北京第三十五中学八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典测试(培优提高)

一、选择题
1．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm B
解析：B
【分析】 过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，
∵AB ∥CD ，
∴MN ⊥CD ，
∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，
∴OM ＝OE ＝3cm ，
∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，
∴ON ＝OE ＝3cm ，
∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，
即AB 与CD 之间的距离是6cm ，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
2．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作
AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对C
解析：C
【分析】 根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠，由BE DF =得到BF=DE ，由此证明
△ADE ≌△CBF ，得到AE=CF ，AD=CB ，由此证得△ABE ≌△CDF ，得到AB=CD ，由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.
【详解】
解：∵AD //BC ，
∴ADB CBD ∠=∠，
BE DF =，
BF DE ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
AED CFB ∠∠∴=90=，
()ADE CBF ASA ∴≅，
AE CF ∴=，AD CB =，
∵∠AEB=∠CFD 90=，BE=DF ，
()ABE CDF SAS ∴≅，
AB CD ∴=，
BD DB =，AB=CD ，AD CB =，
()ABD CDB SSS ∴≅,
则图中全等的三角形有：3对，
故选:C .
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.
3．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．SSA
D ．AAS D
解析：D
【分析】 求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．
【详解】
解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP 平分∠BAF ，
∴∠DAP=∠EAP ，
在△APD 和△APE 中
DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△APE （AAS ），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
4．下列说法正确的是（ ）
①近似数232.610⨯精确到十分位；
②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；
③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4B
解析：B
【分析】
根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．
【详解】
①近似数232.610⨯精确到十位，故本小题错误； ②2，()22--=，382-=-，22--=-，最小的是38-，故本小题正确； ③在数轴上点P 所表示的数为110-+，故本小题错误；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
【点睛】
本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键．
5．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）
A ．AE=CE ；SAS
B ．DE=BE ；SAS
C ．∠D=∠B ；AAS
D ．∠A=∠C ；ASA C
解析：C
【分析】 根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．
【详解】
解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；
D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
6．下列说法正确的是（ ）
A ．两个长方形是全等图形
B ．形状相同的两个三角形全等
C ．两个全等图形面积一定相等
D ．所有的等边三角形都是全等三角形C 解析：C
【分析】
性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
【详解】
A 、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B 、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C 、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D 、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C ．
【点睛】
此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
7．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）
A ．BC ED =
B ．A F ∠=∠
C ．B E ∠=∠
D ．//AB EF C
解析：C
【分析】 由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．
【详解】
∵AD FC =，
∴AC=FD ，
∵AB FE =，
∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，
故选：C ．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解
题的关键．
8．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．
A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5D
解析：D
【分析】
设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB=∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP=BP，AC=BQ，
则1×t=4-1×t，则3=2x，
解得：t=2，x=1.5；
②AP=BQ，AC=BP，
则1×t=tx，4-1×t=3，
解得：t=1，x=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．
9．下列命题，真命题是（）
A．全等三角形的面积相等
B．面积相等的两个三角形全等
C．两个角对应相等的两个三角形全等
D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A
解析：A
【分析】
根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；
D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 10．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）
A ．BC DE =
B ．BAE DA
C ∠=∠ C ．OC OE =
D ．EAC ABC ∠=∠ D
解析：D
【分析】 根据HL 定理分别证明Rt △ABC ≌Rt △ADE 和Rt △AEO ≌Rt △ACO ，根据全等三角形的性质可判断各选项．
【详解】
解：解：∵90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，
∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）
∴BC DE =，∠BAC=∠DAE ，
故A 选项正确；
∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC ，即BAE DAC ∠=∠，
