多目标规划与数学模型解析
多目标规划建模-数学建模
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
多目标规划
这种求解多目标问题的解的方法就称为评价函数法。
不同的构造的方法(当然得到不同的有效解) 形成不同的评价函数法。
4.1线性加权法 (最基本的评价函数法)
取(z)=u1z1+u2z2+…+urzr,其中ui≥0,i=1:r,u1+…+ur=1
f i(x’) ≤ f i(x*),(i=1:r,至少有一个严格小于成立)， 而为严格单调增函数，故(f(x’))< (f(x*)) 与x*是单目标函数的最优解矛盾！
f:RnRr, :RrR1,x*是min (f(x))的极小点 s.t. x D
若为单调增函数，则x* Pw(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后 的单目标问题的最优解，即得到原问题的一个弱有效解)
特别地，若ui>0,i=1:r,则可验证(z)是严格单调增函数。
评价算法的理论依据
f:RnRr, :RrR1, x*是min (f(x))的极小点
s.t. x D 若为严格单调增函数，则x* P(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后的 单目标问题的最优解，即得到原问题的一个有效解) 证明:反证法。 设x*P(f,D),则必存在一点x’ D,使得
现验证minf1(x),xD的最优解x*是多目标问题的一个有效解：
按定义只要说明找不到x D使得
f1(x) ≤f1(x*) f2(x)<f2(x*)
或
f1
f2
f1(x)<f1(x*) f2(x)≤f2(x*)
或
x* ·
f1(x) <f1(x*)
f2(x)<f2(x*)
第九章目标规划——多目标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
（1） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小 min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量 要尽可能地小
min Z = f（ d +） （3） 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要 尽可能地小
目标规划 Goal Programming（GP）
第九章
目标规划
——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
目标规划问题及其数学模型
目标规划（ Goal Programming ）方法是Charnes和Cooper于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题 的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
木工 油漆工 1 10
资源总量（小时） 11 10
求解此问题可以得到王老板的最优生产方案： 每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming（GP）
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利 润为其生产、经营的唯一目标。然而，市场经济环境下新的问题不断 出现，它迫使王老板不得不考虑…... 1. 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断 决策减少椅子的产量，其产量最好不超过桌子的产量。 2. 其次，劳动力市场上已招不到符合生产质量要求的木工了，因此 不可能考虑增加木工这种劳动力资源来增加产量，并且由于某种原因 现有木工已不可能再加班。 3. 再次，应尽可能充分利用油漆工的现有的有效工作时间，可以通 过加班使油漆工资源增加，但应考虑油漆工希望最好不加班。 4. 最后，王老板考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
多目标规划模型
图6
LINGO运算后输出为：（参见图7）
图7
• 因此，x1 4, x2 0, d1 ＝d10，
d
2
6, d3就 7是目
标规划的满意解。
第一部分 多目标决策的基本概况
本章将从多目标决策（也称多目标规划）方法 的作用出发，通过分析简单的多目标决策问题的几 个案例，阐述多目标决策的基本概念。任何决策问 题的解决主要依赖于所谓的决策者和分析者。决策 者一般指有权挑选行动方案，并能够从中选择满意 方案作为最终决策的人员。政府官员、企业行政管 理人员均为某类问题的决策者。
40 10
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
0,
j
1,2
用LINGO求解，得最优解
d1
d1＝0
，d
2
6，最优值为6。
具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model: min=d2_; 10*x1+15*x2+d1_-d1=40; x1+x2+d2_-d2=10; d1=0; END
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
缩写形式：
max(min)Z F ( X )
s.t. ( X ) G
有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程， 则：
例 试分析下表所示四个方案的非劣性。
方案
X1 X2 X3 X4
目标函数
多目标规划
多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。
在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。
多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。
多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。
在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。
优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。
多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。
它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。
