(完整版)利用微分中值定理证明不等式
部分微分中值定理在证明不等式中的应用
部分微分中值定理在证明不等式中的应用几何利用局部分微分中值定理，可以找到更容易证明的不等式。
首先，局部分微分中值定理可以定义为：如果在某个函数的某个区域内有分段连续的双射函数f(x)，当a≤x≤b时，则函数f(x)在该区间[a,b]中任意一点c都有f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)。
因此，在利用局部分式中值定理证明不等式时，可以避免复杂的微分运算。
1. 先通过复合诸不等式，将要证明的不等式转化为多个分段连续的双射函数；
2. 通过局部分微分中值定理，把多段双射函数转化为二阶微分函数，根据函数的导数及导数的符号，把二阶微分函数的大小关系还原到原不等式中；
3. 利用二阶微分函数的单调性，使用函数积分、极值定理及不动点定理等，得出结论。
以下是一个关于局部分微分中值定理证明不等式的例子：
求证：若f(x)在[a,b]内连续且具有一阶导数，则有f(b)≤f(a)+f'(c)(b-a)。
证明：
设f(x)在[a,b]内连续，由局部分微分中值定理可知，当a＜x＜b时有
f(b)－f(a)=f'(c)(b－a)，其中c为[a,b]内任意一点，即有f(b)－f(a)－
f'(c)(b－a)≤0
根据f'(x)＞0的单调性得f'(c)＞0，故f(b)－f(a)－f'(c)(b－a)＜0
即有f(b)≤f(a)+f'(c)(b－a)，即得证。
微分中值定理在不等式证明中的应用
微分中值定理在不等式证明中的应用摘要：不等式在初等数学中是最基本的也是最重要的内容之一,微分中值定理也是数学分析中最重要的定理之一.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法。
从这些思想和方法中我们可以解决类似的很多问题，对提高证明题和解决问题的能力有很大帮助。
关键词：微分中值定理；不等式；证明；应用The Application of Mean Value Theorem in ProvingInequalitiesAbstract: Inequalities is one of the most basic contents in Elementary Mathematics. Mean Value Theorem which is widely used in solving mathematical problems, is one of the most important theorem in Mathematical Analysis, and is also the important tool of research math problem. This paper summarized some common kinds of methods and skills of application of Mean Value Theorem in proof of Inequalities by exemplification, and highlighted the elementary thought and method, contributed immensely to improving the capability of certifying.Key words: Mean Value Theorem; Inequalities; Proof; Application0 引言高等数学中, 不等式的证明占有重要的一席之地,与一些计算及应用题相比，不等式的证明对数学研究者来说一直是难点，主要是在证明的思路或者在函数的构造上有难度。
微分中值定理在不等式证明中的应用
不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一,它反映了各变量之间很重要的一种关系.在高等数学中,不等式是证明许多定理与公式的工具.不等式表达了许多微积分问题的结果,而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式.不等式的求解证明方法很多,本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧,以便更好地了解各部分内容之间的内在联系,从整体上更好的把握证明不等式的思想方法.1.利用微分中值定理微分中值定理将函数与导数有机地联系起来,如果所求证不等式经过简单变形后,与微分中值公式的结构有相似性,就可以考虑利用微分中值定理来证明,其关键是构造一个辅助函数,然后利用公式证明.2.利用函数单调性函数单调性本身就是不等式,此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数,通过对所设辅助函数求导,借助导数符号来判断函数的单调性,从而解决问题.3.利用函数极值与最值在不等式证明中,我们常常构造函数f(x),而f(x)构造好后,如果在所给函数区间上无法判断f'(x)符号,即当函数不具有单调性时,可以考虑用极值与最值的方法进行证明.数学的意义和作用。
微分中值定理在证明不等式中的应用
`微分中值定理在证明不等式中的应用摘要 微分中值定理也是数学分析中最重要的定理之一， 在许多领域有着广泛的应用，利用微分中值定理证明不等式是其最基本的应用之一.本文采用举例的方式归纳微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，总结微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法。
从这些思想和方法中我们可以解决类似的很多问题，对提高证明和解决问题的能力有很大帮助.关键词 微分中值定理 不等式1 引言人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.微分中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，在高等数学中有着广泛的应用。
微分中值定理的不等式形式及其应用
微分中值定理是非常重要的数学定理，它可以应用于广泛的科学和技术领域。
它的不
等式形式表达了在函数值及其导数之间的关系。
它的不等式形式可以用两个方程表示，即：f（x）≤f（c）+f'（c）（x-c）；f（x）≥f （c）+f'（c）（x-c）。
从这两个方程中可以看出，任何函数f（x）在某个定点c处的值都不会比函数f（c）+f'（c）（x-c）大，也不会比它小。
微分中值定理的应用也很广泛，可以用来解决很多数学问题，比如求函数的最大值、
最小值、极值点等。
它也被用于优化问题的求解，比如求解线性规划问题、最小二乘法问题、增广拉格朗日乘子法等，可以使这些问题的求解更加精确。
此外，微分中值定理还可以用于证明某些函数的单调性，比如可以证明函数f（x）在定点c处是凸函数或者凹函数。
总之，微分中值定理是一个非常重要的数学定理，它的不等式形式以及应用可以大大
提高数学计算的准确性和效率，为我们解决数学问题提供了有效的支持。
用微分中值定理求不等式
用微分中值定理求不等式
微分中值定理是一个有用的数学定理，其可以用来求解不等式问题。
它的主要思想是：如果一个函数在某一区间内是连续的并且具有某种特定的微分性质，那么在该区间的任意一点上，这个函数的值都等于它的微分值乘以某个常数。
微分中值定理是一个有用的数学定理，它可以用来求解不等式问题。
它的基本思想是：如果一个函数在某一区间内是连续的并且具有某种特定的微分性质，那么在该区间的任意一点上，这个函数的值都等于它的微分值乘以某个常数。
