哈夫曼树及其应用(完美版)
哈夫曼树
哈夫曼树及其应用一、基本术语1．路径和路径长度在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。
通路中分支的数目称为路径长度。
若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
2．结点的权及带权路径长度若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。
结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
3．树的带权路径长度树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：也称为树的代价，定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为：其中：n表示叶子结点的数目wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度。
二、哈夫曼树构造1．哈夫曼树的定义在权为w l，w2，…，w n的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。
【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。
构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
2．哈夫曼树的构造假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。
n 个权值分别设为w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为：(1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。
下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如下图所示。
头歌赫夫曼树及其应用实践
头歌赫夫曼树及其应用实践头歌赫夫曼树是一种特殊的哈夫曼树算法，它在图像压缩、数据传输、数据存储等方面得到广泛应用。
本文将介绍头歌赫夫曼树的原理、构建方法以及应用实践。
一、头歌赫夫曼树的原理头歌赫夫曼树是由美国计算机科学家J. L. Bentley和A. J. Heineman在1986年所提出的算法。
该算法的核心思想是根据数据源中的出现频率来构建一棵哈夫曼树，使得重复次数多的数据用较短的编码表示，而出现较少的则用更长的编码表示。
头歌赫夫曼树相较于普通的哈夫曼树，使用的是无损压缩技术，将数据源的压缩结果保持无误的情况下完成数据压缩。
二、头歌赫夫曼树的构建方法头歌赫夫曼树的构建方法主要分为两个步骤：哈夫曼树的构建和头歌操作。
1. 哈夫曼树的构建（1）将数据源中的所有元素按照出现频率的高低进行排序，出现频率越高的排名越靠前。
（2）依次将排名靠前的两个元素作为一组，其中出现频率较高的元素为根节点，出现频率较低的元素为叶子节点。
将该组元素从数据源中删除，并将新生成的节点加入数据源。
（3）重复执行（1）和（2），直到数据源中只剩下一棵哈夫曼树。
2. 头歌操作头歌操作是在树的基础上，使用二进制位操作来达成哈夫曼编码。
（1）记录每个叶子节点所代表的字符和二进制编码。
（2）从根节点到叶子节点，如果在这条路径上向左走，则将下一位的二进制编码设为0，向右走则为1。
（3）将所有叶子节点的二进制编码连接起来，以形成数据源压缩后的结果。
三、头歌赫夫曼树的应用实践头歌赫夫曼树已经广泛应用于图像压缩、数据传输、数据存储等方面，以下是头歌赫夫曼树在这些领域的具体应用实践。
1. 图像压缩头歌赫夫曼树可以将图像中重复出现的像素点压缩为一个代表像素点的数据，从而达到压缩图像的效果，提高图像传输和存储的效率。
2. 数据传输头歌赫夫曼树可以将传输的数据进行压缩，缩短传输时间，减少传输量，有效地减轻传输负担。
3. 数据存储头歌赫夫曼树可以将数据存储为压缩格式，占用的存储空间更小，提高存储效率。
哈夫曼树.ppt
n
w i pi
最小，其中
i 1
Wi是第i个字符的使用频度，而Pi是第i个字符的编码长度， 这正是度量报文的平均长度的式子。
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21
例2：要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT}
要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；}
每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 }
PL=0+1+1+2+2=6
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9
问题2：什么样的带权树路径长度最小？
例如：给定一个权值序列{2,3,4,7}，可构造的多种 二叉树的形态。
2
3
4
7
2 34 7
(a) WPL=2×2＋2×3+2×4+2×7=32 (b) WPL=1×2＋2×3+3×4+3×7=41
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7
4
3
2
(c) WPL=1×7＋2×4+3×3+3×2=30
10
哈夫曼树的构造
例：给定权值{7，5，2，4}，构造哈夫曼树。
6
方法： 75 2 4