例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。
多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。
在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。
在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。
多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。
不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。
总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。
它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
目标规划的数学模型概述
3
通过权重调整，可以突出或降低某个目标在整体 优化中的地位，从而在满足其他目标的同时，更 好地实现关键目标。
约束处理策略
约束处理策略是目标规划中处理各种限制条件的关键 技术，包括等式约束、不等式约束和边界约束等。
约束处理策略的目标是在满足所有约束条件的前提下 ，实现目标的优化。
常见的约束处理方法包括消元法、增广拉格朗日乘子 法和罚函数法等，这些方法可以根据问题的特性和约
金融投资中的目标规划
总结词
金融投资中的目标规划旨在实现投资组合的优化配置，以最大化收益或最小化风险为目标。
详细描述
在金融投资中，目标规划用于确定最佳的投资组合配置，以最大化投资收益或最小化投资风险。通过 设定具体的目标函数和约束条件，金融投资中的目标规划可以找到平衡收益和风险的最佳解决方案， 帮助投资者实现投资目标。
最优解是指在满足约束条件的前 提下，使目标函数达到最优值的 解。
目标规划的解法
解析法
解析法是通过分析目标函数的性 质和约束条件的特点，采用数学 分析的方法来求解最优解的方法 。
梯度法
梯度法是通过计算目标函数的梯 度，采用迭代的方法来求解最优 解的方法。
遗传算法
遗传算法是一种基于生物进化原 理的优化算法，通过模拟自然选 择和遗传机制来求解最优解的方 法。
遗传算法在处理多目标优化、约束优化和大规模优化问题时具有较好的性 能表现，广泛应用于机器学习、数据挖掘、机器人等领域。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的随机 搜索算法，通过模拟固体退火过程来寻找最优 解。
模拟退火算法采用一定的概率接受劣质解，以 避免陷入局部最优解，并逐步寻找全局最优解 。
生产计划中的目标规划
计量地理学第四章——线性规划和多目标规划
目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
数学建模必备LINGO在多目标规划和最大最小化模型中的应用
数学建模必备LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用一、多目标规划的常用解法多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有：1．主要目标法确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。
2．线性加权求和法对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑ii ω，然后把)(x f i ii ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。
3．指数加权乘积法设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令∏==pi a i ix f Z 1)]([其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。
4．理想点法先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令∑-=2*))(()(iifx f x h然后把它作为新的目标函数。
5．分层序列法将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不足之处。
例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。
线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。
二、最大最小化模型在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。
例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。
最大最小化模型的目标函数可写成)}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X或)}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
目标规划与多目标规划
总费用为3360.
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
硬约束（供应约束）
系列软约束 （1）用户4必须全部满足
（2）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100单位
（3）每个用户的满足率不低于80%； 四个用户的80%需求量分别为160,80,360,200，即
（4）应尽量满足个用户的要求
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%： （6）因道路限制，工厂2到用户4的路线的运输任务应尽量避免： （7） 用户1和用户3的满足率尽量平衡：
2 目标规划的模型
例2 在上述例1的基础上，计划人员还要求考虑如下意见：
1 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I产 量的一半；
2 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
3 最好能够节约4小时设备工时；
4 计划利润不少于48元。