故B 选项正确；
连接AO ，
∵AE=AC ，AO=AO ，
∴Rt △AEO ≌Rt △ACO （HL ），
∴OC OE =，故C 选项正确；
无法得出EAC ABC ∠=∠，故D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
本题全等三角形的性质与判断．掌握证明直角三角形全等的HL 定理是解题关键．
二、填空题
11．如图，AC=BC ，请你添加一个条件，使AE=BD ．你添加的条件是：________．
∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等
三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC ∠C=∠C 所以添加∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 可得△ADC 与△
解析：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC 等
【分析】
根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】
解：因为AC=BC ，∠C=∠C ，所以添加∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ，可得△ADC 与△BEC 全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE ，
故答案为：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，已知四边形
,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，
180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．
21【分析】如图作DHBA 交BA 的延长线于H 作DFBC
的延长线于F 作DEAC 于E 首先证明利用面积法求出DE 即可解决问题【详解】解：作DHBA 交BA 的延长线于H 作DFBC 的延长线于F 作DEAC 于E 设则 解析：21
【分析】
如图，作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作DF ⊥BC 的延长线于F ，作DE ⊥AC 于E ，首先证明DH DE DF ==，利用面积法求出DE ，即可解决问题．
【详解】
解：作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作DF ⊥BC 的延长线于F ，作DE ⊥AC 于E ，
180,180BAD CAD BAD DAH ∠+∠=︒∠+∠=︒，
CAD DAH ∴∠=∠，
180,180BCD ACD BCD DCF ∠+∠=︒∠+∠=︒，
ACD DCF ∴∠=∠，
,,DH BH DE AC DF BF ⊥⊥⊥，
DH DE DF ∴==，
设DH DE DF x ===， 则有：11112222
AB DH BC DF AB BC AC DE ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴34125x x x +=+，
6x ∴=，
∴S 四边形ABCD=
11113456212222AB CB AC DE ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=． 故答案为：21．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．
13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角
平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】
解析：13
【分析】
过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．
【详解】
解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：
∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，
∴∠N=∠CMB=90°，
∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，
∴B CDN ∠=∠，
∵AC 平分DAB ∠，
∴CN=CM ，
∴△CDN ≌△CBM ，
∴DN=BM ，CD=CB=2.5，
∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，
∴△ACN ≌△ACM （HL ），
∴AN=AM=4，
∴AD=4-DN ，
∴AB=4+BM=4+DN ，
∴四边形ABCD 的周长为：
4 2.
5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．
14．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．
50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 先
证明∠CBE=∠ACD 从而证明∆ACD ≅
∆CBE 进而即可求解【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ∵BE ⊥CE ∴∠BEC=∠CDA=90°
解析：50
【分析】
过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，先证明∠CBE=∠ACD ，从而证明∆ ACD ≅
∆ CBE ，进而即可求解．
【详解】
过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，
∵BE ⊥CE ，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD ，
在∆ ACD 与∆ CBE 中，
∵CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴∆ ACD ≅∆ CBE （AAS ），
∴BE=CD=10，
∴BCD ∆的面积=12CD∙BE=12×10×10=50， 故答案是50．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键．
15．如图，ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是10、15、20，三条角平分线交于O 点，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．
【分析】由角平分线的性质可得点O 到三角形三边
的距离相等即三个三角形的ABBCCA 上的高相等利用面积公式即可求解【详解】解：过点O 作OD ⊥AC 于DOE ⊥AB 于EOF ⊥BC 于F ∵O 是三角形三条角平分线的
解析：2:3:4
【分析】
由角平分线的性质可得，点O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】
解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，
∴OD ＝OE ＝OF ．
∵AB ＝10，BC ＝15，CA ＝20，
∴::ABO BCO CAO S S S ＝(12•AB•OE )：(12•BC•OF )：(12
•CA•OD )＝::AB BC CA ＝2:3:4．
故答案为：2:3:4．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理和三角形面积的计算方法是解题的关键．
16．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．
ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：
由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判
解析：ASA
【分析】
根据全等三角形的判断方法解答．
【详解】
解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．
24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理
可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB
解析：24
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，
∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，
∴DE=CD=4，
∴ABD △ 的面积为
12AB·DE=12
×12×4=24． 故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．
18．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．
15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于
MEN ⊥AD 于NEF ⊥BC 于H 如图先计算出∠EAM=75°则AE 平分∠EAD 根据角平分线的性质得EM=EN 再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH 则EN=EH 于是根据角平分
解析：15
【分析】
过点E 作EM ⊥AC 于M ，EN ⊥AD 于N ，EF ⊥BC 于H ，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE 平分∠EAD ，根据角平分线的性质得EM=EN ，再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH ，则EN=EH ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE 平分∠ADB ，则∠1=12∠ADB ，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+
12∠ACB ，∠ADB=∠DAC+∠ACB ，所以∠DEC==12
∠DAC=15°． 【详解】
解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图．
∵ 30DAC ∠=，75DAB ∠=，∴ 75EAM ∠=，∴ AE 平分MAD ∠，∴ EM EN =．
∵ CE 平分ACB ∠，∴ EM EH =，∴ EN EH =，∴ DE 平分ADB ∠，∴
112
ADB ∠=∠． ∵ 12DEC ∠=∠+∠，而122ACB ∠=∠，∴ 112
DEC ACB ∠=∠+∠，而ADB DAC ACB ∠=∠+∠，
∴ 11301522
DEC DAC ∠=∠=⨯= ．故答案为：15．
【点睛】
本题考查了平分线的性质和三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．
19．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．
3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到
∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得
△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A
解析：3
【分析】
由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD ，
在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；
∴BE=CD ，CE=AD=9．
∵DC=CE-DE ，DE=6，
∴DC=9-6=3，
∴BE=3．
故答案为：3
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．如图，在直角坐标系中，AD 是Rt △OAB 的角平分线，已知点D 的坐标是（0，-3），AB 的长为12，则△ABD 的面积是_____
18【分析】过点D作DE⊥AB于点E由角平分
线的性质可得出DE的长再根据三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E∵D（0-3）∴OD=3∵AD是Rt△OAB的角平分线
OD⊥O
解析：18
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得出DE的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵D（0，-3）
∴OD=3，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，OD⊥OA，DE⊥AB，
∴DE=OD=3，
∴S△ABD=1
2AB•DE=
1
2
×12×3=18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
三、解答题
21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：CD=2BE．
解析：见解析
【分析】
根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．
【详解】
证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，
∠ABF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACD=∠ABF ，
在△AFB 和△ADC 中，
90ACD ABF AB AC
CAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；
∴CD=BF ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCE=∠FCE ，
在△BCE 和△FCE 中，
90BCE FCE CE CE
BEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），
∴BE=EF ，
∴BF=2BE
∴CD=2BE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．
22．如图，CB 为ACE ∠的角平分线，F 是线段CB 上一点，,CA CF B E =∠=∠，延长
EF 与线段AC 相交于点D ．
（1）求证：AB FE =；
（2）若,//ED AC AB CE ⊥，求A ∠的度数．
解析：（1）证明见解析；（2）120︒．
【分析】
（1）先根据角平分线的定义可得ACB FCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据平行线的性质可得B FCE ∠=∠，从而可得E FCE B ACB ∠∠=∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得30ACB ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
（1）CB 为ACE ∠的角平分线，
ACB FCE ∴∠=∠， 在ABC 和FEC 中，B E ACB FCE CA CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC FEC AAS ∴≅，
AB FE ∴=；
（2）//AB CE ，
F E B C ∴∠=∠，
E FCE B B AC ∠=∴∠=∠∠=，
ED AC ⊥，即90CDE ∠=︒，
90E FCE ACB ∠∠+∠∴+=︒，即390ACB ∠=︒，
解得30ACB ∠=︒，
30B ∴∠=︒，
180120B A ACB ∠=︒-∠=∴∠-︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
23．如图，点P 是锐角∠ABC 内一点，BP 平分∠ABC ，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM ＝PN ．
求证：∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
解析：见解析
【分析】
过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，根据角平分线性质定理可得PE ＝PF ，再由HL 可证Rt △MEP ≌Rt △NFP ，进而证得∠PME ＝∠PNF ，从而证得∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【详解】
证明：如图所示，过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，
∴∠MEP ＝∠NFP ＝90°．
∵BP 平分∠ABC ，
∴PE ＝PF ．
在Rt △MEP 与Rt △NFP 中，
PE PF PM PN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △MEP ≌Rt △NFP （HL ）．
∴∠PME ＝∠PNF ．
∵∠BMP ＋∠PME ＝180°，