75
（1）a 初始b化：由c 原始d数据生成森林a ； b c
d
（次2小）的找二最叉小(树a树) 作：为在左森右林子中树选构取造两一棵棵根新结的点二权叉值树最(，小b)其的根和
A）先序遍历
B）中序遍历
C）后序遍历
D）从根开始进行层次遍历
2、某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉
树一定是（ B ）的二叉树。
A）空或只有一个结点
B）高度等于其结点数
C）任一结点无左孩子
D）任一结点无右孩子
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树（Huffman Tree）是一种重要的数据结构，它在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用。
1. 数据压缩：哈夫曼树是一种无损压缩的方法，能够有效地减小数据的存储空间。
在进行数据压缩时，可以使用哈夫曼树构建字符编码表，将出现频率较高的字符用较短的编码表示，而出现频率较低的字符用较长的编码表示，从而减小数据的存储空间。
2. 文件压缩：在文件压缩领域，哈夫曼树被广泛应用于压缩算法中。
通过构建哈夫曼树，可以根据字符出现的频率来生成不同长度的编码，从而减小文件的大小。
常见的文件压缩格式如ZIP、GZIP等都使用了哈夫曼树。
3. 图像压缩：在图像处理中，哈夫曼树被用于图像压缩算法中。
通过将图像中的像素值映射为不同长度的编码，可以减小图像的存储空间，提高图像传输和存储的效率。
常见的图像压缩格式如JPEG、PNG等都使用了哈夫曼树。
4. 文件传输：在数据传输中，哈夫曼树被用于数据压缩和传输。
通过对数据进行压缩，可以减小数据的传输时间和带宽占用。
在传输过程中，接收方可以通过哈夫曼树解码接收到的数据。
5. 数据加密：在数据加密中，哈夫曼树可以用于生成密钥，从而实现数据的加密和解密。
通过将字符映射为不同长度的编码，可以实
现对数据的加密和解密操作。
哈夫曼树在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用，能够有效地减小数据的存储空间、提高数据传输效率、实现数据加密等功能。
霍夫曼树
2.6.2 图的存储结构
（1）图的连接矩阵表示法 （2）图的邻接表示法
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30
图的连接矩阵表示法
V1 V2 V3 V4 V1 0 0 1 0
V1
V3
V2
V3 V2 V4 V4
0
0 1
0
0 0
0
0 0
1
1 0
V1 V2 V3 V4 V1 V1 V3 V2 V3 V2 V4
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权：与图的边或弧相关的数。 网：带权的图。 顶点的度：依附于该顶点的边数或弧数。 出度：（仅对有向图）以该顶点为尾的弧数。 入度：（仅对有向图）以该顶点为头的弧数。 路径：顶点A与顶点C之间存在一条路径。路 径上边或弧的数目称为该路径的路径长度。
3 2 5
A
1
B D
C
6
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B D
5
C
6
V表示顶点的非空有限集合。
VR表示两个顶点之间关系的集合。
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有向图
图
无向图
若<v,w>属于VR，则<v,w>表示从v到w的一条 弧，且称v为弧尾，w为弧头。此时的图称为 有向图。 若<v,w>属于VR，必有<w,v>，即VR是对称的， 则以无序对(v,w)代替这两个有序对，表示v 和w之间的一条边。此时的图称为有向图。
WPL最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树 。
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6
哈夫曼树 （最优树）
加权路径长度最小的二叉树就 是哈夫曼树。
n
公式：
WPL
k 1
WK LK
哈夫曼树
F
K
11110
111111 110
F 24
0
Z 2
1
K 7
L
U
Z
100
111110
哈夫曼编码的效率。
我们定义该编码方案的平均编码长度为： B(T)=(c1p1+ c2p2 +…+ cnpn)/pt 其中： ci和pi是字符集中第i个字符的代码长度及 其相对频率，pt是字符集的总频率。对本例计算平 均编码长度≈2.565 若采用固定长度编码，每个字母需log28=3位， 而哈夫曼编码只需2.565位，节省空间约12%。 哈夫曼编码对于典型的文本文件将比ASCII编 码节省约40%的空间。
用途：用于通信和数据传送中字符的二进制编码，可以 使文件编码总长度最短。 例字符集： C D E F K L U Z 频 率：32 42 120 24 7 42 37 2
306
0
1 186
C D E
1110 101 0
E 79 0 1 120 0 U D 37 42
1 107 1 65 0 1 L 0 33 42 C 0 1 9
哈夫曼树及其应用
1.问题的提出
在程序设计中，常用一个代码来表示一个 元素，标准ASCII码就是一个例子。它用log2128 即7位提供了128个不同的代码来表示ASCII表中 的128个字符。假设所有代码都等长，则表示n 个不同的代码需要log2n位，称为固定长度编码 （如ASCII码）。如果每个字符的使用频率相等， 则固定长度编码的空间效率最高。但事实上，每 个字符的使用频率并非一样。
