)1111)(
(1
21121k k k k x x x x x x x x )111)(
(2121k k x x x x x x ++++++ +⋅+++++1211)(k k x x x x +++2
111
1(x x x k 2221212)1(121)1
11)((21)1+=++≥++++++++≥++
k k k x x x x x x k x k
k k 显然，当1+=k n 时，结论成立。

由01、0
2知对于大于2的整数n ，22121)111)(
(n x x x x x x n
n ≥++++++ 成立。

22．解：（Ⅰ）11()1(0).x
g x x x x
-'=-=＞令()0,g x '＞解得01;x ＜＜ 令()0,g x '＜解得1x ＞.……
（1分）
∴函数()g x 在（0,1）内单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以()g x 的极大值为(1) 2.g =-……（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()g x 在（0,1）内单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 令1()()()2x g x g ϕ=-，∴1(1)(1)()0,2
g g ϕ=-＞………………（4分）
取e 1,x '=＞则1
11(e)(e)()ln e (e 1)ln (1)2
22g g ϕ=-=-+-++3
e ln 20.2
=-++＜ 故存在0(1,e),x ∈使0()0,x ϕ=即存在0(1,),x ∈+∞使01
()().2
g x g =………………（6分）
（说明：x '的取法不唯一，只要满足1,x '＞且()0x ϕ'＜即可）
（Ⅱ）设2
1()()()eln (0)2
F x h x f x x x x =-=-＞，则2e e ()x F x x x x -'=-==
则当0x ＜()0F x '＜，函数()F x 单调递减；当x 时，()0F x '＞，函数()F x 单调递增.
∴x =
()F x 的极小值点，也是最小值点, ∴min ()0.F x F ==
∴函数()f x 与()h x 的图象在x =
1
e 2
）.………（8分）
设()f x 与()h x 存在“分界线”且方程为1e (2y k x -=-，令函数1
()e 2
u x kx =+-
①由()h x ≥()u x ，即2
2e 20x kx --+在x ∈R 上恒成立，
∴2=44(e 20k ∆--+≤，即2
4(0k -≤
，∴k =1
() e.2
u x =-………（9分）
②下面说明：()()f x u x ≤，即1eln e(0)2x x -＞恒成立.设1
()eln e 2
V x x =+,
则e ()V x x '=
-=，∵当0x ＜()0V x '＞,函数()V x 单调递增，
当x 时，()0V x '＜,函数()V x 单调递减，∴当x =
时，()V x 取得最大值0，
max ()()0V x V x =≤.∴1eln e(0)2x x -＞成立.综合①②知1
()e,2
h x -且
1
()e,2
f x -
故函数()f x 与()h x 存在“分界线”1e 2y =-，此时1
e.2
k b ==-……（12分）。