这就是微分中值定理。
举例来说，如果有一个不等式f (x) ≤
0，它的解可以用微分中值定理来求解。
首先，要求函数
f (x) 在某一区间上的微分值，即求出 f'(x)，然后求出 f (x) 在
该区间内的最小值，用它乘以 f'(x)，得到 f (x) 的值，再比较 f (x) 的值与 0 的大小，便可知道函数 f (x) 在该区间内是否满足
不等式f (x) ≤
0。
另外，微分中值定理还可以用来求解一元多次不等式的解，例如求解一元多项式的根。
首先，要求多项式的微分值，即求出多项式的导数，然后求出多项式在某一区间内的最小值，用
它乘以多项式的导数，得到多项式的值，再比较多项式的值与0 的大小，便可知道多项式在该区间内是否满足不等式。
从上面可以看出，微分中值定理是一个有用的数学定理，它可以用来求解不等式问题，也可以用来求解一元多次不等式的解。
它的优点在于它简单易懂，它可以用来求解不同种类的不等式问题。
如果我们有这样的问题需要解决，可以考虑使用微分中值定理来解决。
微分法在不等式证明中的应用
微分法在不等式证明中的应用不等式是数学中非常重要的一部分，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
而微分法，则是不等式证明中常用的一种方法。
本文将介绍微分法在不等式证明中的应用。
一、微分法的基本原理微分法是微积分中的一种方法，它用导数的概念来研究函数的变化。
在不等式证明中，我们可以利用微分法来求函数的最值，从而证明不等式。
对于一个函数f(x)，如果它在某个点x0处取得最值，那么它的导数f'(x)在这个点处为0。
因此，我们可以通过求导数为0的点来求函数的最值。
具体地说，如果f'(x0)=0，那么x0就是f(x)的一个极值点。
如果f''(x0)>0，那么x0就是f(x)的一个极小值点；如果f''(x0)<0，那么x0就是f(x)的一个极大值点。
二、微分法在不等式证明中的应用1. 利用导数证明不等式的单调性在不等式证明中，我们经常需要证明一个函数的单调性。
这时，我们可以通过求导数来证明函数的单调性。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么f'(x)>0；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么f'(x)<0。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上单调递增。
首先，求出f'(x)=2x，然后判断f'(x)在[0,1]上的符号。
由于2x>0，因此f(x)在[0,1]上单调递增。
2. 利用导数证明不等式的正确性在不等式证明中，我们常常需要证明一个不等式的正确性。
这时，我们可以通过求导数来证明不等式的正确性。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么f(a)<=f(b)；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么f(a)>=f(b)。
例如，我们要证明不等式1/(1+x^2)<=1/2在区间[0,1]上成立。
首先，将不等式两边都取倒数，得到2<=1+x^2。
用微分中值定理证明不等式
用微分中值定理证明不等式微分中值定理是高等数学中非常重要的内容，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具，它在不等式的证明中起着重要的作用．1.用罗尔定理证明不等式例1 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数，()()0f a f b ==，且存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，求证：存在0(,)x a b ∈，使得0()0f x ''≤．证明 假设对任意(,)x a b ∈，有()0f x ''>，则()f x '严格增加．已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，且()()0f a f b ==，由罗尔定理知，存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．在(,)a ξ上，有()()0f x f ξ''<=，知函数()f x 严格减少；在(,)b ξ上，有()()0f x f ξ''>=，知()f x 严格增加．若(,)c a ξ∈，则()()0f c f a <=，若(,)c b ξ∈，则()()0f c f b <=．总之，当(,)c a b ∈时，有()0f c ≠，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，所以存在0(,)x a b ∈，使得0()0f x ''≤．2用拉格朗日定理证明不等式例 2 证明：当0x >时，ln(1)1x x x x<+<+． 证明 令()ln(1)f x x =+，则1()1f x x '=+，显然()f x 在[0,]x 上满足拉格朗日定理的条件，由定理得()(0)()(0)f x f f x ξ'-=-，0x ξ<<．由于(0)0f =，1()1f ξξ'=+，因此上式即为ln(1)1x x ξ+=+，又由0x ξ<<，有 11x x x x ξ<<++， 即ln(1)(0)1x x x x x<+<>+． 例3 设函数()f x 在区间[0,]c 上可导，(0)0f =，且()f x '单调减少，证明：对于0a b a b c <≤≤+≤，恒有()()()f a b f a f b +≤+．证明 将()f x 分别在[0,]a 与[,]b a b +上应用拉格朗日定理，有1()(0)()0f a f f a ξ-'=-，1(0,)a ξ∈ )()()()(2ξf bb a b f b a f '=-+-+，2(,)b a b ξ∈+ 显然(0,)(1,2)ic i ξ∈=，且21ξξ<，又因()f x '在[0,]c 上单调减少，所以21()()f f ξξ''≤，即()()()f a b f b f a a a+-≤， 由0a >，知()()()f a b f a f b +≤+．拉格朗日定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，虽然它的结论似乎是一条等式，但根据中值点ξ的取值范围，()f ξ'也将有一个取值范围，于是就将等式转化为不等式．证明区间上的不等式，特别是含有两个不等号的，可考虑利用拉格朗日定理．具体证明时通过对不等式结构的分析，构造某特定区间上的函数，使之满足定理的条件，从而达到证明的目的．3用柯西定理证明不等式例4 设2e a b e <<<，证明222ln ln 4b a b a e ->-． 证明 设2()lnf x x =，()g x x =，则2ln ()x f x x'=，()1g x '=．对于()f x ，()g x 在[,]a b 上应用柯西定理，有 22ln ln 2ln ()b a a b b a ξξξ-=<<-． 设2ln ()t t t ϕ=，有22(1ln )()t x tϕ-'=．显然当t e >时，有1ln 0t -<，即()0t ϕ'<，所以()t ϕ单调递减，从而2()()e ϕξϕ>，即222ln ln 2e e e ξξ>=，故222ln ln 4b a b a e ->-．当不等式中含有两个函数的函数值及一阶导数，或含有两个函数的改变量及一阶导数时，可用柯西定理来证明．在用柯西定理证明不等式时要注意应用的条件．4用泰勒中值定理证明不等式例5 证明：23ln(1)(11)23x x x x x +≤-+-<<． 证明 设()ln(1)f x x =+，则()f x 可在0x =处展成带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式2344ln(1)234(1)x x x x x ξ+=-+-+，11ξ-<< 又由4404(1)x ξ-≤+，即得23ln(1)23x x x x +≤-+． 例6 设0()lim1x f x x→=，()f x 二阶可导，且()0f x ''>，求证：()f x x ≥． 证明 因为()f x 二阶可导，所以()f x 连续．又因为0()lim 1x f x x →=，所以(0)0f =，且00()(0)()(0)lim lim 1x x f x f f x f x x→→-'===． 将()f x 在0x =处展成泰勒公式，得22()(0)(0)()()22x x f x f f x f x f ξξ'''''=++=+， 由于()0f x ''>，因此()f x x ≥．。