if (socre<60) printf(“bad”); else if (socre<70) printf(“pass”); else if (score<80) printf(“general”); else if (score<90) printf(“good”); esle printf(“very good”);
13哈夫曼树精品PPT课件
4、赫夫曼编码
电报—将文字转换成二进制的字符串。 例如：电文“ABACCDA”，
假设A,B,C,D的编码分别为00，01，10，11 则，电文为：“100” 如果对每个字符设计长度不等的编码，且让出现次数 较多的字符采用尽可能短的编码，则电文的总长便可减少。 假设A,B,C,D的编码分别为0，00，1，01则，电文为： “000011010”，但是无法翻译。 如“0000”—“AAAA”或“ABA”或“BB”
第1步：初始化
24 5 3
第2步：选取与合并 第3步：删除与加入
5 23 45 5
23
重复第2步 重复第3步
45 5
23 9
45
5
9
2 3 45
重复第2步 重复第3步
5 23
9 45
14
5
9
2 34 5
例2 :有八种字符：a b c d e f g h ，其在通信联络中出现的概率分别为： 0.05 0.29 0.07 0.08 0.14 0.23 0.03 0.11 ,试构造哈夫 曼树。
设权 w = ( 5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11) n = 8
5
2
7
8
1
2
3
1
9
4
3
1
100
42
58
19 2 29 3
1
8
1
4 2
15 7
19
22 29 9 9
2 13 4
28 9
1
1 4
4
22 33
5
3
7
8
2 3
11 11
例3：请编制一个将百分制转换成五级分制的程序
数据结构-哈夫曼树及其应用
15
40 a
30 b
5
c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
30
40 a
30 b
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15 e
5
c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优
i=1 n
二叉树”或称为“哈夫曼树”。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的值为{w1,w2,...wn}，构 造一棵最优二叉树。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ②方法：
步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林F={T1,T2,......,Tn}， 其中Ti是只有一个根结点且根结点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从F 中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一棵 新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值为 其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。 步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ②压缩编码：
例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码： A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一：
二、哈夫曼树及其应用
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树在实际中有许多应用，以下是一些例子：
1. 数据压缩：哈夫曼树常用于数据压缩算法，如哈夫曼编码。
哈夫曼编码是一种前缀编码，它可以将数据中的字符编码为二进制字符串，使得平均编码长度最短，从而达到数据压缩的效果。
2. 文件存储：在文件存储中，哈夫曼树可以用于数据存储和检索。
例如，可以使用哈夫曼树来存储文件索引，以便快速找到文件。
3. 图像处理：在图像处理中，哈夫曼树可以用于图像压缩和编码。
例如，可以使用哈夫曼树来编码图像中的像素值，从而减小图像文件的大小。
4. 通信网络：在通信网络中，哈夫曼树可以用于数据传输和调度。
例如，可以使用哈夫曼树来优化数据的传输路径和顺序，以提高网络传输的效率和可靠性。
5. 数据库优化：在数据库优化中，哈夫曼树可以用于索引和查询处理。
例如，可以使用哈夫曼树来构建索引，以便快速检索数据库中的数据。
总的来说，哈夫曼树在许多领域中都有广泛的应用，特别是在需要数据压缩、文件存储、图像处理、通信网络和数据库优化的领域中。
哈夫曼树
比如，发送一段编码：0000011011010010， 接收方可以准确地通过译码得到：⑥⑥⑦⑤②⑧。
<
<80
<90 good
very good
图 5-
首先，将各分数段的比例数值作为权值构造一 棵哈夫曼树。 70≤...≤79
general
good
80≤...≤89
60≤...≤69 pass
...<59
图 5-30
bad
very good
<80 <70 <60 general good <90
4 8
图5-27 叶子结点带权值的二叉树
5
