岩石的强度理论及破坏判据[详细]

分析，库仑准则的有效取值范围由图 6-8给出，并可
用方程表示为：
σ3 σ1=σ3
1
f
2
1
f
3
f
2
1
f
2c
P β
3 1
1
1 2
c
1
1 2
c
0
σc / 2
σc
σ1
-σt
A
S
图7-8 σ1－σ3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线
在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。
(1)当 0 11 11 22时cc，33岩石t属t单轴拉伸破裂； (2)当 1122cc11 c时c，t岩t石3 属3 0双0轴 拉伸破裂；
四、 格里菲斯强度理论
格里菲斯（Griffith ，1920年）认为:脆性材料断 裂的起因是分布在材料中的微小裂纹尖端有拉应力 集中（这种裂纹称之为Griffith裂纹）。
格里菲斯原理认为:当作用力的势能始终保持不 变时，裂纹扩展准则可写为：
(Wd Wc ) 0 C
式中：C为裂纹长度参数；Wd为裂纹表面的表面能； We为储存在裂纹周围的弹性应变能。
1
τ3
2
2α
式中：为t 岩石的单轴抗拉强度σ；0 σ3 t
n 为待定系数。
σ σ
σ
c
利用图 7-10中的关系，有：
σ 3
1 2
(1 3)
1 2
(1
3)
ctg 2
sin 2
1.双向压7缩应4力2圆，2.双向拉压应力圆，
3..双向拉伸应力圆 图7-10 二次抛物型强度包络线
其中：
n( t )
d ctg2
n
d
2 n( t )
1 csc2 1
n
sin 2
4( t )
消去式中的 ，得二次抛物线型包络线的主应力表达式为：
1 3 2 2n1 3 4nt n2
单轴压缩条件下，有 3 0,1： c
解得：
n2 2c 2t n c2 0
n c 2t 2 t t
①弹性本构关系：线性弹性、非线性弹性本构关系。 ②弹塑性本构关系：各向同性、各向异性本构关系。 ③流变本构关系：岩石产生流变时的本构关系。流变
性是指如果外界条件不变，应变或应力随时间而变化的 性质。
岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种 应力状态下的强度准则的理论。
岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。 岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏（出现显 著的塑性变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达 到强度极限，流动破坏发生于应力达到屈服极限。 岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质， 变形性质主要通过本构关系来反映，强度性质主要 通过强度准则来反映。 本章分别研究岩石、岩体的本构关系与强度理论。
莫尔强度理论实质:剪应力强度理论。 优点： (1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏； (2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性; (3)能解释岩石在三向等拉时破坏，在三向等压时不 会破坏（曲线在受压区不闭合）的特点。 缺点: (1)忽略了中间主应力的影响，与试验结果有一定的 出入。 (2)该判据只适用于剪破坏，受拉区的适用性还值得 进一步探讨，不适用于膨胀或蠕变破坏。
σ1
σ
σ3
σ3
D
θ
σ1 图7-6
Φc
A
O σ3 B
σ－τ坐标下库仑准则
（7-27）
L
σ1 σ
最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角 （称
为破坏角）恒等为：
2
另外由图7-6可得：
2
或
45o
2
并可改写为：σ1
sin
1 3
2c ctg 1 3
1
1 1
sσin
sin
3
f
1、 库仑强度准则 2、 莫尔强度理论 3、 格里菲斯强度理论 4、 Griffith强度准则的三维推广
（Murrell强度准则）
二、 库仑强度准则
岩石的破坏：剪切破坏。
认为岩石的剪切强度等于岩石本身的粘结力和剪切面上由法 向力产生的摩擦阻力。平面应力中的剪切强度准则（图）为：
| | c tan 或 | | tan c
β
注意：s0 并不是实际抗拉强度
0
σc / 2
σc
σ1
s0
2c
f
2
1
f
-σt
A
S
图7-8 σ1－σ3坐标系中的库仑 准则的完整强度曲线
图 7-8 中直线 AP代表 的1有效取值范围。 为3 负值（拉应力）时，特别在单轴拉伸实验中，当拉应力
达到岩石抗拉强度时，岩石发生张断裂。基于试验结果和理论
利用这些式子可判断岩石试件是否破坏。
2、双曲线型 砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包 络线近似于双曲线（图 7-11 ) ，其表达式为：
τ
2 t 2 tan2 1 t t
式中，φ1为包络线渐近线的倾角，
近线 渐
包络线
tan 1
1 2
c t
3
φ0
2α
σ t
0
C
σ C
σ
图7-11 双曲线型强度包络线
一、 概 述
岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种
应力状态下的强度准则的理论。 强度准则：又称破坏判据，是表征岩石破坏条件的应
力状态与岩石强度参数间的函数关系，可用如下的方程 表示:
σ1= f (σ2 ,σ3 ,σC ,σt ,C ,Ф )
或处于极限平衡状态截面上的剪应力 和正应力 间
的关系方程：
3 t
(1 3 0)
σ 3
σ 3
P P
σ
8σt
3
σ 1
=
-σt
σ
