随机过程课程第五章 平稳过程
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随机过程及其平稳性
称为1 和 2 的“协方差”（Covariance）。
24
• 相关系数
设随机变量 1和 2 的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
1000
Z2
12
非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
5000
6000
13
趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 14
15
在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
x,y),ok.
• 点击序列x或y的图标，输入数据。 • Quick/Graph/Line Graph
16
序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或 T 1，2， 等，则称xt 为随机序列。T代表时间
例1 用图形判断某地区人均收入
和人均消费数据的平稳性（数据 见教材例3-1）
24
• 相关系数
设随机变量 1和 2 的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
1000
Z2
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非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
5000
6000
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趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 14
15
在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
x,y),ok.
• 点击序列x或y的图标，输入数据。 • Quick/Graph/Line Graph
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序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2， 或 T 1，2， 等，则称xt 为随机序列。T代表时间
例1 用图形判断某地区人均收入
和人均消费数据的平稳性（数据 见教材例3-1）
定义平稳过程课件
该模型是自回归模型和移动平均模型的结合，可以更好地捕捉时间序列数据的短期和长期 依赖性。
自动回归整合移动平均模型（ARIMA）
该模型在ARMA模型的基础上引入了差分项，以处理非平稳时间序列数据。
季节性自动回归整合移动平均模型（SARIMA）
该模型在ARIMA模型的基础上引入了季节性因素，以处理具有季节性影响的时间序列数 据。
气候变化数据
01
气候变化数据也是一种常见的平 稳时间序列数据。这等。
02
通过对气候变化数据的分析，可 以了解气候变化的趋势和模式， 进而做出更明智的环境保护决策 和气候应对措施。
其他时间序列数据
其他常见的时间序列数据包括电力消耗数据 、交通流量数据、销售数据等。
平稳过程的判断方法
方法一
观察均值和方差是否随时间变化。如果均值和方差在任何时间点上都保持恒定 ，那么该过程是平稳的。
方法二
使用样本均值和方差。计算样本均值和方差，并观察它们是否随时间变化。如 果样本均值和方差在任何时间点上都保持恒定，那么该过程是平稳的。
平稳过程的实际应用
应用一
在金融领域，平稳过程被用于建模股 票价格的波动。通过使用平稳过程， 可以更好地理解股票价格的波动性和 风险。
计系统状态的目的。
小波变换滤波方法
利用小波变换的方法，将信号分 解成不同的频率成分，并对不同 频率成分进行滤波处理，以达到
信号处理的目的。
05
平稳过程的实例分析
股票价格数据
股票价格数据是一种常见的平稳时间 序列数据。这些数据通常记录了股票 价格的变动，例如每天的收盘价、最 高价、最低价等。
VS
平稳时间序列数据的分析对于股票市 场分析和预测非常重要。通过对股票 价格数据的分析，可以了解股票市场 的趋势和波动性，进而做出更明智的 投资决策。
自动回归整合移动平均模型（ARIMA）
该模型在ARMA模型的基础上引入了差分项，以处理非平稳时间序列数据。
季节性自动回归整合移动平均模型（SARIMA）
该模型在ARIMA模型的基础上引入了季节性因素，以处理具有季节性影响的时间序列数 据。
气候变化数据
01
气候变化数据也是一种常见的平 稳时间序列数据。这等。
02
通过对气候变化数据的分析，可 以了解气候变化的趋势和模式， 进而做出更明智的环境保护决策 和气候应对措施。
其他时间序列数据
其他常见的时间序列数据包括电力消耗数据 、交通流量数据、销售数据等。
平稳过程的判断方法
方法一
观察均值和方差是否随时间变化。如果均值和方差在任何时间点上都保持恒定 ，那么该过程是平稳的。
方法二
使用样本均值和方差。计算样本均值和方差，并观察它们是否随时间变化。如 果样本均值和方差在任何时间点上都保持恒定，那么该过程是平稳的。
平稳过程的实际应用
应用一
在金融领域，平稳过程被用于建模股 票价格的波动。通过使用平稳过程， 可以更好地理解股票价格的波动性和 风险。