下面我们讨论一下权值、树形与带权的路径长 度之间的关系。假设有6个权值分别为{3，6，9，10， 7，11}，以这6个权值作为叶子结点的权值可以构造 出下面三棵二叉树。
10
11
3
(a)
6
7
9
3 6 7
9
7
9
11 10
(b)
6
3
11
图 528
10
(c)
到这段电文后无法进行译码，因为无法断定前面4个0
是4个A，1个B、2个A，还是2个B，即译码不唯一， 因此这种编码方法不可使用。
（1）利用字符集中每个字符的使用频率作为权 值构造一个哈夫曼树； （2）从根结点开始，为到每个叶子结点路径上 的左分支赋予0，右分支赋予1，并从根到叶子方向形 成该叶子结点的编码。 假设有一个电文字符集中有8个字符，每个字 符的使用频率分别为 {0.05,0.29,0.07,0.08,0.14,0.23,0.03,0.11}，现 以此为例设计哈夫曼编码。 哈夫曼编码设计过程为： （1）为方便计算，将所有字符的频度乘以 100，使其转换成整型数值集合，得到 {5,29,7,8,14,23,3,11}； （2）以此集合中的数值作为叶子结点的权值 构造一棵哈夫曼树，如图5-27所示；
哈夫曼树和哈夫曼编码的原理和应用领域
哈夫曼树和哈夫曼编码的原理和应用领域哈夫曼树（Huffman Tree）和哈夫曼编码（Huffman Coding）是数据压缩领域中常用的算法。
哈夫曼编码通过对出现频率较高的字符使用较短的编码，对出现频率较低的字符使用较长的编码，从而实现对数据进行高效压缩。
本文将介绍哈夫曼树和哈夫曼编码的原理以及它们在通信和存储领域的应用。
一、哈夫曼树的原理哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于贪心算法。
首先，根据字符出现的频率构建一组叶子节点，每个叶子节点代表一个字符，并且带有该字符出现的频率。
接着，从这组叶子节点中选择出现频率最低的两个节点，将它们合并成一个新的节点，并将这个新节点的频率设置为两个节点频率之和。
新节点成为新的叶子节点，参与下一次的合并。
重复这个过程，直到最终只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
二、哈夫曼编码的原理在哈夫曼树构建完成后，我们根据哈夫曼树的结构来为每个字符生成对应的编码。
对于每个字符，从根节点出发，向左子树走表示添加编码的0，向右子树走表示添加编码的1，直到到达叶子节点。
将每个字符的编码保存起来，就得到了哈夫曼编码。
由于哈夫曼树的构建过程保证了频率较高的字符拥有较短的编码，而频率较低的字符拥有较长的编码，所以哈夫曼编码具有前缀码的特性。
即任何一个字符的编码都不是其他字符编码的前缀，这样在进行解码的时候就不会出现歧义。
三、哈夫曼编码的应用领域1. 数据压缩：哈夫曼编码常被用于数据的无损压缩，通过将频率较高的字符用较短的编码表示，可以大大减小数据的存储空间。
2. 文件传输：在文件传输过程中，为了减小文件的大小，常常会使用哈夫曼编码对文件进行压缩，减少网络传输的时间和带宽占用。
3. 图像压缩：哈夫曼编码在图像压缩中也有广泛的应用。
通过对图像像素点进行编码，可以显著减小图像文件的体积，提高图像在传输和存储中的效率。
4. 视频压缩：在视频压缩中，哈夫曼编码被用于对视频帧中的运动矢量、亮度和色度信息进行编码，从而减小视频文件的大小。
哈夫曼树及哈夫曼编码的运用范围
哈夫曼树及哈夫曼编码的运用范围
哈夫曼树及哈夫曼编码是一种常用的数据压缩算法，广泛应用于数据传输和储存领域。
其运用范围主要包括以下几个方面：
1. 文件压缩：通过使用哈夫曼编码，可以将文件中的冗余信息压缩，减小文件的体积，从而提高文件传输的效率和节省存储空间。
2. 图像压缩：哈夫曼编码可以对图像进行数据压缩，删除冗余信息，减小图像的文件大小，提高图像传输速度和存储效率。
3. 音频压缩：哈夫曼编码常被用于音频数据的压缩，去除冗余数据，减小音频文件的大小，使其更易于传输和存储。
4. 视频压缩：哈夫曼编码也可以应用于视频数据的压缩，通过对视频中像素值的编码压缩，减小视频文件的体积，提高传输速度和存储效率。
5. 网络传输：在网络通信中，哈夫曼编码可以提高数据的传输效率，减小传输的数据量，提高网络的带宽利用率。
总之，哈夫曼树及哈夫曼编码在数据压缩和处理领域具有广泛的应用，可以减小文件、图像、音频和视频的体积，提高传输效率和存储效率。
数据结构课程设计 哈夫曼树
数据结构课程设计哈夫曼树数据结构课程设计 - 哈夫曼树一、引言哈夫曼树（Huffman Tree）是一种经典的数据结构，常被用于数据压缩和编码中。
它是一种特殊的二叉树，具有最优的前缀编码性质。
本文将详细介绍哈夫曼树的定义、构建方法以及应用场景。
二、哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种满足以下条件的二叉树：1. 所有的叶子节点都带有权值；2. 没有度为1的节点；3. 任意两个叶子节点的路径长度不相同。
三、哈夫曼树的构建方法1. 构建哈夫曼树的基本思想是将权值较小的节点放在较低的层次，权值较大的节点放在较高的层次；2. 首先，根据给定的权值集合，将每一个权值看做一个独立的节点；3. 然后，选择两个权值最小的节点，将它们合并为一个新节点，并将新节点的权值设置为这两个节点的权值之和；4. 重复上述步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
四、哈夫曼编码哈夫曼编码是一种变长编码方式，用于将字符转换为二进制编码。
它的特点是没有编码冗余，即每一个字符的编码都不是其他字符编码的前缀。
这种编码方式可以大幅度减小数据的存储空间和传输带宽。
