随机过程课程第五章 平稳过程

R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )] B( )
则称X (t) 为宽平稳过程， 简称 平稳过程
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当T为整数集 或 {nt ，n=0,1,2,…}时
则称 X (t) 为 平稳时间序列
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
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R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
所以对任一 ，有
tk tl
(t1 ,t2 , ,tn ；1,2, ,n )
(t1, t2 , , tn；1,2 , ,n )
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即特征函数不因时间推移而改变。
由特征函数与分布函数的唯一确定性，必有
F (t1 ,t2 , ,tn ；x1, x2, , xn )
F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn )
| B( ) | B(0)
证 由许瓦兹不等式得
| B( ) |2 | E[ X (t ) X (t)] |2 E[( X (t ))2 ]E[( X (t))2 ]
E[X (t ) X (t )]E[X (t)X (t)] [B(0)]2
注 说明相关函数B( ) 在 0 时取得最大值
若令 t2 ，得
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 t2 ,0；x1, x2 )
f (；x1, x2 )
其中 t1 t2
同理 二维分布函数也仅与时间差 t1 t2 有关，
而与时间起点无关，即
F(t1,t2；x1, x2 ) F(；x1, x2 )
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2 若严平稳过程存在二阶矩，则
E{[X (t ) m(t )][X (t) m(t)]}
E{[ X (t )X (t)] mE[X (t)] mE[X (t )] m2
R(t ,t ) m2 B( ) m2
K ( )
即表示协方差函数仅依赖于 ，而与t无关，与相关
函数相同。
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例1 设{ X (t) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
则有 E{X (s)[X (t) X (s)]} 0
即 E[ X (s) X (t)] E[ X 2 (s)]
所以 X (t) 的相关函数
R(s,t) E[ X (s) X (t)] E[ X 2 (s)] D(s)
同样 若 t s 可得
R(s,t) D(t)]
故
R(s,t) D[min(s,t)]
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。 注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程
的平稳性。
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因为 均值函数 m(t) m
协方差函数
K (t ,t ) cov[X (t ), X (t)]
其中T 0，1， 2， ， 且均值和方差为
E[ X (t)] 0 D[ X (t)] 2 试讨论随机变量序列 X (t) 的平稳性。
解 因为 E[ X (t)] 0
R(t ,t ) E[ X (t ) X (t)]
2，当 0
0，当
0
故 X (t) 是一个平稳时间序列。
注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪
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E[Y(t )X (t )] BYX ( )
| BXY ( ) |2 BX (0)BY (0)
| BXY ( ) |2 | E[ X (t )Y (t)] |2
E | X (t ) |2 E | Y (t) |2 BX (0)BY (0)
性质8
2 | BXY ( ) | BX (0) BY (0)
i 1
二、互相关函数性质
对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关， 因此先给出平稳相关概念。
定义1 设{ X (t) ,t T }，{Y (t) ,t T }是两个平稳过程，
如果对于任意的t, T ，有 E[ X (t )Y (t)] BXY ( )
则称 X (t) 与Y (t) 平稳相关
mY (t) E[Y (t)] E[U sin tV cos t] 0
X (t) 的自相关函数
BX ( ) E[ X (t ) X (t)]
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E[(U cos(t ) V sin(t )) (U cost V sint)]
E(U 2) cos(t ) cost E(V 2 )sin(t )sint
声”，它是实际中最常用的噪声模型。
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例2 设随机序列{ X (t) sin 2t ，t T }，
其中T={1，2，…} 是在[0，1]上服从均匀分
布的随机变量，
试讨论随机序列 X (t) 的平稳性。
解 的密度函数为
1, 0 x 1
所以
f (x) 0, 其它
1
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E[ X (t)] sin 2txdx 0
若X
则
(t
)
与Y (t
BZ ( )
) 正交（即 E[( BX ( ) BY ( )
X
(t1
)Y
(t
2
)]
0
）
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性质10 若平稳过程 X (t) 与Y (t) 是独立的 则积
W (t) X (t) Y (t)
也是平稳过程 其相关函数为
BW ( ) BX ( ) BY ( )
例1 设有两个随机过程 X (t) U cos tV sin t
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i1 j 1
证
nn
nn
B(i j )aia j
E[ X ( i ) X ( j )]aia j
i1 j1
i1 j1
nn
n
n
E[
[ X (i ) X ( j )aia j ] E[ ( X ( i )ai ) (X ( j )a j )]
i1 j 1
n
i 1
j 1
E[ ( X (i )ai )2 ] 0