利用微分学证明不等式
能够通过对其 导数或余项的估计来确定变量 间的
大小关系， 因此它们是证明不等式的重要工具。
一
变 因 只 证 ：任 ｏ （ ） 量 ，此 需 明对 意 ＞有１ ， ＋
（｝ １１（卦 ・） ＋） ＋ １ ＋
等价于下述两个不等式同时成立下面
、
利 用单 调 性证 明 不等 式
命题 ｌ 设刷 ∈ｃａ 】 在 ６内可 导 ， 刷 ［６， 且 则 在 ６ ］ 上单调递增（ 或单调递减 ） 的充要条件是
故 Ｏｘａ ＜＜ 时
， ｌｘ ｌａ 生 ｕ 。 即 ｎ－ ｎ＜ ＿
Ｖ ａ ｘ
摘要 ： 函数的单调性与极值 问题 与不等式密切相关， 微
分 学 中值 定理 和 Ｔｙ ｒ 式 出是证 明 不等 式 的 重要 工 ａｌ 公 ｏ 具 。 因此 可 利 用函数 的 单调性 最 大（ 值 证 明不等 式 ， 小）
ｘ） 、 ＝
．
月＋ ｝ ） ｛，６ｈ 中 ＜， ＋。 九 ） ， ｈ ＋ ’ ２ （ ＜
由于
在［， 上有唯一 的零点 戈 根据 ０１ 】 ＝１
，
。
，一Ｊｉ ： ． ． ｚ２ ｈ６＜。 『 卜 仁１ ｊ Ｊ， 一＜ ， ＝ 『 Ｉ 其中 ｆ ｌ＿ ＋
函数 ； 求该函数 的导数， 判断在给定 区间上导数的符
号 ； 出所给区间端点处的函数值， 比较即可得 求 做出
到所需 证 明 的结果 。
设 １ ＋ ￣凡＋ ） 。 凡 ｘ １ －＞ １ ｌ ｝ １０ ，
易 见 ０ 。
例１ ＜ ｂ 明：０ ＜／Ⅱ６ 设Ｏ ＜证 鲁 ａ， 二 、 ０
ＢＥＩ ＮＧ ＪＩ ＦＡ ＮＧ ＭＡ
一 — —
北 方
Ｏ 经圈
中值定理证明不等式
中值定理证明不等式中值定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用来证明一些不等式。
下面我将通过一系列步骤详细地证明中值定理。
首先，我们需要明确中值定理的表述。
中值定理（也称为拉格朗日中值定理）是微分学中的一个定理，它陈述了如果函数f在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一个点c，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理可以形象地理解为函数曲线在(a,b)内至少有一点的切线与曲线的平均斜率相等。
为了证明中值定理，我们将用反证法的思想。
假设在(a,b)内不存在这样的点c，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
根据这个假设，我们可以得到以下两个结论：1.如果f'(x)在(a,b)内保持正号或者零，那么f(b)-f(a)>0，即f(b)>f(a)。
2.如果f'(x)在(a,b)内保持负号或者零，那么f(b)-f(a)<0，即f(b)<f(a)。
因为我们假设f在闭区间[a,b]上连续，所以根据闭区间上的最大值和最小值定理（也称为魏尔斯特拉斯极值定理），f在[a,b]上一定有最大值和最小值。
设最大值M和最小值m分别在x=c1和x=c2处取得，其中a<c1<c2<b。
根据这两个结论，我们可以得到以下两个不等式：1.f(c2)≥f(c1)，因为f'(x)在(a,b)内保持正号或者零，根据结论1，我们有f(c2)>f(c1)。
如果f(c2)=f(c1)，那么必定存在d∈(c1,c2)，使得f'(d)=0，从而与中值定理的假设矛盾。
2.f(c2)≤f(c1)，因为f'(x)在(a,b)内保持负号或者零，根据结论2，我们有f(c2)<f(c1)。
如果f(c2)=f(c1)，那么必定存在d∈(c1,c2)，使得f'(d)=0，从而与中值定理的假设矛盾。
微分中值定理在不等式证明中的应用
微分中值定理在不等式证明中的应用微分中值定理是一种常见的数学定理，也被称为中值定理或差分定理，它被用来在不等式证明中提供用于比较函数中极值或峰值的一种工具。
它的特殊性在于，它可以在只使用一个简单的不等式就可以进行有效的比较。
微分中值定理的定义微分中值定理的定义如下：如果f是在闭区间[a,b]上连续且在[a,b]上具有一阶导数的函数，那么在闭区间[a,b]上有f(c)=0，其中c属于(a,b)。
另外，它要求c处的函数具有由“其他特征”定义的行为，即函数在c处可能是极大值和极小值，也可能是可以有一个局部最大值。
微分中值定理在不等式证明中的应用微分中值定理可以通过不等式证明给出有关函数的具体结果。
例如，对于函数f，我们可以证明f(c)=0，其中c属于(a,b)。
然后，我们可以得出相应的不等式，即f(c)≤f(a)或f(c)≥f(b)。
这样，只使用一个不等式就可以比较函数f的不同极值，从而证明函数在特定点上是最大值或最小值。
另外，微分中值定理还可以用来证明函数的稳定性，例如，当f(c)=0时，函数f具有局部最大值和局部最小值。
因此，如果f(c)=0，则函数f的局部极值点c处的全局极值点不会改变。
最后，微分中值定理可以用来证明函数的单调性。
若f(c)=0，其中c属于(a,b)，但f(x)≠0或f(x)<0，其中x属于(a,c)或x属于(c,b)，则函数f在区间(a,b)上是单调的。
结论从上面可以看出，微分中值定理在不等式证明中有着重要的应用。
它提供了一种容易使用的工具，可以比较函数中极值或峰值，而且还可以用来证明函数的稳定性和单调性。
此外，微分中值定理还可以用来证明函数的其他性质，例如它的连续性和可导性。
因此，微分中值定理是一个非常有用的理论工具，可以帮助我们更好地理解和证明一个函数。
利用微分中值定理证明不等式