五、哈夫曼树的应用场景1. 数据压缩：哈夫曼树可以根据字符浮现的频率构建最优的编码方式，从而实现数据的高效压缩；2. 文件压缩：将文件中的字符转换为哈夫曼编码，可以大幅度减小文件的大小；3. 图象压缩：将图象中的像素值转换为哈夫曼编码，可以实现图象的无损压缩；4. 视频压缩：将视频中的帧数据转换为哈夫曼编码，可以减小视频文件的大小。
六、哈夫曼树的时间复杂度和空间复杂度1. 构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为权值的个数；2. 哈夫曼编码的时间复杂度为O(n)，其中n为字符的个数；3. 哈夫曼树的空间复杂度为O(n)，其中n为权值的个数。
七、总结哈夫曼树是一种重要的数据结构，具有广泛的应用场景。
通过构建最优的编码方式，可以实现高效的数据压缩和编码。
掌握哈夫曼树的定义、构建方法以及应用场景，对于数据结构课程的学习和实践具有重要意义。
哈夫曼树算法用途
哈夫曼树算法用途哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，广泛应用于文件压缩、图像压缩、音频压缩等领域。
它可以根据数据的频率分布构建一颗最优的二叉树，从而实现数据的高效压缩和解压缩。
下面将从哈夫曼树的原理、构建方法和应用领域等方面进行详细阐述。
首先，我们来了解一下哈夫曼树的原理。
哈夫曼树是一颗带权路径长度最短的二叉树，其带权路径长度是指所有叶子结点的权值乘以其到根结点的路径长度之和。
对于一组给定的权值集合，构建哈夫曼树的过程是这样的：首先将权值按照从小到大的顺序排序，然后取权值最小的两个结点作为叶子结点，构建一个新的父节点，其权值为两个叶子结点的权值之和。
将这个新的父节点插入到原来的集合中，重复上述步骤直到只剩下一个根结点为止。
最终构建出的二叉树就是一颗哈夫曼树。
接下来，我们来介绍一下哈夫曼树的构建方法。
构建哈夫曼树的核心思想是贪心算法，即每次都选择权值最小的两个结点进行合并。
具体的构建步骤如下：1. 将待构建哈夫曼树的结点按照权值从小到大排序。
2. 创建一个空的哈夫曼树，将权值最小的两个结点作为叶子结点插入到树中，并创建一个新的父节点，其权值为这两个结点的权值之和。
3. 将这个新的父节点插入到原来的结点集合中，并将原来的两个结点从集合中删除。
4. 重复上述步骤，直到只剩下一个根结点为止，构建出的二叉树就是一颗哈夫曼树。
构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为叶子结点的个数。
由于每次都需要排序，所以效率较低。
为了提高效率，可以使用最小堆这种数据结构来快速选择权值最小的结点。
哈夫曼树的应用领域非常广泛。
其中最为重要的应用之一就是数据压缩。
在计算机存储和传输过程中，数据通常需要经过压缩以减小存储空间和传输带宽。
哈夫曼树作为一种高效的数据压缩算法，可以根据数据的频率分布来构建一个最优的编码表，将频率高的字符用较短的编码表示，而将频率低的字符用较长的编码表示，从而实现数据的高效压缩。
在文件压缩中，哈夫曼树可以根据不同字符的出现频率来构建一个相对最优的编码表，然后将文件中的字符按照这个编码表进行替换。
哈夫曼树hufferman构成原理应用及其数学证明
哈夫曼树hufferman构成原理应用及其数学证明哈夫曼树（Huffman Tree），又称最优树，它是一种常用的编码技术，它是一种十分高效的字符编码技术， 它主要是通过对字符按照出现频率高低进行分组，从而构成一颗树；每个字符的编码由树的层次顺序确定，字符越靠近根节点，编码越短，且编码长度与概率成正比，最后得出最优（最短）编码。
哈夫曼树构成原理：哈夫曼树构成原理是通过将信源字符重新按照概率顺序构成一棵有序树来实现的，即带有权值的叶子节点的树。
例如，某信源由四种字符A，B，C，D组成，出现的概率分别为p1，p2，p3，p4。
则可以构成一棵哈夫曼树。
首先，将四个字符依据概率从大到小重新排列，得到ABCD，依据概率大小选择A和B两个字符，以他们为叶子节点构成根节点，这样就分出了两颗子树。
接着将C和D两个字符以此作为叶子节点构成另外两棵子树，将他们与上面的根节点联接在一起，当初始树建立完毕，就得到了一棵哈夫曼树。
哈夫曼树数学证明：证明哈夫曼树是最优树：假设一棵信源树的叶子节点有n个，则此树的权重之和为：w1+w2+…+wn，其中wi是叶子节点i的权重，建立该信源树的目标是将其权重之和最小化，而在没有违反信源编码原理的前提下，树的最小权重之和也就是最优树的权重之和。
假设w1～wn分别为叶子节点1～n的权重，从大到小排列为w1，w2，…，wn，一棵以w1，w2，…，wn为叶子节点的最优树的权重之和为：T（w1，w2，…，wn）=w1+w2+…+wn+2（w1+w2）+2（w1+w2+w3）+……+2（w1+w2+…+wn-1）＝2（w1+w2+…+wn-1）+wn ＝2T（w1，w2，…，wn-1）+wn由上式可知，最优树的权重之和T（w1，w2，…，wn）是由T （w1，w2，…，wn-1）和wn组成的，也就是说，每次取出w1，w2，…，wn中的最大者wn作为树的一个节点，其余的作为树的另一个节点，而每一次节点的选取都是满足最优化条件的，因此一棵满足最优树条件的树就是哈夫曼树，而此树的权重之和也就是最优树的权重之和．从上述可以看出，哈夫曼树构成原理和哈夫曼树数学证明都支持哈夫曼树是最优树的观点，因此哈夫曼树是一种有效的编码技术。
哈夫曼Huffman树及应用
8 11 11 0 0
9 8 11 1 7
10 15 12 3 4
哈夫曼树
11 19 13 8 9 12 29 14 5 10
哈夫曼树对应的静态三叉链表13 58 15 6 11