0
R(t ,t )
1
sin 2 (t )x sin 2txdx
0
故 X (t) 是平稳随机序列。
1 ，当
2
0
0，当 0
注 例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
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第二节 平稳过程相关函数的性质
一、自相关函数的性质
性质1 证
性质2
B(0) 0
B(0) R(t, t ) E[ X (t)2 ] 0
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第四节 遍历性定理
介绍从一次试验所获得的一个样本函数来
决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可 以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。
一、基本概念
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定义1
设{ X (t) , t }为随机过程，
X (t) l.i.m
1
T
X (t)dt
T 2T T
称 X (t) 为沿整个时间数轴上的时间均值；
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正态过程 X (t) 的n维特征函数为
(t1, t2 , , tn；1,2 , ,n )
expim n k
k1
1 2
n k 1
n l 1
K
(tk
,
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t1
)
k
l
由过程的平稳性得
K(tk ,tl ) E{[ X (tk ) m][ X (tl ) m]}
R(tk , tl ) m2 B( ) m2
注
两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于
时，它们才是平稳相关的。
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性质5
BXY (0) BYX (0)
证
BXY (0) E[X (t)Y (t)] E[Y (t)X (t)] BYX (0)
性质6 证
性质7 证
BXY ( ) BYX ( )
BXY ( ) E[X (t )Y (t)]
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性质3 B( ) 为偶函数： B( ) B( )
证
B( ) E[ X (t ) X (t)]
E[X ((t ) )X (t )] B( )
性质4 B( ) 具有非负定性 即对任意的2n个实数
a1, a2 , , an 与1, 2 , , n ，有
nn
B( i j )aia j 0
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
Y (t) U sin tV cos t t
其中U和V是均值都为零、方差都为 2 的不相
关随机变量，
试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相 关函数。
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解 因为 E(U ) E(V ) 0 D(U ) D(V ) 2
所以 mX (t) E[ X (t)] E[U cost V sint] 0
证 由性质7得 | BXY ( ) | BX (0)BY (0)
而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证
性质9
BX
(0)BY
(0)
1 2
(BX
(0)
BY
(0))
若平稳过程 X (t) 和Y (t) 是平稳相关， 则和
Z(t) X (t) +Y (t)
也是平稳过程。 其相关函数为
BZ ( ) BX ( ) BY ( ) BXY ( ) BYX ( )
而与时间起点无关。
证
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一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
P{X (t1 ） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )} F(t1 ,t2 , ,tn ；x1, x2, , xn )
则 X (t) 称为严平稳过程
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二、严平稳过程的特点
1 严平稳过程 X (t) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关，
二维概率密度f (t1,t2；x1, x2 ) 仅与时间差 t1 t2有关，
这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，
即 X (t)是一个严平稳过程。
说明
对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程； 严平稳过程也一定是宽平稳过程。
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二、正交增量过程
定义2 若二阶矩过程{ X (t) ，t T }对于任意的
t1 t2 t3 t4 t1, t2 , t3 , t4 T 有
E{[ X (t2 ) X (t1)][ X (t4 ) X (t3)]} 0
则X (t)称为正交增量过程。
定理1 设{ X (t) ，t [a,b] }为均值为零的正交增量过程，
R(s,t) 、 D(t) 为其相关函数和方差，且
X（a）= 0 则
R(s,t) D[min(s,t)]
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证 取 t1 a ，t2 t3 s ，t4 t ， 其中 s t
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
x1 x2
f
(t1, t2；x1,
x2
)dx1dx2
记
x1 x2
f
(；x1,
x2
)dx1dx2
B( )
三、宽平稳过程
定义2 设随机过程{ X (t) ，t T }， 如果它满足：
（1） X (t) 是二阶矩过程；
（2）均值函数为常数，即 m(t) E[X (t)] m
（3）相关函数 R(t1,t2 ) 仅依赖 t1 t2 ，即
2 cos
同样可求得 BY ( ) 2 cos
故 X (t) 、Y (t) 都是平稳过程。
X (t) 、Y (t) 的互相关函数为
BXY ( ) E[ X (t )Y (t)]
E[(U cos(t ) V sin(t )) (U sin tV cos t)] 2( cos(t )sin t sin(t )cos t) 2 sin