多目标规划与数学模型解析
多目标规划建模-数学建模
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
多目标规划
这种求解多目标问题的解的方法就称为评价函数法。
不同的构造的方法(当然得到不同的有效解) 形成不同的评价函数法。
4.1线性加权法 (最基本的评价函数法)
取(z)=u1z1+u2z2+…+urzr,其中ui≥0,i=1:r,u1+…+ur=1
f i(x’) ≤ f i(x*),(i=1:r,至少有一个严格小于成立)， 而为严格单调增函数，故(f(x’))< (f(x*)) 与x*是单目标函数的最优解矛盾！
f:RnRr, :RrR1,x*是min (f(x))的极小点 s.t. x D
若为单调增函数，则x* Pw(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后 的单目标问题的最优解，即得到原问题的一个弱有效解)
特别地，若ui>0,i=1:r,则可验证(z)是严格单调增函数。
评价算法的理论依据
f:RnRr, :RrR1, x*是min (f(x))的极小点
s.t. x D 若为严格单调增函数，则x* P(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后的 单目标问题的最优解，即得到原问题的一个有效解) 证明:反证法。 设x*P(f,D),则必存在一点x’ D,使得
现验证minf1(x),xD的最优解x*是多目标问题的一个有效解：
按定义只要说明找不到x D使得
f1(x) ≤f1(x*) f2(x)<f2(x*)
或
f1
f2
f1(x)<f1(x*) f2(x)≤f2(x*)
或
x* ·
f1(x) <f1(x*)
f2(x)<f2(x*)
第九章目标规划——多目标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
（1） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小 min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量 要尽可能地小
min Z = f（ d +） （3） 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要 尽可能地小
目标规划 Goal Programming（GP）
第九章
目标规划
——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划问题及其数学模型
目标规划（ Goal Programming ）方法是Charnes和Cooper于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题 的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
木工 油漆工 1 10
资源总量（小时） 11 10
求解此问题可以得到王老板的最优生产方案： 每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利 润为其生产、经营的唯一目标。然而，市场经济环境下新的问题不断 出现，它迫使王老板不得不考虑…... 1. 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断 决策减少椅子的产量，其产量最好不超过桌子的产量。 2. 其次，劳动力市场上已招不到符合生产质量要求的木工了，因此 不可能考虑增加木工这种劳动力资源来增加产量，并且由于某种原因 现有木工已不可能再加班。 3. 再次，应尽可能充分利用油漆工的现有的有效工作时间，可以通 过加班使油漆工资源增加，但应考虑油漆工希望最好不加班。 4. 最后，王老板考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
多目标规划模型
图6
LINGO运算后输出为：（参见图7）
图7
• 因此，x1 4, x2 0, d1 ＝d10，
d
2
6, d3就 7是目
标规划的满意解。
第一部分 多目标决策的基本概况
本章将从多目标决策（也称多目标规划）方法 的作用出发，通过分析简单的多目标决策问题的几 个案例，阐述多目标决策的基本概念。任何决策问 题的解决主要依赖于所谓的决策者和分析者。决策 者一般指有权挑选行动方案，并能够从中选择满意 方案作为最终决策的人员。政府官员、企业行政管 理人员均为某类问题的决策者。
40 10
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
0,
j
1,2
用LINGO求解，得最优解
d1
d1＝0
，d
2
6，最优值为6。
具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model: min=d2_; 10*x1+15*x2+d1_-d1=40; x1+x2+d2_-d2=10; d1=0; END
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
缩写形式：
max(min)Z F ( X )
s.t. ( X ) G
有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程， 则：
例 试分析下表所示四个方案的非劣性。
方案
X1 X2 X3 X4
目标函数
多目标规划
多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。
在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。
多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。
多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。
在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。
优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。
多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。
它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。
例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。
多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。
在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。
在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。
多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。
不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。
总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。
它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
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改进——宽容 X D 分层序列法： (1) : f1 * min f1 X X D 给前面的最优 (2) f 2 * min f2 X 值设定一定的 X Dx| f ( X ) f * 宽容值ε>0, 即 ( p) f p * min f p X 此目标值再差 X D x| f ( X ) f *, j 1, 2 ,, p 1 ε也是可接受 缺点：当前面的问题最优解唯 的! 一时，后面的求解失去意义！
f i : R n R,
X R
j 1,2,..., m; k 1,2,..., l .