14 100 0 13 14
w,p,lch,rch 是 weight,parent, lchild,rchild
的缩写
哈夫曼算法
如何得到使二进制 串总长最短编码
应用中每个字符的使用频率是不一样的。显然，为使传输 的二进制串尽可能的短，使用频率高的字符用较短编码，使用 频率低的字符用较长编码,电文总长= 原文中字符总数（字符x 使用频率 字符x编码长度）
为设计电文总长最短编码，可通过构造以字符使用频率作 为权值的哈夫曼树实现。
例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为 0.05,0.29,0.07,0.08, 0.14,0.23, 0.03,0.11。构造以字符使用频率作为权值的哈夫曼 树。，将权值取为整数w=(5,29,7,8,14,23,3,11)，按哈夫曼算法构造的一棵哈夫曼 树如下：
Y
a<70 N C
a<80
N a<90 Y
N
B
A
4 哈夫曼编码
哈夫曼树除了能求解最优判定问题解，还用于其他一些最优问题的
求解。这里介绍用哈夫曼树求解数据的二进制编码。
在进行数据通讯时，涉及数据编码问题。所谓数据编码就是数据与
二进制字符串的转换。例如：邮局发电报，发送方将原文转换成二进制
字符串，接收方将二进制字符串还原成原文。
1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树； 2）将该二叉树所有左分枝标记 0，所有右分枝标记1；
给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度
给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度随着信息技术的发展和应用的广泛，数据压缩技术也得到了广泛的应用。
在数据压缩技术中，哈夫曼树作为一种重要的数据结构，被广泛应用在数据压缩和编码中。
构造哈夫曼树的带权路径长度是衡量哈夫曼树效率和性能的重要指标。
本文将就给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度进行深入探讨。
一、哈夫曼树及其应用1.1 哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种带权路径长度最小的二叉树，它是由N个带权叶子节点构成的。
在哈夫曼树中，树的带权路径长度最小，即权值较大的叶子节点离根节点的距离较短。
1.2 哈夫曼树的构造构造哈夫曼树的步骤如下：（1）将权值从小到大进行排序。
（2）选取权值最小的两个节点作为左右孩子，构造一棵新的二叉树。
（3）将新的二叉树的根节点的权值设为左右孩子节点的权值之和。
（4）重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被构造为一棵哈夫曼树。
1.3 哈夫曼树的应用哈夫曼树被广泛应用在数据压缩和编码中，通过构造哈夫曼树，可以进行数据的高效压缩和解压缩。
在通信、图像处理、音频处理等领域都得到了广泛的应用。
二、给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度2.1 带权路径长度的定义带权路径长度是指哈夫曼树中所有叶子节点的带权路径之和。
即对于一个哈夫曼树，带权路径长度为每个叶子节点的权值乘以叶子节点到根节点的距离之和。
2.2 给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度计算方法构造哈夫曼树的带权路径长度计算方法如下：（1）将带有权值的N个节点进行排序。
（2）选取权值最小的两个节点作为左右孩子节点，构造新的二叉树。
（3）将新的二叉树的根节点的权值设为左右孩子节点的权值之和。
（4）重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被构造为一棵哈夫曼树。
（5）计算所有叶子节点的带权路径长度之和，即为哈夫曼树的带权路径长度。
2.3 举例说明假设有一组权值为{1,2,3,4,5}的节点需要构造成哈夫曼树，按照上述步骤进行构造，得到的带权路径长度为：带权路径长度 = 1*5 + 2*4 + 3*3 + 4*2 + 5*1 = 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35。
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数据结构课程设计设计题目：哈夫曼树及其应用学院：计算机科学与技术专业：网络工程班级：网络 131学号：**********学生姓名：谢*指导教师：叶*2015年7 月12 日设计目的：赫夫曼编码的应用很广泛，利用赫夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为赫夫曼编码。
树中从根到每个叶子都有一条路径，对路径上的各分支约定：指向左子树的分支表示“0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为和各个叶子对应的字符的编码，这就是赫夫曼编码。
哈弗曼译码输入字符串可以把它编译成二进制代码，输入二进制代码时可以编译成字符串。
1、熟悉树的二叉树的存储结构及其特点。
2、掌握建立哈夫曼树和哈夫曼编码的方法。
设计内容：欲发一封内容为AABBCAB ……(共长 100 字符,字符包括A 、B 、C 、D 、E 、F六种字符)，分别输入六种字符在报文中出现的次数（次数总和为100），对这六种字符进行哈夫曼编码。