计系统状态的目的。
小波变换滤波方法
利用小波变换的方法，将信号分 解成不同的频率成分，并对不同 频率成分进行滤波处理，以达到
信号处理的目的。
05
平稳过程的实例分析
股票价格数据
股票价格数据是一种常见的平稳时间 序列数据。这些数据通常记录了股票 价格的变动，例如每天的收盘价、最 高价、最低价等。
VS
平稳时间序列数据的分析对于股票市 场分析和预测非常重要。通过对股票 价格数据的分析，可以了解股票市场 的趋势和波动性，进而做出更明智的 投资决策。
平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
刘次华 随机过程 第五章
i∈ I
1 1 2
i∈I
i
ij
(t )
i∈I
n−1i n
(t n − t n −1 )
5.1 连续时间马尔可夫链
例5.1 证明泊松过程{X(t), t≥0}为连续时间 齐次马尔可夫链。 证明：先证泊松过程的马尔可夫性。 证明： 泊松过程是独立增量过程，且X(0)=0，对 任意0<t1< t2<…< tn< tn+1有
j ≠i
1 − pii (∆t ) qii = lim = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆t 注：一般而言qii
∑p
j ≠i
ij
(∆t )
∆t
= ∑ qij
j ≠i
∑q
j ≠i
ij
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状态 空间I={0,1,2,…,n}, 则
⎛ − q00 ⎜ ⎜ q10 Q= ⎜ ⎜ ⎜ q ⎝ n0 q01 − q11 qn1 q0 n ⎞ ⎛ Q1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ q1n ⎟ ⎜ Q2 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ − qnn ⎠ ⎝ Qn ⎠
5.1 连续时间马尔可夫链
定义5.2 齐次转移概率 pij(s,t)=pij(t) (与起始时刻s无关，只与时间间隔t有关) 转移概率矩阵P(t)=(pij(t)) ，i,j∈I，t ≥0 命题：若τi为过程在状态转移之前停留在 命题： 状态i的时间，则对s, t≥0有 (1) P{τ i > s + t | τ i > s} = P{τ i > t} (2) τi 服从指数分布 证(1) 事实上
5.1 连续时间马尔可夫链
过程在状态转移之前处于状态i的时间τi服 从指数分布 Fτ i ( x ) = 1 − e − λi x F (1)当λi=+∞时， τ ( x ) = 1, P{τ i > x} = 1 − Fτ ( x ) = 0, 状态i的停留时间τi 超过x的概率为0， 则称状态i为瞬时状态； F (2)当λi=0时，τ ( x ) = 0, P{τ i > x} = 1 − Fτ ( x ) = 1, 状态i的停留时间τi 超过x的概率为1，则 称状态i为吸收状态。
1 1 2
i∈I
i
ij
(t )
i∈I
n−1i n
(t n − t n −1 )
5.1 连续时间马尔可夫链
例5.1 证明泊松过程{X(t), t≥0}为连续时间 齐次马尔可夫链。 证明：先证泊松过程的马尔可夫性。 证明： 泊松过程是独立增量过程，且X(0)=0，对 任意0<t1< t2<…< tn< tn+1有
j ≠i
1 − pii (∆t ) qii = lim = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆t 注：一般而言qii
∑p
j ≠i
ij
(∆t )
∆t
= ∑ qij
j ≠i
∑q
j ≠i
ij
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状态 空间I={0,1,2,…,n}, 则
⎛ − q00 ⎜ ⎜ q10 Q= ⎜ ⎜ ⎜ q ⎝ n0 q01 − q11 qn1 q0 n ⎞ ⎛ Q1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ q1n ⎟ ⎜ Q2 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ − qnn ⎠ ⎝ Qn ⎠
5.1 连续时间马尔可夫链
定义5.2 齐次转移概率 pij(s,t)=pij(t) (与起始时刻s无关，只与时间间隔t有关) 转移概率矩阵P(t)=(pij(t)) ，i,j∈I，t ≥0 命题：若τi为过程在状态转移之前停留在 命题： 状态i的时间，则对s, t≥0有 (1) P{τ i > s + t | τ i > s} = P{τ i > t} (2) τi 服从指数分布 证(1) 事实上
5.1 连续时间马尔可夫链
过程在状态转移之前处于状态i的时间τi服 从指数分布 Fτ i ( x ) = 1 − e − λi x F (1)当λi=+∞时， τ ( x ) = 1, P{τ i > x} = 1 − Fτ ( x ) = 0, 状态i的停留时间τi 超过x的概率为0， 则称状态i为瞬时状态； F (2)当λi=0时，τ ( x ) = 0, P{τ i > x} = 1 − Fτ ( x ) = 1, 状态i的停留时间τi 超过x的概率为1，则 称状态i为吸收状态。
