排列组合基本原理.ppt

2+2+3=7
3．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + ｃ5 )展开后共有项？ ３×４×５＝６０
练习题2：
1 书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书， 下层放有4本不同的英语书，从中任取1 本书的不同取法的种数 是（A）
北
北
A
中
C
村
村
பைடு நூலகம்
南 B村
南
解：从A 村去 B 村有3种不同的走法，按这3种走法中的每 一种走法到达B村后，再从 B村到达C 村又有2种不同的走 法。因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 3 × 2 = 6 种不 同的走法。
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方 法，… …，做第n步有mn种不同的方法。那么完 成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的 方法。
解：⑴从书架上任取一本书，有两类办法：
第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取 一本，有 6 种取法；
第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取 一本，有5 种取法。
根据加法原理，得到不同的取法的种数是：
N = m1+ m2 = 6+5=11 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法。
法； 第二步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。 根据乘法原理，得到组成的三位数的个数是： N = 5 ×5 ×5 = 53 = 125
答：可以组成125个三位数。
例3 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的物理 书5本，从中任取两种不同类的书，共有多少种不同的取 法？
解：每次取出的两本书中： 含 1 本语文书和 1 本数学书的共有 9 × 7 = 63 种取
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有 mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种 不同的方法。
２．加法原理和乘法原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完 备，就用加法原理；如果分事件相互关联，缺一不可， 就用乘法原理。
例4
▪甲、乙两个自然数的最大公 约数为60，则甲、乙两数的 公约数共有多少个？
练习1：
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方 法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来 完成这件工作，共有多少种选法？
4+5=9
2． 在读书活动中，一个学生要从2本科技书，2本政治书， 3本文艺术里任选一本，共有多少种不同的选法？
例1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。
⑴从中任取一本，共有多少种不同的取法？ ⑵从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？
解: ⑵从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两 个步骤完成：
第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语 文书，有5种方法。根据乘法原理，得到不同的取法的种 数是：
课下练习题:
第266页 3题 5题
作业：
第266页 6题 7题 补充题: 从2,3,5,7四个数字中任取两个用来做分 子,分母。
①能得到几个不同的分数？ ②其中有几个是真分数？几个假分数？
两个原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点： 前者分类，后者分步；
如果分事件相互独立,分类完备,就用加法原理； 如果分事件相互关联,缺一不可,就用乘法原理。
例1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。
⑴从中任取一本，共有多少种不同的取法？ ⑵从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？
加法原理：
做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办 法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不 同的方法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方 法。那么完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种 不同的方法。
例2 由 A 村去 B 村的道路有3条，由 B 村去 C 村的道路 有2条。从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？
第九章 排列、组合、二项式定理 一 排列与组合
第一课 基本原 理
例1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘 轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。 那麽，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少 种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘 轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此， 一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种 不同的走法。
、D四个区域涂色，规定每个区域 只涂一种颜色，相邻区域涂不同颜 色，求有多少种不同涂色方法？
AD
BC
例1
▪4名同学去争夺三项冠 军，不允许并列，则有 多少种情况？
例2
▪在所有的两位数中，个位数 字比十位数字大的两位数有 多少？
例3
设集合M 1,0,1，N 2,3,4,5,6
映射f：M N，使对任意的x M , 都有x f (x) x • f (x)是奇数，这样 的映射有多少个？
N= m1× m2 = 6×5 = 30 答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有30 种不同 的取法。
例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位 上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5
种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选
（3）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种？
映射问题
已知A a1, a2 , a3, a4，B b1, b2 , b3, b4 , b5
（1）从A到B可建立多少个不同的映射； 从B到A可建立多少个不同的映射？
（2）从A到B可建立多少个不同的映射， 使A中不同的元素在B中的像不同？
染色问题 ▪ 用5种不同的颜色给图中A、B、C
加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中
有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，… …， 在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1
种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有mn 种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不 同的方法。
A. 12
B.64
C.81
D.7
4 火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
总结：
１．加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，… …， 在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
A. 5 + 6＋4 = 15 B. 1 C. 6×5×4 = 120 D. 3
2 在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的 种数是 ( C )
A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15 C. 5×6×4 = 120 D. 1
3 把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 ( C )
法； 含 1 本数学书和 1 本物理书的共有 7 × 5 = 35 种取法； 含 1 本语文书和 1 本物理书的共有 9 × 5 = 45 种取法。
由加法原理得 63 + 35 + 45 = 143 答：共有 143 种取法。
一类易混问题
（1）8本不同的书，任选3本分给3个同学， 每人1本，有多少种不同的分法？ (2)将4封信投入3个邮筒，有多少种？