定积分的应用(面积)(参考研究)

解 将 y0 3 带入抛物线方程，得横坐标 x0 2
( y 2)2 x 1两边关于x求导，得 2( y 2) y 1
代 入x0 2，y0 3， 得
y(2) 1 2
因此切线方程为
y
yx 3 212y( x 42)
3
y 3 1 ( x 2) 2
(xy12)2( y x2)21
A
A a ( y) dy .
a• x 资料部分
x
5
3. 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成的平面
图形的面积
y
y f (x)
y g(x)
ao
c
b
x
c
c
b
b
A
a
f ( x)dx
g( x)dx
a
c
g( x)dx c
f ( x)dx
c
a
[
a
t
2
) dx
1
0
t
y = x2
[t 2 x
x3
]t
x3 [
t2x]1
t2
S2
30 3
t
S1
4t 3 t 2 1 ，0 t 1
3
3
x t1
S' 4t 2 2t 2t(2t 1) 令 0 ，得驻点: t 0, t 1 ，
当t 1 时两面积和最小.
2
2
资料部分
18
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
y x4
选x为积分变量, x [0,8]
yy2 2x 2 x
2
8
A 0 [ 2x ( 2x )]dx 2 [ 2 x ( x 4)]dx
18 .
资料部分
14
2
8
A 0 [ 2x ( 2x )]dx 2 [ 2 x ( x 4)]dx
此题选y为积分变量比较好,
2 y4
A 4 ( y 4 y2 )dy
2
2
y2
y3 4
( 4y )
2
6
2
18 .
选择积分变量的原则： (1)尽量少分块；
yxx y4 4 y2
yx2 2x 2
(2资)料积部分分容易。
15
例3
求曲线 y
x2 2
,
y
1
1 x2
与直线x
3所
围成的平面图形的面积.
y
解 交点 x 1 ,
由对称性,
x2 y
2
1 y 1 x2
3 1 o
1 3x
A
2
11
( 0 1
x2
x2 )dx 2
2
1
3 x2 (
2
1
1 x
2
)
dx
2
3 .
3
3
资料部分
16
例4 求由抛物线 ( y 2)2 x 1 和与抛物线相切于纵坐
标 y0 3 处的切线及x轴所围成的平面图形的面积
0
b
x
f (x)
0a
bx
资料部分
b
A a f ( x) dx .
3
若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为
b
A a f ( x) dx . y y f (x)
y f (x)
ao
b
x
资料部分
4
2.以y轴为底边的曲边梯形的面积
y
b
x (y)
y
b
x (y)
a
a
0
x
0
y
b • x ( y)
b
y
ao
y f (x)
面积元素: dA f ( x)dx,
x x x
b
面积 A f ( x)dx a
bx
资料部分
9
由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成 的平面图形的面积
y
y f (x)
y g(x)
a o x x x c
b
x
面积元素: dA f ( x) g( x) dx,
第七节 定积分的应用
一.求平面图形的面积 二.求几何体的体积 三.在经济问题中的应用
资料部分
1
一.求平面图形的面积
复习：定积分的几何意义
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
A1
A3Biblioteka Baidu
A2
A4
b
a f ( x)dx A1
A A 资料部分
2
3
A4
2
1.以x轴为底边的曲边梯形的面积
y
f (x)
y
a
f
( x)
g( x)]dx
c[g(x)
f ( x)]dx
c
a
f ( x) g( x) dx f ( x) g( x) dx
ab
c
a f ( x) g( x) dx资料部分
6
3. 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成的平面
图形的面积
3
[1
(
y
2)2
(2
4
y
4)]dy
0
0
5
x
3
(
0
y2
6y
9)dy
y3 资料部(分3
3 y2
9 y)
3
9
17
0
例5 设y x2定义在0 x 1上, t是区间[0，1]上的任
一点, 当t为何值时,图中两阴影部分的面积和最小?
解 S S1 S2
y
t (t 2 x2 )dx
1
(
x2
（1）y x, y x
1
A
x x dx 1
0
6
（2）y e, y ex , x 0 A 1 e ex dx 1 0
（3）
轴 A 1 3 2x x2 dx 32
3
3
资料部分
19
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
资料部分 c
11
例1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 先求两曲线的交点
xy yx2
y x2
(0,0)
x
y2
(1,1)
y x2
选x为积分变量, x [0,1]
A
1
(
x
x2 )dx
(2
3
x2
x3
)1
1
.
0
3
30 3
能否选y为积分变量?
资料部分
12
例1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
b
A a f ( x) g( x) dx
资料部分
10
由曲线 x ( y) 、 x ( y) 直线 y c, y d(c d)
围成的平面图形的面积为
d
A ( y) ( y) dy
y
cy
d
x ( y) d
x ( y)
x ( y) x ( y)
c
xc
x
o
o
d
特别，若( y) ( y)时, A [ ( y) ( y)]dy .
y
y f (x)
y g(x)
ao
c
b
x
b
A a f ( x) g( x) dx
资料部分
7
特别，f ( x) g( x) 时,
y
y f (x)
y g(x)
ao
b
b
A a [ f ( x) g( x)]dx
资料部分
x
8
由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (a<b)及x轴所围成的平面图形的面积
图形的面积.
解 先求两曲线的交点
x y2
y x2
(0,0)
x
y2
(1,1)
yx xy2
选y为积分变量, y [0,1]
A
1
(
y
y2 )dy
(2
3
y2
y3
)1
1
.
0
3
30 3
资料部分
13
例2 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y 2x