解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形

.正弦定理:

2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C •

7

a si nA

b sin B a sin A

b sin B '

c sin C J c

sin C '

3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C

4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J

b sin C b sin A a c' sin C

c '

a

b

5

）化角为边：si nA

, si nB , si nC

2R 2R

3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①

已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由

A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边

的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,

解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a

泄求出c 边

c sin C

4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U

① a bsin A 时，B 无解；

② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。

如：①已知A 60 ,a 2,b

2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a

2.3,求B （有两个解）

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数

.三角形面积

各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外

接圆的直径， 即

a b c

sin A sin B sinC 2.变形：1）

a b c a

sin sin

si

sin

2R （其中R 是三角形外接圆的半径）

b c sin

sinC

c

2R

沁；求出

sin C

1.正弦定理：在一个三角形中,

bsin A

三. 余弦定理

1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的

积的2倍，即

2accos B

2 , 2 2

小 a b c cosC

2ab

3•利用余弦定理判断三角形形状:

设a 、b 、c 是

C 的角 、

注意整体代入，如:

ac cosB 1

2

1. S

ABC

2.

S

ABC

1

1

1

abs inC bcsi nA acsi nB 2 2 2

-(a b c )r ,其中r 是三角形内切圆半径. 2

3. S ABC _________________ 1 ,p(p a)(p b)(p c),其中 p (a b c ),

4. S ABC

5. S

ABC

abc

,R 为外接圆半径

4R

2R 2sin As in Bsi n C ,R 为外接圆半径

b 2

2bccos A

b 2

c 2

a 2

b 2 2abcosC

2.变形: cos A ,2 2 2

b c a

2bc

cos B 旦

2ac

b 2 、C 的对边，贝U:

②若c2 b2 a2A为直角为锐角

为钝角，则是钝角三角形

4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

1）已知三边，求三个角

2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题

1. 已知两角和一边（如A、B、C）,由A+B+C= n求C,由正弦定理求a、b.

2. 已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C= n ,求另一角.

3. 已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C =冗求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.

4. 已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C= n ,求角C.

5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目

标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.

6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.视线

视线

五、三角形中常见的结论

1）三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180 —（A+B）;

2）三角形三边关系：

两边之和大于第三边：

两边之差小于第三边：

3) 在同一个三角形中大边对大

sin B 角： A B a b si nA

4) 三角形内的诱导公式：

sin(A B) sinC,cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,

tan— tan(— C) 嘩

2 2 2 C C

2 2 2 cos( ) sin(—)

2 2 2

5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)si n( a±B ) = sin a cos B ± cos a sin B .

(2)cos(a±®= cos ocos B?sin a in B