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1 知识准备 (1)2 利用罗尔中值定理证明 (2)3 利用拉格朗日中值定理证明 (3)4 利用柯西中值定理证明不等式 (5)5 利用泰勒中值定理证明 (7)6 综合利用微分中值定理证明不等式........................................................ (10)参考文献 (11)利用微分中值定理证明不等式摘要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.关键词:微分中值定理;不等式Using differential mean value theoremproving inequalityAbstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.Key Words:differential mean value theorem;inequalities0前言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.1知识准备微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1罗尔中值定理:如果函数()f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b内可导,且满足()()fξ'=.=,那么在(),a b内至少存在一点ξ,使得()0f a f b定理2拉格朗日中值定理:如果函数()f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.2利用罗尔中值定理证明不等式罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----,正是曲线()y f x =与弦线之差. 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<;(2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<;(3) ()()(),0 1.f a h f a f a h θθ'+-=+<<值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.例1 (1)如果0x >,试证ln(1)1x x x x<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1x x ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ<<++,所以ln(1)1x x x x <+<+(0)x >. (2)当αβ=时,显然等号成立.当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈,由拉格朗日中值定理得,211arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈.则有 21()1arctg arctg αβαβξ-=-+ 所以 21()1arctg arctg αβαβαβξ-=-≤-+. 以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例2 当0x ≥时,函数()f x 在其定义域上可导,且()f x '为不增函数,又()0f x =, 0,1,2,...,,i x i n ≥=求证 11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.证明 用数学归纳法当1n =时,显然不等式成立.当2n =时,若12,x x 均为0,或者一个为0时,当一个为0时,显然有 1212()()()f x x f x f x +=+.设12,x x 均大于0,不妨设12x x ≤,在[]10,x 应用拉格朗日中值定理可得:()1111111()()(0)(),0,0f x f x f f x x ξξξ-'==∈-. 在[]212,x x x +上再次利用拉格朗日中值定理可得:()122122222121122()()()()(),,f x x f x f x x f x f x x x x x x x ξξ+-+-'==∈++- 显然12ξξ<,由题设知, 12()()f f ξξ''≥.所以 122111()()()f x x f x f x x x +-≤, 即 12122()()()f x x f x x f x +≤++.假设当n k =时不等式成立,即 11()()k ki i i i f x f x ==≤∑∑.取1111()()k ki i k i i f x f x x ++===+∑∑,显然10k x +=的情况不证而明,,所以只考虑10k x +>的情况.取1ki i u x ==∑,由前面已证的结论有11()()()k k f u x f u f x +++≤+,再用归纳假设可得 1111()()k k i i i i f x f x ++==≤∑∑,即当1n k =+时结论成立.所以11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.4利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数(),()f x g x 的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为()g x )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()g x x =.(),()f x g x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,且()g x '在[]0,(0)x x >内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:ln(1)ln(1)1(1)11x x ξ+-=+-+,(0,)x ξ∈ 则有 ln(1)ln(1)1x x ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设0x >,对01α<<的情况,求证: 1x x ααα-≤-.(2)设0x >，求证: sin 1x x e <-.证明 (1)设()f t x α=,()g t x α=.当1x =时结论显然成立.当1x ≠时,取[],1x 或[]1,x ,(),()f x g x 在闭区间[],1x 或[]1,x 上连续,在开区间(),1x 或()1,x 可导,且()g x '在内(),1x 或()1,x 每一点均不为零,由柯西中值定理可得:()(1)()()(1)()f x f fg x g g ξξ'-='-,(,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈ 即 111x x ααααξξααα---==-. 所以1x x ααα-≤-得证.(2)设()sin f t t =,()t g t e =,[]0,t x ∈,(),()f x g x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,x 内可导,且()g x '在()0,x 内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:()(0)()()(0)()f x f fg x g g ξξ'-='-,()0,x ξ∈. 即sin cos 1t x e e ξξ=-,()0,x ξ∈. 因为10x e ->,10e ξ>>,所以sin cos 11t x e eξξ=<-. 即 sin 1x x e <-.注意:例3中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 4 如果函数()f x 满足两个条件:(1)在闭区间[],a b 上有二阶导数()f x '';(2) ()()0f a f b ''==.试证明:在开区间(),a b 内至少存在一点c ,使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--. 证明 令24()()()k f b f a b a =--.