分析：把这四条意见分别看成营销部门、材料部门、设备管理 部门、财务部门四个部门的目标愿望。那么在决策的时候，如 何协调者四个部门的意愿呢。同等对待每个目标意愿，势必陷 于矛盾中。故当务之急是确定四个目标的重要程度或轻重缓急。 然后根据重要程度逐一协调。下面引入一些新的变量来解决问 题。
目标决策值f
X2-x1/2 5x1+10x2 4x1+4x2 6x1+8x2
数学中的混合整数规划与多目标规划
数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。
本文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。
一、混合整数规划混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。
它的特点是既包含了整数变量，又包含了连续变量。
混合整数规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x,y)$$$$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$$$x \in X , y \in Y$$其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量，$X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。
为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界算法、混合整数线性规划算法等。
这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。
混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物流领域中，为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。
混合整数规划可以帮助解决这类问题，提高效益。
二、多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。
多目标规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$$$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$$$x \in X$$其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。
多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。
帕累托最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。
加权和法是指通过给不同目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。
目标规划数学模型与图解法
12
第2节 解目标规划的图解法
对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来 求解，以例2说明之（图5-1）。
min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
6
第1节 目标规划的数学模型
2.绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生 正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差 变量，它们是软约束。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题， 目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与目标规划模型有关的概念。 1.正、负偏差变量d+，d− 设 x 1 ， x 2 为决策变量，正偏差变量 d ＋ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量 d−表示决策值未达到目标 值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d+×d− = 0。
18
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第2节 解目标规划的图解法
注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最 高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足 d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多 数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足， 故将目标规划问题的最优解称为满意解。
重庆市考研数学建模复习资料建模方法与实例解析
重庆市考研数学建模复习资料建模方法与实例解析重庆市考研数学建模复习资料——建模方法与实例解析一、引言在重庆市考研中，数学建模是一个重要的科目，对于考生来说，需要掌握一些建模方法和实例解析，以提高自己的考试成绩。
本文将介绍几种常见的数学建模方法，并结合具体实例进行解析。
二、线性规划模型线性规划是数学建模中常用的一种方法，其目标是在有限的资源约束下，寻找最优的解。
实例解析：假设某工厂生产A、B两种产品，已知A产品每件利润为3万元，B产品每件利润为4万元。
现有三种资源：人力、材料和时间。
其中人力资源每天最多可使用30人天，材料资源最多可使用60件，时间资源最多可使用20天。
并且，每生产一件A产品需要1人天的人力资源、2件材料和3天的时间，每生产一件B产品需要2人天的人力资源、1件材料和4天的时间。
现在要求最大化总利润。
首先，我们可以设A产品的生产数量为x，B产品的生产数量为y。
那么我们的目标是求解最大化利润函数：Maximize 3x + 4y。
同时，我们需要考虑资源的约束条件：x + 2y ≤ 30、2x + y ≤ 60、3x + 4y ≤ 20。
此时，我们可以使用线性规划模型进行求解，得到最优解x=10，y=10，最大利润为70万元。
三、多目标规划模型多目标规划是指在优化问题中有多个决策变量和多个目标函数的情况下，通过建立数学模型，寻找最优解。
实例解析：某食品公司要生产两种产品A和B，并希望同时最大化利润和最小化生产成本。
已知每生产一件A产品需要消耗2单位的资源，每生产一件B产品需要消耗3单位的资源。
另外，每件A产品的利润是4万元，每件B产品的利润是3万元。
