北师大版八年级数学上册 分式解答题单元测试卷(解析版)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20
天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2
3
，公司需付甲工厂加工费用为
每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．
【解析】
【分析】
（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】
（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则：解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天
需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方
案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
2．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?
【答案】规定期限20天；方案（3）最节省
【解析】
【分析】
设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】
解：设规定期限x 天完成，则有：
415
x x x +=+， 解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
3．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a 、m 的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20
ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241
n n n --小时． 【解析】
【分析】
（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意
得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：
20m n +，乙的工作效率为：200.5
m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】
解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨， 根据题意可得：
100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，
检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x ＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨， 根据题意得：
20m m y y a +=+ 解得；y ＝20
ma ， 经检验：y ＝20
ma 是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是:
202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020
ma a +； （3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5
n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241
n n n --小时． 【点睛】
本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.
4．已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当1a =，1b =，2c =时，求
1111x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求
111111
x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1
【解析】
【分析】 （1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.
【详解】
（1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab
+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=
-⨯ 1211111=122
y ⨯+⨯∴-=-⨯ 1111=411
1122
x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=
+=， 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=
+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab
++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠，
∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac
+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac
+=
+ =1.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.
5．某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1)B型商品的进价为120元， A型商品的进价为150元;(2)5500元.
【解析】
分析：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.
详解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意： =×2，
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∵﹣10＜0，
∴m=50时，w有最小值=5500（元）
点睛：此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.
6．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
(1)扶梯在外面的部分有多少级.
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?
【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级
【解析】
【试题分析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程，有：
2727,21818.s x y s x
y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有
()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且
01m n ≤-≤，经试验知只有13,26
m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：132********
⨯+⨯=(级).
【试题解析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有 2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
① 把方程组①中的两式相除,得
327418
s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有 ()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231
m n m n --+=+,即616n m +=.
无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n中必有一个为正整数，且
01
m n
≤-≤，经试验知只有
1
3,2
6
m n
==符合要求.
这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：
1
327254198
6
⨯+⨯=(级).
7．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由.【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元
【解析】
【分析】
（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；
（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．
【详解】
解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，
则乙队单独完成这项工程需要2x天，
根据题意，得611
161 x x2x
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
，
解得x＝30
经检验，x＝30是原方程的根，
则2x＝2×30＝60
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有
11
y1
3060
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
解得y＝20
需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）
∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
8．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克；
（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．
【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．【解析】
【分析】
（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（1000÷第一次购进水果的重量 +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．
（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．
【详解】
解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，
（1000
x
+2）×2x=2400
整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．
经检验，x=100是原方程的解．
答：该商店第一次购进水果100千克．
（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950
整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．
答：每千克水果的标价至少是15元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
9．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；
（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
【解析】
【分析】
关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】
解：设规定日期为x 天．由题意得
66611212
x x x x -++=++， ∴6112
x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，
∴12x =；
经检验：x=12是原方程的根．
方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；
方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；
方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．
∵28.8＞26.4，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
10．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？
（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．
【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台
【解析】
【分析】
（1）可设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可； （2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n 的范围，即可确定出购买方案；
（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．
【详解】
解：（1）设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有
20x ＝400.3x ×2， 解得x ＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；
（2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，依题意有
0.10.4(50)1031s
n n n +-⎧⎨⎩， 解得31≤n≤3313
， ∵n 为整数，
∴n 取31，32，33，
∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；
（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合题意，舍去；
②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合题意；
③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．。