在此我们利用用反证法来证明本题, 我们不妨假设()f x k ''<,a x b <<.对于构造的辅助函数[]000()()()()()F x f x f x f x x x '=-+-及20()()G x x x =-(其中0x 是[],a b 中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:200001()()()()()()2f x f x f x x x x x f ξ'''=+-+- 其中ξ介于0x 与x 之间(即0x x ξ<<或0x x ξ<<),x 为[],a b 上任意点,特别地,在上式中取0x a =,2a b x +=,并利用已知条件()0f a '=,则有: 21()()()()28a b b a f f a f c +-''=+,其中1c 满足12a b a c +<<, 于是 2()()()28a b b a f f a k +--<. 同理再取0x b =,2a b x +=,并利用已知条件()0f b '=,则得: 22()()()()28a b b a f f b f c +-''=+,其中2c 满足22a b c b +<<. 于是: 2()()()28a b b a f b f k +--<. 因此,2()()()()()()()()()224a b a b b a f b f a f b f f f a k f b f a ++--≤-+-<=-. 这是不可能的.所以在区间(),a b 内至少存在一点c ,使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--. 5利用泰勒中值定理证明不等式泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数()f x 的假设条件较少,只需函数()f x 在0x 处n 阶可导,不需要1n +阶可导,也不需要在0x 的邻域内存在n 阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好.利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:(1)根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.(2)根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明:例5 当02x π<<时,求证:2221200(1)sin (1)(21)!(21)!k k k kn n k k x x x k x k -==--<<++∑∑. 分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明sin 01x x<<, 而利用泰勒中值定理时,当1n =时,不等式为:224sin 113!3!5!x x x x x -<<-+. 显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着n 的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令()sin f x x =,那么函数()f x 在00x =点展开前2n 项的泰勒公式,余项取拉格朗形式,那么有:212430(1)sin ()(21)!k k nn k x x R x k ++=-=++∑43434343433sin()sin cos 2()(43)!(43)!(43)!n x n n n n x R x x x x n n n ξπξξ+=+++++-===+++. 因为02x πξ<<<,所以cos 0ξ>,从而21()0n R x +<,所以有 2120(1)sin (21)!k k n k x x k +=-<+∑.即 220(1)sin (21)!k knk x x k =-<+∑. 同理,因为412sin()2()0(41)!n n R x x n πξ++=>+,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例4的另一种证法:由题设条件,应用泰勒展开式有:211()()()()()2222a b b a b a f f a f a f ξ+--'''=++,221()()()()()2222a b a b a b f f b f b f ξ+--'''=++, 其中1ξ介于a 与2a b +之间,2ξ介于2a b +与b 之间. 上述两式相减,且有()()0f a f b ''==,得:2211()()()[()()]22a b f b f a f f ξξ-''''-=⋅-, ()221()()()()()8a b f b f a f f ξξ-''''-≤+. 令21max{(),()}()f f f ξξξ''''''=,(,)a b ξ∈,则有:2()()()()4a b f a f b f ξ-''-≤,(,)a b ξ∈. 即 24()()()()f f b f a b a ξ''≥--. 例6 设函数()f x 在[],a b 上二阶可导,且()0f x ≥,()0f x ''<.求证:对任意的[],x a b ∈,有2()()b a f x f t b a≤-⎰. 证明: 对任意的[],x a b ∈,将()f x 在t 点展开[](,)t a b ∈.2()()()()()()2!f f x f t f t x t x t ξ''=+-+-(其中ξ介于x 与t 之间). 注意到()0f x ''<,所以有()()()f x f t f x t '≤+-.对上述不等式的两边对t 积分,得:()()()()bb b a a af x dt f t dt f t x t dt '≤+-⎰⎰⎰ ()()()()()()b bb a a a b a f x f t dt f x x t f t dt -≤+-+⎰⎰2()()()()()ba f t dt fb x b f a x a =+---⎰ 因为()0()()()()0f x f b x b f a x a ≥⇒---≤.所以2()()b a f x f t b a≤-⎰. 6综合利用微分中值定理证明不等式 利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则有:(1)如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '>,则函数()f x 在[],a b 上单调增加;(2) 如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '<,则函数()f x 在[],a b 上单调减少.另外,函数()f x 在(),a b 内除有个别点外,仍有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在[],a b 上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数()f x 的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()f x 连续但()f x '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()f x '的符号变化情况,确定函数()f x 的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例7 求证 (1)当0x >时,证明2ln(1)2x x x +>-成立. (2)当(0,)2x π∈时,证明tan sin x x x x>成立. 