半角模型收集专练

半角模型例题

已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD

结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2

结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆

结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2

2EF （可由相似得到）

结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：

设正方形ABCD 的边长为1

则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3

﹦1﹣1

2x ﹣1

2y ﹣1

2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1

2﹣12xy

所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小

结论6的证明：

将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′

易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′

在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2

结论7的所有相似三角形：

△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME

△AMN ∽△BAN

△AMN ∽△DMA

△AMN ∽△AFE

结论8的证明：

因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2

因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2

结论9的证明：

因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45°

∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定

理：共边同侧等顶角）

同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆

**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型

已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且

︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .

一、全等关系

（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系

（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥2

1=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系

（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE

AB

HCF =∠tan . （5)、和差关系

求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.

例1、在正方形ABCD中，已知∠MAN﹦45°，若M、N分别在

边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.

②.求证：AB=AH.

例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，若E、F

分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.

∠BAD

求证：∠EAF＝1

2

例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，

CE=8，求DE的长。

例4、请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC

DAE

∠=︒．探

=，点D、E分别为线段BC上两动点，若45

∠=︒，AB AC

BAC

∆中，90

究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC

∆，连结E D'，

∆绕点A顺时针旋转90︒，得到ABE'

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

例5、探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF 与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，

AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

2

1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AE F绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固1：

如图，在四边形ABCD中，∠B﹦∠D﹦90°，AB﹦AD，若E、F分

别在边BC、CD 上的点，且∠EAF＝1

2

∠BAD .

求证：EF=BE +DF.

图1

A

B C

D E

图2

A

B

C

D E