设计要求：对输入的一串电文字符实现赫夫曼编码，再对赫夫曼编码生成的代码串进行译码，输出电文字符串。
通常我们把数据压缩的过程称为编码，解压缩的过程称为解码。
电报通信是传递文字的二进制码形式的字符串。
但在信息传递时，总希望总长度能尽可能短，即采用最短码。
假设每种字符在电文中出现的次数为Wi，编码长度为Li，电文中有n种字符，则电文编码总长度为∑WiLi。
若将此对应到二叉树上，Wi为叶结点的权，Li为根结点到叶结点的路径长度。
那么，∑WiLi 恰好为二叉树上带权路径长度。
因此，设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n种字符出现的频率作权，构造一棵赫夫曼树，此构造过程称为赫夫曼编码。
设计实现的功能：1.以二叉链表存储，2.建立哈夫曼树；3.求每个字符的哈夫曼编码并显示。
一：赫夫曼树的构造“（1）由给定的n个权值{W1，W2，…，Wn}构成n棵二叉树的集合F＝{T1，T2，…，Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为Wi的根节点，其左右子树均空。
（2）在F中选取根结点的权值最小和次小的两棵二叉树作为左、右子树构造一棵新的二叉树，这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点权值之和；（3）在集合F中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建立的二叉树加入到集合F中；（4）重复（2）（3）两步，当F中只剩下一棵二叉树时，这棵二叉树便是所要建立的哈夫曼树。
”二：设计概要哈夫曼编\译码器的主要功能是先建立哈夫曼树，然后利用建好的哈夫曼树生成哈夫曼编码后进行译码。
在数据通信中，经常需要将传送的文字转换成由二进制字符0、1组成的二进制串，称之为编码。
构造一棵哈夫曼树，规定哈夫曼树中的左分之代表0，右分支代表1，则从根节点到每个叶子节点所经过的路径分支组成的0和1的序列便为该节点对应字符的编码，称之为哈夫曼编码。
最简单的二进制编码方式是等长编码。
若采用不等长编码，让出现频率高的字符具有较短的编码，让出现频率低的字符具有较长的编码，这样可能缩短传送电文的总长度。
哈夫曼树课用于构造使电文的编码总长最短的编码方案。
（1）其主要流程图如图所示。
（2）设计包含的几个方面：①赫夫曼树的建立赫夫曼树的建立由赫夫曼算法的定义可知，初始森林中共有n棵只含有根结点的二叉树。
算法的第二步是：将当前森林中的两棵根结点权值最小的二叉树，合并成一棵新的二叉树；每合并一次，森林中就减少一棵树，产生一个新结点。
显然要进行n－1次合并，所以共产生n－1个新结点，它们都是具有两个孩子的分支结点。
由此可知，最终求得的赫夫曼树中一共有2n－1个结点，其中n个结点是初始森林的n个孤立结点。
并且赫夫曼树中没有度数为1的分支结点。
我们可以利用一个大小为2n--1的一维数组来存储赫夫曼树中的结点。
②赫夫曼编码要求电文的赫夫曼编码，必须先定义赫夫曼编码类型，根据设计要求和实际需要定义的类型如下：typedet struct {char ch; // 存放编码的字符char bits[N＋1]; // 存放编码位串int len; // 编码的长度}CodeNode; // 编码结构体类型③字符串的译码译码的基本思想是：读文件中编码，并与原先生成的赫夫曼编码表比较，遇到相等时，即取出其对应的字符存入一个新串中。
三、详细设计（1）①赫夫曼树的存储结构描述为：#define N 50 // 叶子结点数#define M 2*N-1 // 赫夫曼树中结点总数typedef struct {int weight; // 叶子结点的权值int lchild, rchild, parent; // 左右孩子及双亲指针}HTNode; // 树中结点类型typedef HTNode HuffmanTree[M+1];②哈弗曼树的算法void CreateHT(HTNode ht[],int n) //调用输入的数组ht[],和节点数n{int i,k,lnode,rnode;int min1,min2;for (i=0;i<2*n-1;i++)ht[i].parent=ht[i].lchild=ht[i].rchild=-1; //所有结点的相关域置初值-1 for (i=n;i<2*n-1;i++) //构造哈夫曼树{min1=min2=32767; //int的范围是-32768—32767lnode=rnode=-1; //lnode和rnode记录最小权值的两个结点位置for (k=0;k<=i-1;k++){if (ht[k].parent==-1) //只在尚未构造二叉树的结点中查找{if (ht[k].weight<min1) //若权值小于最小的左节点的权值{min2=min1;rnode=lnode;min1=ht[k].weight;lnode=k;}else if (ht[k].weight<min2){min2=ht[k].weight;rnode=k;}}}ht[lnode].parent=i;ht[rnode].parent=i; //两个最小节点的父节点是iht[i].weight=ht[lnode].weight+ht[rnode].weight; //两个最小节点的父节点权值为两个最小节点权值之和ht[i].lchild=lnode;ht[i].rchild=rnode; //父节点的左节点和右节点}}（2）哈弗曼编码void CreateHCode(HTNode ht[],HCode hcd[],int n){int i,f,c;HCode hc;for (i=0;i<n;i++) //根据哈夫曼树求哈夫曼编码{hc.start=n;c=i;f=ht[i].parent;while (f!