证明 (1)令2()ln(1)2x f x x x =+>-,因为函数()f x 在[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 21()111x f x x x x'=-+=++. 当0x >时,2()01x f x x'=>+,所以当0x >时,函数()f x 是单调递增的.故当0x >时,有:()(0)0f x f >=,即()0f x >,从而 2ln(1)2x x x +>-成立. (2)因为(0,)2x π∈,所以sin 0x >,tan 0x >.令函数2()sin tan f x x x x =-,则有: 21()sin sec sin 2tan (cos )cos f x x x x x x x x'=+-=+因为(0,)2x π∈时, 1cos 2cos x x +>,tan x x >,所以()0f x '>.即()f x 在(0,)2x π∈时严格递增的,又因为()0f x =,所以()0((0,))2f x x π>∈,即tan sin x x x x>成立. 例8 设函数()f x 在闭区间[],a b 上二次可微,且满足()0f x ''>,试证:当a x b <<时,有不等式: ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 证明 令()()()f x f a x x a ϕ-=-,那么()()()()f x f x a x x aξϕξ''-'=<<-. 由于()0f x ''>,可知()f x '在闭区间[],a b 上是严格递增的,即()()f x f ξ''>,从而有 ()0x ϕ'>,故函数()x ϕ在闭区间[],a b 上也是严格递增的,于是当[],x a b ∈时,有:()()x b ϕϕ<,即 ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 参考文献[1]D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社.1987.[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.2006．[3]Ｒ.科朗等.微积分和数学分析引论[M].北京:科学出版社.2002.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1994.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.[7]林丽绿.利用微分中值定理证明不等式[J].泉州师专学报,1997,第一卷.[8]赵文祥.微分中值定理与不等式[J].天津电大学报,2007,增刊.[9]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究,2008,第28卷第10期.。
利用中值定理证明积分不等式
利用中值定理证明积分不等式
中值定理是计算积分的一种方法，它是以定积分为例进行证明的。
这句话可以简单理解为：如果一个函数在某一个闭区间上可以积分，那么该闭区间上这个函数的积分与函数在这个闭区间上的中值成正比。
假设函数f(x)在闭区间[a,b]上可以积分，那么可以用中值定理在区间[a,b]上证明积分不等式：
设置M即f(x)在[a,b]区间上的一阶导数的极值点，则根据中值定理可得：
∫a b f(x)dx=f(M)∫a b dx
即f(x)的积分∫a b f(x)dx等于函数在区间[a,b]上的中值f(M)乘以[a,b]区间的长度，此时由于f(M)为最大值，则记∫a b f(x)dx=M(b-a)，于是得出结论：
∫a b f(x)dx≤M(b-a)
当然积分不等式也可以用最大值和最小值对函数f(x)进行比较来证明：
设置N即f(x)在[a,b]区间上的最小值，则根据最大值定理可得：
∫a b f(x)dx≥N(b-a)
有了以上两个结论，就可以推出：
N(b-a) ≤ ∫a b f(x)dx≤M(b-a)
由此可见，中值定理是一种有用的工具，它能够证明闭区间上某一函数的积分与该函数在闭区间上的中值成正比，也能证明积分不等式，即积分的最小值与该函数在闭区间上的最小值的乘积的一定不等于积分的最大值与该函数在闭区间上的最大值的乘积，这就是中值定理所证明的积分不等式。
(完整版)利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种：1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有0()0f x '=.2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=.3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；⑵()f x ''在(,)a b 内存在；⑶()()0;f a f b ==⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<.例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b--≤≤.证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立.下证 当0b a <<时,有ln a b a a b a b b--<< ① 作辅助函数()ln f x x =,则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使ln ln 1a b a b ξ-=- ② 由于0b a ξ<<<,所以111a bξ<< ③ 由②③有1ln ln 1a b a a b b-<<-,即 ln a b a a b a b b--<<. 总结： 一般证明方法有两种①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为： 第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；第三步 把()f ξ'适当放大或缩小即可。
微分中值定理和不等式的证明
淮北师范大学2013届学士学位论文微分中值定理和不等式的证明学院、研究专业数学科学学院数学与应用数学方向函数论学生姓名谢晨西学号20091101169指导教师姓名__________ 卓泽朋___________ 指导教师职称__________ 副教授___________2013年4 月20日微分中值定理及不等式的证明谢晨西（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要微分中值定理在数学分析中具有重要作用, 不等式在初等数学中是最基本的内容之一, 微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理, 以及柯西中值定理. 本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，并对中值定理进行了适当的推广,同时结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理,拉格朗日中值定理在证明不等式面的应用, 从而加深对两个定理的理解, 总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法.