p2
g j : R n R, hk : R n R,
求目标函数的最大值或约束条件为大于等于 零的情况，都可通过取其相反数化为上述一 般形式．
定义1 把满足问题中约束条件的解X∈Rn 称为可行解(或可行点)，所有可行点的集 合称为可行集(或可行域)．记为D．即:
4.1 理想点法：
V- min f1 X , f 2 X , , f p X
X D
定义评价函数：
h( F ( X )) h( f1 , , f p )
f ( X ) *
p j 1 j j
2
求解非线性规划问题：
min h( F ( X ))
原问题可简记为
X D
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
定义2 x*是绝对最优解fj(X)≥fj(x*), 任意 X∈D, j=1~ p x*是有效解不存在X∈D , 使得fj(X)≤fj(x*), j=1~ p x*是弱有效解 不存在X∈D , 使得fj(X)<fj(x*), j=1~ p
X D
原理：距理想点最近的点作为最优解!
4.2 平方和加权法：
X D
V- min f1 X , f 2 X , , f p X
先设定单目标规划的下界(想象中的最好值),即 定义评价函数：
h( F ( X )) j 1 j f j ( X ) f
p
多目标规划的基本解法
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
X D
1. 约束法——在多个目标中选定一个主要目标， 而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不 比此期望值坏的条件下，求主要目标的最优值。
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
X D
f1 X min X D 0 0 f 2 ( X ) f 2 , , f p ( X ) f p ,
多目标规划的基本解法
2. 分层序列法——把多个目标按其重要程度排 序，先求出第一个目标的最优解，再在达到此 目标的条件下求第二个目标的最优解，依此类 推直到最后一个求解结束即得到最优解。
1 1
j 1 j 1
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
多目标规划的基本解法
3. 功效系数法——对不同类型的目标函数统一 量纲，分别得到一个功效系数函数，然后求所 有功效系数乘积的最优解。
V- min f1 X , f 2 X , , f p X
每周正常时间生产得A产品数量——x1 每周加班时间生产得A产品数量——x2 每周正常时间生产得B产品数量——x3 每周加班时间生产得B产品数量——x4 约束条件为：
加班最少
利润最大
多目标规划的模型
一般形式:
V- minn f1 X , f 2 X , , f p X
g j X 0 s.t . hk X 0
0 2 j
其中λj为事先给定的一组权系数，满足：
j 0, j 1,2, , p; j 1 j 1
p
求解非线性规划问题：
min h( F ( X ))
X D
原理：平方和加权法体现了通常的“自报公 议”原则——那些强调各自目标重要者预先 给出一个尽可能好的估计，然后“公议”给 出一组表明各目标性的权系数，最后求解非 线性规划给出解答。
X D
j 1,2, , p
max d j ( X )
X D j 1 p
或 max d j ( X )
X D j＝1
p
线性型功效系数法，还有其它类型的方法， 如指数型方法
多目标规划的基本解法
4. 评价函数法——这是一种最常见的方法，就 是用一个评价函数来集中反映各不同目标的重 要性等因素，并极小化此评价函数，得到问题 的最优解。常见的以下几种方法：
多目标规划
引例1： 投资问题
某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用 于建厂投资。若可供选择的项目记为1， 2，...，m。而且一旦对第i个项目投资，就用 去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问 如何如确定最佳的投资方案？ 1 对第i个项目投资
xi 0 不对第i个项目投资
约束条件为：
最佳的投资方案——投资最少、收益最大
投资最少： 收益最大
双目标规划
引例2： 生产问题
某工厂生产两种产品，产品 A 每单位利润 为10元，而产品B每单位利润为8元，产品A每 单位需 3小时装配时间而 B为2小时，每周总装 配有效时间为 120 小时。工厂允许加班，但加 班生产出来的产品利润减去 1 元，根据最近的 合同，厂商每周最少得向用户提供两种产品各 30 单位。要求 :1) 必须遵守合同； 2) 尽可能少 加班；3)利润最大. 问怎样安排生产？
绝对最优解=有效解
有效解=弱有效解
定义3 像集F(R)={F(x)|x∈D}约束集R在映 像F之下的值域 F*是有效点 不存在F∈F(D), 使得F≤F*； F *是弱有效点 不存在F∈F(R), 使得F<F.
有效点 弱有效点
有效点 ＝弱有 效点
多目标规划的基本解法
基本思想——转换为单目标规划问题 (1)约束法 (2)分层序列法 (3)功效系数法 (4)评价函数法