第五讲-平稳随机过程
E[ X 2 (t )] = RX (0) = 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数： 相关系数：
rX (τ ) =
K X (τ )
σ
2 X
=
2 RX (τ ) − mX 2 σX
相关时间： 相关时间：
τ 0 = ∫ rX (τ )dτ
(4) 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量， 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，
X (t ) = A cos( ω 0 t + Φ ) + N (t )
A2 R X (τ ) = cos ω 0τ + RN (τ ) 2
(5)
2 2 RX (0) = σ X + mX
3 2 3
E ( XY ) = E (YX ) = E ( X ) E (Y ) = 0
mZ (t ) = E[ Z (t )] = E[ X ]cos t + E[Y ]sin t = 0
RZ (t1 , t2 ) = E[ Z (t1 ) Z (t2 )] = E{[ X cos t1 + Y sin t1 ][ X cos t2 + Y sin t2 ]} = E[ X 2 ]cos t1 cos t2 + E[Y 2 ]sin t1 sin t2 + E[ XY ]cos t1 sin t2 + E[YX ]sin t1 cos t2 = 2 cos t1 cos t2 + 2 sin t1 sin t2 = 2 cos(t1 − t2 ) = 2 cos τ
RX (τ ) = 100 cos10τ + (100e −10|τ | + 100)
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
随机过程习题解答第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑（其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2） 其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 （2）'1()(0)Xp E X fjb∴==（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得：()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数）。
X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数）。
解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==（01y ≤≤） ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ （2）ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkk X =∑的分布。
平稳过程
2T
则得X(t)在(-∞,∞)的平均功率为
1 RX (0) 2
S X ( )d.
13
5. 平稳随机信号的功率谱密度与相关函数的关系 设 | RX ( ) | d ห้องสมุดไป่ตู้, 则
S X ( ) RX ( )ei d F [ RX ( )],
F ( )e d dt
1 2 1 2
1 2
_______
Fx ( ) x(t )e it dt d
_______
Fx ( ) Fx ( )d
| Fx ( ) |2 d
11
3. 信号x(t)在(-∞,∞)的平均功率
1 x (t )dt 2
2
| Fx ( ) | d | Fx (2f ) |2 df
2
信号在时间 (t, t+dt)中的电功 信号x(t) 的总能量 谐分量在频带 [f, f +df ]中的能量
在时域中求得的信号能量和在频域中求得的 信号能量相等.
X(t)的(自)谱密度.
15
~ 若还有 | RX ( ) | d , 则 F ( ) 可微, 此时有
1 RX ( ) 2
S X ( )ei d F -1 [ S X ( )],
S X ( ) RX ( )ei d F [ RX ( )],
x(t ) sin tdt Im Fx ( ) ( ) arctan arctan Re Fx ( ) x(t ) costdt
则得X(t)在(-∞,∞)的平均功率为
1 RX (0) 2
S X ( )d.
13
5. 平稳随机信号的功率谱密度与相关函数的关系 设 | RX ( ) | d ห้องสมุดไป่ตู้, 则
S X ( ) RX ( )ei d F [ RX ( )],
F ( )e d dt
1 2 1 2
1 2
_______
Fx ( ) x(t )e it dt d
_______
Fx ( ) Fx ( )d
| Fx ( ) |2 d
11
3. 信号x(t)在(-∞,∞)的平均功率
1 x (t )dt 2
2
| Fx ( ) | d | Fx (2f ) |2 df
2
信号在时间 (t, t+dt)中的电功 信号x(t) 的总能量 谐分量在频带 [f, f +df ]中的能量
在时域中求得的信号能量和在频域中求得的 信号能量相等.
X(t)的(自)谱密度.