关键词：微分中值定理，柯西中值定理，费马定理，不等式Differential Mean Value Theorem and Proof of InequalityXie Chenxi( School of Mathematical science,Huaibei Normal University,Huaibei,2350000)AbstractDifferential mean value theorem plays an important role in mathematical analysis.Inequality is one of the most important elements in elementary mathematics.Differential mean value theorem include: lagrange mean value theorem, rolle theorem, cauchy mean value theorem.This article summarizes several common methods and techniques of differential mean value theorem to prove inequality..Appropriate promotion differential mean value bined with a few common examples discussed rolle theorem of lagrange mean value theorem in proving inequalities surface.So as to deepen the understanding of the two theorems,summarizethe basic method of differential mean value theorem to prove inequalityKey words: Differential mean value theorem，Cauchy Mean Value Theorem，generalized Fermat's theorem，; inequalities目录引言 (1)1预备知识 (1)2微分中值定理及其证明 (1)2.1费马引理 (1)2.2罗尔中值定理及其推广 (2)2.3拉格朗日中值定理及其推广 (3)2.4柯西中值定理及其推广 (3)2.5泰勒中值定理 (4)3利用微分中值定理证明不等式 (4)3.1罗尔中值定理证明不等式 (4)3.2利用拉格朗日中值定理证明不等式 (5)3.3利用柯西中值定理证明不等式 (6)3.4利用泰勒中值定理证明不等式 (8)3.5综合利用微分中值定理证明不等式 (10)结论 (11)参考文献 (11)引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理，他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容.1 预备知识微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
中值定理证明不等式
中值定理证明不等式摘要：不等式是初等数学中最基本的内容之一。
中值定理是数学分析中最重要的定理之一，是研究数学问题的重要工具，并且它在数学解题中有着广泛的应用。
本文本文要介绍的是如何利用中值定理证明不等式，对各种不同特点的问题类型进行分析、总结，并结合典型例子给出恰当的方法，对提高证明题的能力有很大的帮助。
关键字：中值定理、证明、不等式。
The identification of inequality by adopting isovaluetheoremAbstracts:Inequality is that the elementary mathematics is hit by one of the most fundamental content.The isovalue theoremis one of the important theorems,which is an importanttool to study in mathematic problems,and has a greatapplication in solving mathematics problems.The paperfocuses on how to identify inequality,analying andsummariz ing the solutions according to problems withdifferent characteristics,combining typical examples toshow resonable solutions to them.It can improve theability of identification greatly.Key words:Isovalue theorem;identification;inequality.引言我们在日常教学中会常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一。
微分中值定理在证明等式与不等式中的应用
2
cosη
证明 ：由柯西中值定理 ，存在 ξ，η∈(a，b)，使得 的问 题 进行 分 析 和思 考 ， 这 样的 尝 试 不仅 能 够 强 化 学 生 的 认 识 ， 提 高学 生 的 解题 能 力 ， 而且 ， 对 学 生良 好 学 习 习 惯 的 养 成 ， 对学生综合能力的提高都有着密切的联系 。 所以 ， 在试题解答 和讲解的过程中 ，教师要鼓励学生尝试用不同的方法和思路来 进 行 解 答 ， 这 样 不 仅能 够 拓 展学 生 的 数学 思 维 ， 提 高 学 生 的 学 习效率 ，同时 ，对学生学习能力的提升也能作出相应的贡献 。 综上 所 述 ， 在 初 中 数学 教 学 过程 中 ， 教 师要 有 效 的 将 尝 试 教学活动与数学教学结合在一起 ， 以锻炼学生的自主和探究能 力 ，进而 ，为学生综合数学素养的提升打下坚实的基础 。 4.小结 尝试教学活动的组织就是要发挥学生的课堂主体性 ， 鼓励 学生在主动求知和自主探究中掌握基本的数学知识 ， 同时 ， 也 能拓展学生的数学思维 ，提高学生的能力水平 ， 进而 ， 在确保高 效 数学 课 堂 顺利 实 现 的同 时 ， 也 为学 生 的 发 展 作 出 相 应 的 贡 献。 课程改革的步子已经越来越扎实与稳健 ， 我们的尝试教学 活动也在如火如荼的开展中 。 我们有理由相信 ， 初中数学教学 会因尝试教学理论的有效运用而更其精彩 。 参考文献 ： [1]高焱 . 尝试教学法在初中数学课堂中的实践研究 [J]. 读与 写 （教育教学刊 ）2015 年 4 期 [2]徐雪莲 .浅谈尝试教学法在初中数学教学中的应用 [J].《中 学时代 》2013 年 16 期
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可导 ，且
F(x1)=F(x2)=F(x3). 对 F(x) 在 [x1，x2] 和 [x2，x3] 上分别运用罗尔定理 ， 存在 ξ∈(x1， ，故 x2)，η∈(x2，x3)， 使得 F′(ξ)=0,F′(η)=0. 而 F′(x)= xf′(x)-f(x)+b x2 ξf′(ξ)-f(ξ)+b=0，nf′(η)-f(η)+b=0.所以 ξf′(ξ)-f(ξ)=ηf′(η)-f(η).