∴∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
24．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点．
（1）求证：△ABC ≌△ABD ．
（2）求证：CE ＝DE ．
解析：（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用“HL ”证明Rt △ACB ≌Rt △ADB 即可；
（2）由Rt △ACB ≌Rt △ADB 得到∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，然后利用“SAS ”可证明△ACE ≌△ADE ，从而得到CE ＝DE ．
【详解】
证明：（1）在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，
AB AB BC BD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ACB ≌Rt △ADB （HL ）；
（2）∵Rt △ACB ≌Rt △ADB ，
∴∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，
在△ACE 和△ADE 中，
AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△ADE （SAS ），
∴CE ＝DE ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据图形的特点确定对应相等的条件，利用：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 或HL 证明两个三角形全等由此解决问题是解题的关键．
25．按要求作图
（1）如图，已知线段,a b ，用尺规做一条线段，使它等于+a b （不要求写作法，只保留作图痕迹）
（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解析：（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取a 和b 即可；
（2）作射线OA ，通过截取角度即可得解．
【详解】
（1）作射线CF ，在射线上顺次截取CD=a ，DE=b ，如下图所示，线段CE 即为所求：
（2）首先作射线OA ，如下图所示，∠AOB 即为所求：
【点睛】
本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关键．
26．已知4,BC BA BC =⊥，射线CM BC ⊥，动点P 在BC 上，PD PA ⊥交CM 于D ．
（1）如图1，当3,1BP AB ==时，求DC 的长；
（2）如图2，连接AD ，当DP 平分ADC ∠时，求BP 的长．
解析：（1）3；（2）2
【分析】
（1）根据同角的余角相等证得∠1=∠3，再利用AAS 证明()ABP PCD AAS ∆≅∆，然后根据全等三角形的性质解答即可；
（2）过P 作PH AD ⊥于H ，利用角平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：（1）如图，
∵AP PD ⊥，
∴1290∠+∠=︒，
∵PC CD ⊥，
∴2390∠+∠=︒
∴13∠=∠，
∵3,4BP BC ==，
∴1PC BC BP =-=，
又∵1AB =，
∴AB PC =，
又∵AB BP ⊥，
∴90B C ∠=∠=︒，
∴()ABP PCD AAS ∆≅∆，
∴3CD BP ==；
（2）作PH AD ⊥于H ，如图2，
∵DP 平分ADC ∠，
∴∠1=∠2，
∵90C ∠=︒，PH AD ⊥
∴∠HDP=∠CDP ，
∴PH PC =，
又∵1390∠+∠=︒，2490∠+∠=︒，
∴34∠=∠，
又∵90B ∠=︒，PH AD ⊥
∴∠HAP=∠BAP ，
∴PH BP =， ∴122
BP PC BC ==
=． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线灵活运用角平分线的性质是解
答的关键．
27．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12
=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
解析：（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【分析】
（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE
≌
ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌
AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE
≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌
AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．
【详解】
解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF 12
=∠BAD ，
∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
故答案为 EF ＝BE +DF ．
（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；
理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，
在ABE 和ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF 12
=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，
∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，
∴∠EOF 12
=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF ＝AE +BF 成立，
即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△AEF ≌△AGF 是解题的关键．
28．如图1，在平面内取一个定点O ，自O 引一条射线O x ，设M 是平面内一点，点O 与点M 的距离为m （m ＞0）, 以射线O x 为始边，射线OM 为终边的∠x OM 的度数为x °
（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m ，x °）表示点M 在平面内的位置，并记为M （m ，x °）．
例如，在如图2中，如果OG=4，∠x OG=120°，那么点G 在平面内的位置记为G （4，120°）．
（1）如图3，如果点N 在平面内的位置记为N （6，35°），那么ON= ；
xON ∠= °；
（2）如图4，点A ，点B 在射线O x 上，点A ，B 在平面内的位置分别记为（a ，0°）,
（2a ，0°）点A ，E ，C 在同一条直线上. 且OE=BC ．用等式表示∠OEA 与∠ACB 之间的数量关系，并证明．
解析：（1）6；35；（2）用等式表示OEA ∠与ACB ∠之间的数量关系是
OEA ∠=ACB ∠．证明见解析．
【分析】
（1）根据示例可求出结果；
（2）过点O 作BC 的平行线交CA 的延长线于点F ．证明△AOF ≌△ABC 可得OF=BC ，即可
得OE=OF ，所以∠OEF=∠OFE ，进一步可得结论．
【详解】
解：（1）∵在如图2中，如果OG=4，∠x OG=120°，那么点G 在平面内的位置记为G （4，120°）
∴如果点N 在平面内的位置记为N （6，35°），那么ON=6；xON ∠=35°；
故答案为：6；35；
（2）用等式表示OEA ∠与ACB ∠之间的数量关系是：OEA ∠=ACB ∠.
证明：过点O 作BC 的平行线交CA 的延长线于点F ．
ACB F ∴∠=∠．
∵点A , B 在平面内的位置分别记为(,0)a ︒,(2,0)a ︒,
2OB OA ∴=
OA AB ∴=
在△AOF 和△ABC 中，
,,,ACB F OAF BAC OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △AOF ≌△ABC ．
∴OF =BC ．
∵OE =BC ．
∴OE =OF ．
∴F OEA ∠=∠．
又∵ACB F ∠=∠，
∴OEA ACB ∠=∠．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形全等的判定与性质，证明△AOF ≌△ABC 是解答本题的关键．。