15
~ 若还有 | RX ( ) | d , 则 F ( ) 可微, 此时有
1 RX ( ) 2
S X ( )ei d F -1 [ S X ( )],
S X ( ) RX ( )ei d F [ RX ( )],
x(t ) sin tdt Im Fx ( ) ( ) arctan arctan Re Fx ( ) x(t ) costdt
(解答)《随机过程》第五章习题
T 2 (u)du
0
T 0
2
(v)dv
P
2
1 T T E{ 2 (u) 2 (v)}dudv P 2 T2 0 0
1 T2
T 0
T 0
[
R2
(0)
2
R2
(u
v)]dudv
P
2
2
T2
T 0
T 0
R2
(u
v)dudv
H ( j) 2 1
j
2 2
由维纳－辛嵌定理，有：
S
()
F[R
(
)]
2
2
2
2
由输入输出功率谱的关系，有：
因此，我们有
S ()
H ( j) 2 S ()
( 2
2
2
2 )( 2
2)
2
2
2 2
2
H ( j) 2 Sn ()
N0 2( 2 2 )
由维纳－辛嵌定理，有：
由于
R
( )
F
1[S
()]
N0 4
e
E{(t)} 0 ， D{(t)}
E{(t)(t)} 2[R (0) R (T )]
N0 2
1 eT
ˆ
（1）在 t 0 时输出(0) 大于 y 的概率 P{(0) y}；
（2）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 ；
（3）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 。
4平稳随机过程
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
3．自相关函数的性质
性质1.Rx(0)≥0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]≥0
R(τ)
0
τ
性质2. Rx(τ)为偶函数，即Rx(-τ)=Rx(τ) 证： Rx(-τ)=E[X(t)X(t-τ)]= E[X(t-τ)X(t)]= Rx(τ) 性质3.|Rx(τ)|≤ Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
且E[Xn]=0,D(Xn)=σ2>0,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0,
σ 2 E[ X n X m ] = 0 n=m n≠m
故其均值函数µX(n)=0为常数,其自相关函数 RX(n,m)只 与m-n有关,所以它是平稳时间序列。
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Θ) ，a, ω0为常数，
例2: 设X(t)=Asin(ωt+Θ)，Y(t)=Bsin(ωt+Θ-Φ),A,B,
Φ, ω为常数，Θ在(0,2π)上服从均匀分布，求RXY(τ)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
R XY (τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )]
= E [ A sin(ω t + Θ ) B sin(ω t + ω τ + Θ − Φ )]
随机过程第五章 平稳随机过程
1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
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随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,
),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
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三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
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注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
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讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0
《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程
E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
满足下列条件，则称作为随机电报信号。 ㈠ 相继取值+I或-I , 且
1 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 2 ㈡ 在任意区间 [t, t ) 内信号变化的次数
N ( t , t ) 服从泊松分布
( )k P{ N ( t , t ) k } e , k 0,1,2, k! 也即在区间 [0, t ) ，电报信号变化次数
2
其中, 为整数，故随机序列的均值
为常数, 相关函数仅与 有关。因此，它
是平稳随机序列。
例：设随机过程 X ( t ) a cos( 0 t ) 式中, a, 0 为常数， 是在 (0,2 ) 上 服从均匀分布的随机变量, 证明 X (t )是 平稳过程。 证: 由于
~ U (0,2 )
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
一、严平稳随机过程及其数字特征 定义：随机过程 { X ( t ), t T } 若对整数n 任意的 t1 , t 2 ,, t n T 以及任意的实数
平稳过程
, xn ; t1 , t2 ,
, tn ) , tn )
, xn , t1 , t2 ,
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特] (t ) f ( )d
0 T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如
果
且
E [ X (t )] M X 常数
E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
性质4.2
随机过程-平稳性简要笔记
随机过程理论定义： 设{X (t ),t ∈T } 是随机过程，如果：(1) {X (t ),t ∈T }是二阶矩过程；(2) 对任意的t ∈T,m x (t )=EX (t )=常数；(3)对任意的s,t ∈T,Rx (s,t )=E [X (s )X (t )]=Rx (s −t );则称{X (t ),t ∈T }为广义平稳过程，简称为平稳过程。
大数定理: 设独立同分布的随机变量序列{X n ,n =1,2,3⋯}具有E [X n ]=m,D [X n ]=σ2 (n =1,2,3⋯)，则lim N→∞P {|1N ∑X k Nk=1−m|<ε}=1 大数定律表明，随着时间n 的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以来越来越大的概率近似于过程的统计平均。
也就是说，只要观测时间足够长，则随机过程的每个样本函数能够‘遍历’各种状态。
随机过程的这种特性即谓遍历性或埃尔古德性，或叫各态历经性。
根据随机过程的定义可知，对于每一个固定的t ∈T ，X(t)是一个随机变量，E [X (t )]=m x (t)为统计的平均；对于每一个固定的e ∈Ω，X(t)为普通的时间函数，若在T 上对t 取平均，即得时间平均。
定义： 设{X (t ),−∞<t <+∞}为均方连续的平稳过程，则分别称：〈X (t )〉=l.i.m T →∞12T ∫X (t )dt T −T〈X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅〉=l.i.m T →∞12T ∫X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅T −Tdt 为该过程的时间平均和时间相关函数。
定义： 设{X (t ),−∞<t <+∞}为均方连续的平稳过程，若〈X(t)〉=E[X(t)]，即：l.i.m T →∞12T ∫X(t)dt T −T=m x 以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若〈X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅〉Pr.1=E[X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅]，即 l.i.m T →∞12T ∫X(t)X(t −τ)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅T −Tdt =R x (τ) 以概率1成立，则称该平稳随机过程的相关函数具有各态历经性。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
《随机过程——计算与应用》课件平稳过程4
RX ( ) e2 , (, )
试计算X的谱密度.