资源的总量为10单位。
我们可以设A产品的生产数量为x，B产品的生产数量为y。
那么我们的目标是同时最大化利润和最小化成本，即Maximize 4x + 3y，Subject to 2x + 3y ≤ 10。
通过求解该多目标规划模型，可以得到最优解x=2，y=2，利润最大化为14万元，成本最小化为10万元。
数学建模中的多目标决策与多准则决策
数学建模中的多目标决策与多准则决策在数学建模中，决策问题一直是一个重要而复杂的研究领域。
在实际应用中，我们常常会面临多个目标和多个准则的抉择，这就需要采用多目标决策和多准则决策的方法来解决。
本文将讨论数学建模中的多目标决策与多准则决策的应用和方法。
一、多目标决策多目标决策是指在决策问题中，存在多个相互联系但又有所独立的目标，我们需要在这些目标之间进行权衡和取舍。
多目标决策的核心是建立一个评价指标体系，将多个目标统一地考虑在内，并找到一个最优化的结果。
在多目标决策中，我们可以采用多种方法来求解最优解。
其中比较常用的方法有以下几种：1.加权法：加权法是将每个指标的重要性进行加权后进行综合评价，得到一个加权和最大的方案作为最优解。
这种方法简单直观，但也存在一定的主观性。
2.约束法：约束法是在满足一定约束条件的前提下，使目标函数最小化或最大化。
通过对各个目标进行约束，可以有效避免因为某个目标过分追求而导致其他目标的损失。
3.非支配排序遗传算法：非支配排序遗传算法是一种基于进化计算的多目标优化算法。
通过对候选解进行非支配排序，并根据解的适应度进行遗传操作，最终得到一组非劣解。
二、多准则决策多准则决策是指在决策问题中，存在多个相互独立但又有一定重叠性的准则，我们需要在这些准则之间进行权衡和衡量，找到最优的方案。
多准则决策通常需要考虑到几个关键因素：准则权重、准则的计算方法和准则的分值范围等。
在多准则决策的过程中，我们可以采用以下几种方法：1.正交实验设计法：正交实验设计法是一种常用的多准则决策方法。
通过合理选择实验设计方案，对多个准则进行全面而又系统地评估，得到最终的决策结果。
2.层次分析法：层次分析法是一种定量分析问题的层次结构的方法。
通过构建层次结构模型，并通过对每个层次的准则进行权重赋值，最终得到一个最优方案。
3.模糊综合评判法：模糊综合评判法是一种基于模糊数学的多准则决策方法。
通过将准则的评价结果转化为模糊数，并进行模糊集的运算，最终得到一个最优的决策方案。
非线性多目标规划模型的建立与求解
非线性多目标规划模型的建立与求解一、绪论随着时代的发展，我国经济已经进入高速发展时期，各个行业都在迫切地需要优化自己的生产和管理模式。
而其中最重要的部分便是如何将多个目标的指标统合起来做出科学的决策。
在这种情况下，多目标规划成为了一个热门的技术，而非线性多目标规划模型更为适用于实际问题。
二、基本概念通俗地说，多目标规划便是在优化模型中不只考虑一个效益函数，而是考虑多个函数同时优化。
它的基本思想是将多个目标指标进行量化和权重分配，然后采用数学模型对这些指标进行统一的优化处理。
而非线性多目标规划模型就是在此基础上引入非线性约束的模型。
简单来说，就是指被优化的一系列目标函数和约束条件至少有一个是非线性函数的优化过程。
三、模型的建立非线性多目标规划模型的建立是一项非常关键的工作。
它不仅要考虑到多个目标的优化，还要考虑对象的多样性和求解难度。
因此，建模过程需要分为以下几步：（1）判断目标的数量和性质，确定优化的目标函数集。
（2）确定约束条件，包括等式约束条件和不等式约束条件。
同时，非线性约束条件也需要被特别考虑。
（3）确定目标函数和约束条件的权重系数。
（4）将以上条件用数学语言表示出来，构建出一个可求解的优化模型。
四、模型的求解非线性多目标规划模型的求解面临的主要问题在于约束条件多、非线性程度高、求解难度大。
为了解决这一问题，我们就需要利用一些优化算法来对模型进行求解。
目前比较常用的算法有以下几种：（1）遗传算法优点：适用于面临约束多、寻优复杂的问题；易于并行化实现。
缺点：缺少数学理论支持；参数设置对结果影响较大。
（2）蚁群算法优点：对复杂的问题具有一定的较强的全局寻优能力；可应用于连续和离散型等多种优化问题。
缺点：求解时间比较长；对问题的依赖性较强。
（3）遗传蚁群算法优点：具有强的全局搜索能力，解的质量较高；求解速度快且稳定性好。
缺点：对于变量的次序和约束的复杂性有一定的敏感度。
（4）粒子群算法优点：能够快速找到全局最优解；发现多种多样的解。
多目标规划模型解读
（1） （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， ? (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
对于线性多目标规划 问题，可以进一步用矩阵表示：
max(min) Z ? CX s.t. AX ? b
式中：
X 为n 维决策变量向量；
C 为k×n 矩阵，即目标函数系数矩阵；
jj l
l
l
j?1
( l ? 1,2,? , L)
n
? a x ? (? , ? )b
ij j
i
j?1
(i ? 1,2,? , m )
x j
?
0
( j ? 1,2,? , n )
d?,d? ll
?
0
(l ? 1,2,? , L )
目标函数 目标约束 绝对约束 非负约束
在以上各式中，
??
+ kl
、?
kl
? ?
x1
?
2x2
?
10
?? x1, x2 ? 0
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为:
x
? 1
?
4,
x
? 2
?
3, Z ?
?
62
（万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如：
① 根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量 。
约束模型
目标规划模型
目标达到法
?目标规划方法
?目标规划模型
?目标规划的图解法
?求解目标规划的单纯形方法
?多目标规划应用实例
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改进——宽容 X D 分层序列法： (1) : f1 * min f1 X X D 给前面的最优 (2) f 2 * min f2 X 值设定一定的 X Dx| f ( X ) f * 宽容值ε>0, 即 ( p) f p * min f p X 此目标值再差 X D x| f ( X ) f *, j 1, 2 ,, p 1 ε也是可接受 缺点：当前面的问题最优解唯 的! 一时，后面的求解失去意义！
f i : R n R,
X R
j 1,2,..., m; k 1,2,..., l .