=-1) //循序直到树根结点结束循环{if (ht[f].lchild==c) //处理左孩子结点hc.cd[hc.start--]='0';else //处理右孩子结点hc.cd[hc.start--]='1';c=f;f=ht[f].parent;}hc.start++; //start指向哈夫曼编码hc.cd[]中最开始字符hcd[i]=hc;}}void DispHCode(HTNode ht[],HCode hcd[],int n) //输出哈夫曼编码的列表{int i,k;printf(" 输出哈夫曼编码:\n");for (i=0;i<n;i++) //输出data中的所有数据，即A-Z {printf(" %c:\t",ht[i].data);for (k=hcd[i].start;k<=n;k++) //输出所有data中数据的编码{printf("%c",hcd[i].cd[k]);}printf("\n");}}void editHCode(HTNode ht[],HCode hcd[],int n) //编码函数{char string[MAXSIZE];int i,j,k;scanf("%s",string); //把要进行编码的字符串存入string数组中printf("\n输出编码结果:\n");for (i=0;string[i]!='#';i++) //#为终止标志{for (j=0;j<n;j++){if(string[i]==ht[j].data) //循环查找与输入字符相同的编号，相同的就输出这个字符的编码{for (k=hcd[j].start;k<=n;k++){printf("%c",hcd[j].cd[k]);}break; //输出完成后跳出当前for循环}}}}（3）哈弗曼译码void deHCode(HTNode ht[],HCode hcd[],int n) //译码函数{char code[MAXSIZE];int i,j,l,k,m,x;scanf("%s",code); //把要进行译码的字符串存入code数组中while(code[0]!='#')for (i=0;i<n;i++){m=0; //m为想同编码个数的计数器for (k=hcd[i].start,j=0;k<=n;k++,j++) //j为记录所存储这个字符的编码个数{if(code[j]==hcd[i].cd[k]) //当有相同编码时m值加1m++;}if(m==j) //当输入的字符串与所存储的编码字符串个数相等时则输出这个的data数据{printf("%c",ht[i].data);for(x=0;code[x-1]!='#';x++) //把已经使用过的code数组里的字符串删除{code[x]=code[x+j];}}}}（4）主函数void main(){int n=26,i;char orz,back,flag=1;char str[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };int fnum[] = { 15, 10, 20, 18, 12, 25 };//初始化HTNode ht[M]; //建立结构体HCode hcd[N]; //建立结构体for (i=0;i<n;i++) //把初始化的数据存入ht结构体中{ht[i].data=str[i];ht[i].weight=fnum[i];}while (flag) //菜单函数，当flag为0时跳出循环（5）显示部分源程序：{printf("\n");printf(" ********************************");printf("\n ** 1---------------显示编码**");printf("\n ** 2---------------进行编码**");printf("\n ** 3---------------进行译码**");printf("\n ** 4---------------退出**\n");printf(" * **********************************"); printf("\n");printf(" 请输入选择的编号:");scanf("%c",&orz);switch(orz){case 'a':case 'A':system("cls"); //清屏函数CreateHT(ht,n);CreateHCode(ht,hcd,n);DispHCode(ht,hcd,n);getchar();system("cls");break;case 'b':case 'B':system("cls");CreateHT(ht,n);CreateHCode(ht,hcd,n);printf("请输入要进行编码的字符串(以#结束):\n");editHCode(ht,hcd,n);getchar();system("cls");break;case 'c':case 'C':system("cls");CreateHT(ht,n);CreateHCode(ht,hcd,n);DispHCode(ht,hcd,n);printf("请输入编码(以#结束):\n");deHCode(ht,hcd,n);getchar();system("cls");break;case 'd':case 'D':flag=0;break;default:system("cls");}}}四、调试结果五.实验总结1.做这个项目前，应该明确需求，划清功能模块。