解
谱密度S（X ）
e
j
RX
(
)d
e j e2 d
2 cos( )e2 d 0
4
4 2 2
,
(, )
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程，
且满足 E[Xt -Xs ]2 t s , 令 Yt Xt -Xt1,
k l =-
+
2 ckckm RY (m) k=-
Y为平稳序列.
+
又
RY (m)
2 ckckm
m
m k=-
+
2
ck ckm
m k=-
+
2
ck cl
k=- l
令 kml
2 ( ck ) cl
k
l
（2 ck ）2 k
所以Y 存在谱密度.
Y的谱密度
又称
lim E[ 1
T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
绝对可积,则有
SX ()
e
jt
RX
(
)dt
证明 因为
1E 2T
T T
e
jt
X t dt
2
1 2T
E[
T T
e
js
X
s
ds
T T
e
jt
X
T
X
e
jwu
平稳过程
RZ (t1t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )] E[( X cost1 Y sin t1)( X cost2 Y sin t2 )]
E[ X 2 cost1 cost2 Y 2 sin t1 sin t2 XY cost1 sin t2 XY sin t1 cost2 ]
[(1) 2
E[ X (t) X (t )]
E
A
cos
(
t
)
A
cos
(
t
)
A2 2
Ecos(2 t
2 ) cos
A2 2
cos
另一方面，对
的一个可能取值
[0,2 ]
，相
应便有过程的一个样本函数 x(t) Acos( t ) ，
于是
lim lim 1 T xtdt
1 T Acost dt
解： RXY ( ) E[X (t)Y (t )]
E[Asin( t )Bsin( t )]
2
ABsin( t )sin( t )
1
d
0
2
AB
2
sin( t )[sin( t )cos( ) cos( t )sin( )d
2 0
AB cos( ) 2
RYX
( )
RXY
（2）RXN ( ) E[X (t )N(t)] E[X (t )EN(t)] 0,
❖ 5、设随机过程 X（t） a cos(t )和Y（t） bsin(t ) 是单独且联合平稳随机过程，其中a,b,
为常数， 是在（0， ）上服从均匀分布的随
机变量。求 和 RX（Y ） RY（X ）. 解：（1）RXY E[a cos(t )bsin(t )]
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（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
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R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
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一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
i 1
二、互相关函数性质
对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关， 因此先给出平稳相关概念。
定义1 设{ X (t) ,t T }，{Y (t) ,t T }是两个平稳过程，
如果对于任意的t, T ，有 E[ X (t )Y (t)] BXY ( )
则称 X (t) 与Y (t) 平稳相关
E{[X (t ) m(t )][X (t) m(t)]}
E{[ X (t )X (t)] mE[X (t)] mE[X (t )] m2
R(t ,t ) m2 B( ) m2
K ( )
即表示协方差函数仅依赖于 ，而与t无关，与相关
函数相同。
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例1 设{ X (t) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
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E[Y(t )X (t )] BYX ( )
| BXY ( ) |2 BX (0)BY (0)
| BXY ( ) |2 | E[ X (t )Y (t)] |2
E | X (t ) |2 E | Y (t) |2 BX (0)BY (0)
性质8
2 | BXY ( ) | BX (0) BY (0)
声”，它是实际中最常用的噪声模型。
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例2 设随机序列{ X (t) sin 2t ，t T }，
其中T={1，2，…} 是在[0，1]上服从均匀分
布的随机变量，
试讨论随机序列 X (t) 的平稳性。
解 的密度函数为
1, 0 x 1
所以
f (x) 0, 其它
1
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E[ X (t)] sin 2txdx 0
0
R(t ,t )
1
sin 2 (t )x sin 2txdx
0
故 X (t) 是平稳随机序列。
1 ，当
2
0
0，当 0
注 例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
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第二节 平稳过程相关函数的性质
一、自相关函数的性质
性质1 证
性质2
B(0) 0
B(0) R(t, t ) E[ X (t)2 ] 0
其中T 0，1， 2， ， 且均值和方差为
E[ X (t)] 0 D[ X (t)] 2 试讨论随机变量序列 X (t) 的平稳性。
解 因为 E[ X (t)] 0
R(t ,t ) E[ X (t ) X (t)]
2，当 0
0，当
0
故 X (t) 是一个平稳时间序列。