图7-12 平面压缩的Gr1iffith裂纹模型
σ 1
σ 3
=
-σt
图7-13 Griffith强度曲线
结论： (1)材料的单轴抗压强度是抗拉强度的8倍，其反映了 脆性材料的基本力学特征。 (2)材料发生断裂时，可能处于各种应力状态。不论何 种应力状态，材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应力 而断裂开始扩展，即材料的破坏机理是拉伸破坏。新裂 纹与最大主应力方向斜交，而且扩展方向会最终趋于与 最大主应力平行。
σ 3
=
-σt
图7-13 Griffith强度曲线
双向压缩下裂纹扩展准则（Griffith强度准则） : 假定条件：1)不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响；2)
假 定 裂 纹 从 最 大 拉 应 力 集 中 点 开 始 扩 展 （ 图 6.12 中 的 P
点）。
1
3
2
8
1 3
(1 3 0)
2c ctg 1 sin
若岩取石单轴3 抗，0σ压3则强极度限应θc，力即有为1σ：3
c
2c ctg 1 sin
A
σ1
D
Φc O σ3 B
L
σ1 σ
1 坐标3 中库仑准则的强度曲
线，如图 6-7所示，极限应力条
件下剪切面上正应力 和剪力
用主 应力可表示为：
σ1
1 tan2 c
arc( tan2 θ)
Griffith强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。
Mohr-coulomb强度准则的适用性一般的岩石材料。
f
上式在 坐 标系中为一条对称于 轴的曲线，它可通过试
验方法求得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩 及三轴压缩）下的破坏莫尔应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的 外公切线（图7-9) ，称为莫尔强度包络线给定。
单轴拉伸
单轴压缩
莫尔破坏包络线
σ1
σ2 =σ3
三轴压缩
σt
σ3
σc
图7-9 完整岩石的莫尔强度曲线
力的平衡关系（平衡方程）
位移和应变的关系（几何方程）+ 边界条件 =
应力和应变的关系（物理方程 或本构方程）
应力场 位移场
依据适合的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。 岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变 或应变速率的关系。
岩石或岩体的变形性质：弹塑性或粘弹塑性。 本构关系：弹塑性或粘弹塑性本构关系。 本构关系分类：
σc
1 2
1
3
1 2
1
3 cos 2
1 2
1
3 sin 2
O
σ3
图7-7 σ1－σ3坐标系的库仑准则
由方程（7-27）式并取 f t，an得 ：
|
|
-
f
1 2
1
3 sin
2 -f
cos 2
1 2
f
3
上式表示（图7-8 ) 的直线交 于1 ， c 且：
σ3
c
2c
f
2
1
f
σ1=σ3
P
交 3轴于 s。0
0
σ1=σ3
P β
σc / 2
σc
σ1
-σt
A
S
岩石强度理论与破坏判据
三、 莫尔强度理论
莫尔（Mohr，1900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主
要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极 限状态时，滑动平面上的剪应力达到一个取决于正 应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系表示：
岩体力学
2.5岩石的强度理论－主要内容
1 强度理论 4 Griffith强度理论
一、 概 述
岩体力学研究对象:岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性 质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。
岩体力学问题求解:是将岩体划分成若干单元或称微分单元， 其求解过程如下：
Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂纹的扩展 研究中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的均匀单轴拉 伸应力σ的加载方向。当裂纹扩展时满足下列条件：
2Ea C
式中：a为裂纹表面单位面积的表面能；E为非破裂材料的弹
性模量。
σ 3
P
σ 3
8σt
σ 3
σ 1
=
-σt
P
σ 1
σ
图7-12 平面压缩的Gr1iffith裂纹模型
σ1 σ
莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。
包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等。
斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。
这里主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。
1、二次抛物线型
τ
岩性较坚硬至较弱的岩石。
2 n t
2
τ=
n(σ
+σt
)
M(σ ,τ)
(3)当 1 c时，3 岩0石 属单轴压缩破裂； (4)当 1 c时，3 岩0石 属双轴压缩破裂。
另外，由图 6－8 中强度曲线上A 点坐标 ( c可/ 2得, ，t )直线 A P的倾
角 为：
σ3
arctan 2 t c
在主应力 1, 3 坐标平面内的
库仑准则可以利用单轴抗压强度
和抗拉强度来确定。