统计学第12讲 第12章 方差分析概论

18
方差估计值 34.62 5.19
df2
F比率 6.67
df1 单侧P 2
0.01
0.05
8.29
4.41
6.67>3.55, 所以按照0.05拒绝H0，三个总体平均数 不同，不是来自一个总体。 请问：这个问题是否到此就结束了？
1. 事前比较或者计划比较：如果想在研究前进行比 较，可使用事前检验而不用做方差分析。
SS组间
( X i )2

( X 总 )2
df1
105.8 F 2.678 39.5
2.678 ＜4.41，不拒绝H0。结论与前面的 t 检验一致。 注意：当组间自由度=1时，F=t2 ,2.678=1.6362
12.4 方差分析的基本思想 1. 总方差分为 组间方差 + 组内方差 a. 组间方差：由于受到实验处理，包括自变量以及 混杂因素影响而产生的系统差异，这些变量引起因 变量的变化。 b. 组内方差：由个体差异和非控制因素引起的因变 量的变化。精良的设计需要使这个方差最小化。 2. H0: μ1=μ2…=μk 什么意思？ 所有样本来自一个总体。 3. H1: μ1,μ2,…,μk 不全相等 所有样本不是来自一个总体。 什么意思？
方差分析(analysis of variance)
对多个样本进行比较并评估其显著性时，可以克服 t 检验存在的问题。它能够帮助我们回答一个问题：是 否可用一个总的指标说明实验处理导致各个不同组间 的平均数有差异？ 12.2 平方和的概念
ˆ2 S
( X X )2 n1