p2
g j : R n R, hk : R n R,
求目标函数的最大值或约束条件为大于等于 零的情况，都可通过取其相反数化为上述一 般形式．
定义1 把满足问题中约束条件的解X∈Rn 称为可行解(或可行点)，所有可行点的集 合称为可行集(或可行域)．记为D．即:
4.1 理想点法：
V- min f1 X , f 2 X , , f p X
X D
定义评价函数：
h( F ( X )) h( f1 , , f p )
f ( X ) *
p j 1 j j
2
求解非线性规划问题：
min h( F ( X ))
原问题可简记为
X D
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
定义2 x*是绝对最优解fj(X)≥fj(x*), 任意 X∈D, j=1~ p x*是有效解不存在X∈D , 使得fj(X)≤fj(x*), j=1~ p x*是弱有效解 不存在X∈D , 使得fj(X)<fj(x*), j=1~ p
X D
原理：距理想点最近的点作为最优解!
4.2 平方和加权法：
X D
V- min f1 X , f 2 X , , f p X
先设定单目标规划的下界(想象中的最好值),即 定义评价函数：
h( F ( X )) j 1 j f j ( X ) f
p
多目标规划的基本解法
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
X D
1. 约束法——在多个目标中选定一个主要目标， 而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不 比此期望值坏的条件下，求主要目标的最优值。
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
X D
f1 X min X D 0 0 f 2 ( X ) f 2 , , f p ( X ) f p ,
多目标规划的基本解法
2. 分层序列法——把多个目标按其重要程度排 序，先求出第一个目标的最优解，再在达到此 目标的条件下求第二个目标的最优解，依此类 推直到最后一个求解结束即得到最优解。
1 1
j 1 j 1
V- min f1 X , f 2 X ,, f p X
多目标规划的基本解法
3. 功效系数法——对不同类型的目标函数统一 量纲，分别得到一个功效系数函数，然后求所 有功效系数乘积的最优解。
V- min f1 X , f 2 X , , f p X
每周正常时间生产得A产品数量——x1 每周加班时间生产得A产品数量——x2 每周正常时间生产得B产品数量——x3 每周加班时间生产得B产品数量——x4 约束条件为：
加班最少
利润最大
多目标规划的模型
一般形式:
V- minn f1 X , f 2 X , , f p X
g j X 0 s.t . hk X 0
0 2 j
其中λj为事先给定的一组权系数，满足：
j 0, j 1,2, , p; j 1 j 1
p
求解非线性规划问题：
min h( F ( X ))
X D
原理：平方和加权法体现了通常的“自报公 议”原则——那些强调各自目标重要者预先 给出一个尽可能好的估计，然后“公议”给 出一组表明各目标性的权系数，最后求解非 线性规划给出解答。
X D
j 1,2, , p
max d j ( X )
X D j 1 p
或 max d j ( X )
X D j＝1
p
线性型功效系数法，还有其它类型的方法， 如指数型方法
多目标规划的基本解法
4. 评价函数法——这是一种最常见的方法，就 是用一个评价函数来集中反映各不同目标的重 要性等因素，并极小化此评价函数，得到问题 的最优解。常见的以下几种方法：
多目标规划
引例1： 投资问题
某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用 于建厂投资。若可供选择的项目记为1， 2，...，m。而且一旦对第i个项目投资，就用 去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问 如何如确定最佳的投资方案？ 1 对第i个项目投资
xi 0 不对第i个项目投资
约束条件为：
最佳的投资方案——投资最少、收益最大
投资最少： 收益最大
双目标规划
引例2： 生产问题
某工厂生产两种产品，产品 A 每单位利润 为10元，而产品B每单位利润为8元，产品A每 单位需 3小时装配时间而 B为2小时，每周总装 配有效时间为 120 小时。工厂允许加班，但加 班生产出来的产品利润减去 1 元，根据最近的 合同，厂商每周最少得向用户提供两种产品各 30 单位。要求 :1) 必须遵守合同； 2) 尽可能少 加班；3)利润最大. 问怎样安排生产？
绝对最优解=有效解
有效解=弱有效解
定义3 像集F(R)={F(x)|x∈D}约束集R在映 像F之下的值域 F*是有效点 不存在F∈F(D), 使得F≤F*； F *是弱有效点 不存在F∈F(R), 使得F<F.
有效点 弱有效点
有效点 ＝弱有 效点
多目标规划的基本解法
基本思想——转换为单目标规划问题 (1)约束法 (2)分层序列法 (3)功效系数法 (4)评价函数法