不等式的微分证法
不等式的微分证法利用微分方法证明不等式涉及面比较广，方法多种多样，我们仅就本课程中涉及的内容介绍几种方法。
一、用微分中值定理例1证明不等式证选择函数在区间[b, a]满足拉格朗日中值定理的条件，因此，有因，故有所以二、利用函数的单调性时，例2证明当证设，则当x > 0 时，，所以 f (x) > f ( 0) ( x > 0) ,即时，成立。
同理可证，当x > 0 时, ，总之，当例3试证，当证把所给不等式变形为选取函数又因所以 f (x)在上严格单调减少，于是即三、利用函数的极值时，例4试证，当证设，当x > -1时，令解得驻点x = 0, 因为，从而可见x = 0是函数 f (x) 的一个极小点，且又是最小点，故 f (x)> f (0) =0, 亦即在x = 0时，等号成立，因此，例5若，证明：证设令得驻点，因为所以于是四、利用泰勒公式例6 当时，证明(1）(2)(3) (4)证法1 直接利用正弦函数的马克劳林公式，因为当m=0时，有当m=1时，有当m=2时，有当m=3时，有因此，（1），（2），（3），（4）各式得证。
证法2 以其中的（2）为例，取函数因为f ( 0 )=0代入马克劳林公式，其中n=2当，即五、利用函数的凹凸性我们先论证一条定理，它包含一个重要不等式，叫琴生不等式，它是根据凹性函数的图象性质得到的。
定理1设p1，p2，．．．，p n是一组正实数，而且p1＋p2＋…＋p n＝1．那么对于区间（a,b）上任意一个满足条件的凹函数f (x)，都有下列不等式（1）是（a,b）内任意一组点（不必都相异）．特别，当p1=p2=…=p n=1/n，则有此处不等式（2）．如果中最大的数是x j,最小证令的数是x i（若不只一个，可任选其一），则同法可证．因此a<X<b．对于每个f (x k),由泰勒公式可写出（3）注意，所以从（3）可得出这就证明了不等式（1）．至于（2），那是（1）的特例．显然，如果定理中的f (x)改为凸函数（此时），则（1），（2）两式的不等号“≤”将改为“≥”．从定理结论中的琴生不等式（1）与（2）出发，可以推导出许多特殊的不等式．下面我们给出两个典型例子．例7已知上的凹函数，所以根据不等式（2）立即得出如下的简单不等式是任意一组正实数．这里，例8是区间（0，∞）上的凹函数，所以对于任意一组正数即两边取反对数，得所以，一组正数的几何平均值总不超过它们的算术平均值．。
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微分中值定理证明不等式
微分中值定理主要有下面几种：
1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有
0()0f x '=.
2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：
（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；
（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；
（3）()()f a f b =,
则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得
()0f ξ'=.
3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：
（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；
（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；
则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得
()()()f b f a f b a
ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：
（1）在闭区间[,]a b 上连续；
（2）在开区间(,)a b 内可导；
（3）()f x ',()g x '不同时为零；
（4）()()g a g b ≠；
则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得
()()()()()()
f f b f a
g g b g a ξξ'-='-.
微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.
例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；
⑵()f x ''在(,)a b 内存在；
⑶()()0;f a f b ==
⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >
求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.
证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以
1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!
f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<.
例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b
--≤≤.
证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立.
下证 当0b a <<时,有
ln a b a a b a b b
--<< ① 作辅助函数()ln f x x =,
则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使
ln ln 1a b a b ξ
-=- ② 由于0b a ξ<<<,所以
111a b
ξ<< ③ 由②③有1ln ln 1a b a a b b
-<<-,即 ln a b a a b a b b
--<<. 总结： 一般证明方法有两种
①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为： 第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；
第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；
第三步 把()f ξ'适当放大或缩小即可。