注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )] B( )
则称X (t) 为宽平稳过程， 简称 平稳过程
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当T为整数集 或 {nt ，n=0,1,2,…}时
则称 X (t) 为 平稳时间序列
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
| B( ) | B(0)
证 由许瓦兹不等式得
| B( ) |2 | E[ X (t ) X (t)] |2 E[( X (t ))2 ]E[( X (t))2 ]
E[X (t ) X (t )]E[X (t)X (t)] [B(0)]2
注 说明相关函数B( ) 在 0 时取得最大值
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i1 j 1
证
nn
nn
B(i j )aia j
E[ X ( i ) X ( j )]aia j
i1 j1
i1 j1
nn
n
n
E[
[ X (i ) X ( j )aia j ] E[ ( X ( i )ai ) (X ( j )a j )]
i1 j 1
n
i 1
j 1
E[ ( X (i )ai )2 ] 0
注
两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于
时，它们才是平稳相关的。
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性质5
BXY (0) BYX (0)
证
BXY (0) E[X (t)Y (t)] E[Y (t)X (t)] BYX (0)
性质6 证
性质7 证
BXY ( ) BYX ( )
BXY ( ) E[X (t )Y (t)]
E{[ X (t2 ) X (t1)][ X (t4 ) X (t3)]} 0
则X (t)称为正交增量过程。
定理1 设{ X (t) ，t [a,b] }为均值为零的正交增量过程，
R(s,t) 、 D(t) 为其相关函数和方差，且
X（a）= 0 则
R(s,t) D[min(s,t)]
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证 取 t1 a ，t2 t3 s ，t4 t ， 其中 s t
若X
则
(t
)
与Y (t
BZ ( )
) 正交（即 E[( BX ( ) BY ( )
X
(t1
)Y
(t
2
)]
0
）
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性质10 若平稳过程 X (t) 与Y (t) 是独立的 则积
W (t) X (t) Y (t)
也是平稳过程 其相关函数为
BW ( ) BX ( ) BY ( )
例1 设有两个随机过程 X (t) U cos tV sin t
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性质3 B( ) 为偶函数： B( ) B( )
证
B( ) E[ X (t ) X (t)]
E[X ((t ) )X (t )] B( )
性质4 B( ) 具有非负定性 即对任意的2n个实数
a1, a2 , , an 与1, 2 , , n ，有
nn
B( i j )aia j 0
这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，
即 X (t)是一个严平稳过程。
说明
对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程； 严平稳过程也一定是宽平稳过程。
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二、正交增量过程
定义2 若二阶矩过程{ X (t) ，t T }对于任意的
t1 t2 t3 t4 t1, t2 , t3 , t4 T 有
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第四节 遍历性定理
介绍从一次试验所获得的一个样本函数来
决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可 以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。
一、基本概念
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定义1
设{ X (t) , t }为随机过程，
X (t) l.i.m
1
T
X (t)dt
T 2T T
称 X (t) 为沿整个时间数轴上的时间均值；
x1 x2
f
(t1, t2；x1,
x2
)dx1dx2
记
x1 x2
f
(；x1,
x2
)dx1dx2
B( )
三、宽平稳过程
定义2 设随机过程{ X (t) ，t T }， 如果它满足：
（1） X (t) 是二阶矩过程；
（2）均值函数为常数，即 m(t) E[X (t)] m
（3）相关函数 R(t1,t2 ) 仅依赖 t1 t2 ，即
则有 E{X (s)[X (t) X (s)]} 0
即 E[ X (s) X (t)] E[ X 2 (s)]
所以 X (t) 的相关函数
R(s,t) E[ X (s) X (t)] E[ X 2 (s)] D(s)
同样 若 t s 可得
R(s,t) D(t)]
故
R(s,t) D[min(s,t)]
Y (t) U sin tV cos t t
其中U和V是均值都为零、方差都为 2 的不相
关随机变量，
试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相 关函数。
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解 因为 E(U ) E(V ) 0 D(U ) D(V ) 2
所以 mX (t) E[ X (t)] E[U cost V sint] 0
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。