X
2
X
SS X 2
SS总= SS组内 +
( X )2 n
SS组间
12.3 举例说明：两个组的情形 12.3.1 总平方和分解为组内平方和与组间平方和
实验组 X1 X2 控制组 X2 X2 36
1296
31 36
961 1296
20 41 34
400 1681 1156
32 34 32 33 和 329
12.9 计算平方和与方差估计值 SS总=SS处理+SS区组+SS误差
1.计算总平方和 SS总 Xi2
表12-6 区组 X1 X 12 实验处理情况 X2 X 22
矫正项CT
( X i )2 ni k
X3
12-8
12-9
X 32 区组和
1
2 3
15
13 12
225
169 144
13
18 0.99
r 等级差 数 3 3.61 4.70
查附表6 q界值表
当df=18 , r=3 ,α=0.05时，查得q=3.61.
HSD 3.61 5.19 / 7 3.10
因为只有第1和3组平均数之间的差异4.43>3.10，结 论：第3种教学方法能够显著提高学生解决逻辑问题 的能力。
12.7 单变量实验设计---相关样本 行为或医学研究中诸多因素都能导致分数的变异。 诸如个体差异，在独立样本中无法识别和量化，其结 果会增大误差。剔除这些误差的方法，可考虑相关样 本设计。这好比选择天线一样，长天线噪音最低，电 台信号就清晰了。 12.8 三个配对组设计 挑选21名业余篮球队员，按照投篮水平分为七个区 组，每组3人投篮水平比较一致。每组站在罚球线 位置，随机使用三种不同的投篮方法，每个人投20 次。试问这21人在不同的区组和不同的投篮方法上 是否存在差异？
S
2 组间
69.24 34.62 2
93.42 5.19 18
S
2 组内
34.62 F 6.67 5.19
第7步；列出分析分析表
表 12-3 方差分析表 变异源 平方和 自由度 69.24 2 组间 93.43 18 组内 20 总计 162.67 12.6 F 值的解释 查F 临界值表，F0.05(2,18)=3.55
9 10
169
81 100
11
10 9
121
100 81
39
32 31
4
5 6 7 和
11
9 8 7 T1=75
121
81 64 49 853
13
5 6 5 T2=61
169
25 36 25 605
12
7 4 2 T3=55
144
49 16 4 515
36
21 18 14 191
2.计算SS处理及估计方差S2
2 组内
/ ni
其中：qα=根据给定的α水平以及组内自由度和 k(平均值的个数)，从附表查得。
表12-4 样本平均数以及各组之间平均数差异的矩阵
X1
=3.57
－ X 2 =5.43 － X 3 =8.00 －
X 1 =3.57
=5.43 1.86 － －
X2
X 3 =8.00
4.43 1-α df 2.57 － 0.95
16 ∑X12=111 5 ∑X2=38 25 ∑X22=238
方法3 9 X2 81
4 5 9 10 8 11 ∑X3=56 16 25 81 100 64 121 ∑X32=488
第1步：计算总平方和
( 25 38 46)2 SS总 (111 238 488) 21
1192 837 837 674.33 162.67 21
方法1
X2 方法2 X2
3
9 3 9
2
4 3 9
7
2
5
2
4 7 49
4
∑X1=25
49 4 25 7 9 4 49 81 16
16 ∑X12=111 5 ∑X2=38 25 ∑X22=238
方法3 9 X2 81
4 5 9 10 8 11 ∑X3=56 16 25 81 100 64 121 ∑X32=488
4. F 统计量
=组间方差÷组内方差
通过查F 临界值以确定是否拒绝或接受H0。 12.5 以三个实验组为例-----单因素方差分析
例题：某项研究为了评价三种不同教学效果，从学生 总体中随机抽取21名被试，并随机分为三组，让他们 接受三种不同的教学，完成教学后就进行测验，测验 成绩越高，说明解决逻辑问题的能力越高。是否有证 据表明哪种方法更有效？ 方法1 方法2 方法3 3 3 9 2 3 4 7 7 5 2 9 9 5 4 10 2 7 8 4 5 11
n
2
n1
SS n1
从公式可以看出，若离差大，则方差也大，离差小 ，数据紧聚在平均数周围，则方差也小。
回忆一下 两样本 t 检验计算公式：
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) t SX1X 2
SX1 X 2
SS1 SS 2 1 1 n n n1 n2 2 1 2
X1 5
X2 9
如果变异较大 ，则统计显著 性所需的平均 数差异也较大
X 1 7.5
X 2 18.5
方差分析包括对两个方差的独立估计： 组间方差 (between-group variance) 组内方差 (with-group variance)
组间方差 F 组内方差
方差分析一个基本概念就是平方和
问：分子和分母分别表示意思? 答：分子表示平均数之间的差异，而分母表示各组内 变异相加的估计值，称为平均数差异的标准误。
平均数之间差异越大，则 t 值越大，否者 t 值越小
图12-1 要想得到统计学显著性，平均数差异大小与 变异大小之间的关系 如果变异较小 ，则统计显著 性所需的平均 数差异也较小
第2步. 三组的组间平方和为；
252 382 562 1192 69.25 SS组 间 21 7 252 382 562 1192 SS组 间 21 69.24 7
第3步： 已知组间SS，总的SS，计算组内SS。 SS组内=162.67－69.24=93.43 第4步；计算组间方差估计值 df组间=K －1=3 －1=2 第5步：计算组内方差估计值 df组内= N－ K =21－3=18 第6步：计算F 值 在本例。总自由度=N－1=20
表12-5 接受不同训练后3个配对组的投篮分数(每 投20次投中的次数) 分组 1 2 3 4 5 6 7 合计 X1 15 13 12 11 9 8 7 75 训练方法 X2 X3 13 11 9 10 10 9 13 12 5 7 6 4 5 2 61 55 合计 39 32 31 36 21 18 14 19
225 …
X2
13 …
X 22
169 …
X3
11 …
X 32
121 …
区组和
39 …
7
和
7
T1=75
49
853
5
T2=61
25
605
2
T3=55
4
515
14
191
∑X2=225…+4=853+605+515=1973 矫正项CT=(∑X)2/nik=1912/21=1737.19 SS总= ∑X2－CT=1973 －1737.19=235.81 df总=nk －1=7×3 －1=20 SS处理=(752+612+552)/7 －1739.19=30.10 df处理=k －1=3 －1=2 12-10 12-11 12-12
ni n df2 单侧 1 2 2 2 P 329 283 612 0.01 8.29 10 10 20 =10824.1+8008.9－18727.2 18 0.05 4.41 =18833－18727.2=105.8 K=2，df=2－1=1