诱导公式五、六

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专题49 高中数学诱导公式五和公式六(解析版)

专题49 诱导公式五和公式六1．公式五(1)角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，如图所示．(2)公式：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 2．公式六(1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝⎛⎭⎫π2－α. (2)公式：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 3．诱导公式一～六中的角可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．4．利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α. 题型一利用诱导公式化简与求值1．下列与sin θ的值相等的是( )A ．sin(π＋θ)B ．sin ⎝⎛⎭⎫π2－θC ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－θD ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ [解析]sin(π＋θ)＝－sin θ；sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝cos θ；cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ. 2．化简sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. [解析]sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α. 3．下列各式中，不正确的是( ) A ．sin(180°－α)＝sin α B ．cos ⎝⎛⎭⎫180°＋α2＝sin α2 C ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α D ．tan(－α)＝－tan α[解析]由诱导公式知A 、D 正确．cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，故C 正确． cos ⎝⎛⎭⎪⎫180°＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫90°＋α2＝－sin α2，故B 不正确． 4．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角D ．第四象限角[解析]由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 5．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos(π＋α)＝________. [解析]原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin 2α－cos 2α＝－1. 6．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)－sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (π－α).[解析]原式＝cos α(－sin α)－cos α－sin (－α)sin αsin α＝sin α－(－sin α)＝2sin α.7．化简：sin (θ－5π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos (8π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2sin (－θ－4π)＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θ[解析]原式＝sin (θ－π)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θcos θsin (－θ)＝(－sin θ)(－sin θ)cos θcos θ(－sin θ)＝－sin θ.8．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫7π2－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝________.[解析]原式＝sin α·(－cos α)·sin α·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·[－sin (π－α)]sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α·(－sin α)－sin α·cos α＝tan α9．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α. [解析]原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α)＝cos (π－α)sin α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α)＝－cos 2α.10．sin (2π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α等于( )A ．－cos αB ．cos αC ．sin αD ．－sin α[解析]原式＝sin (－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α·(－cos α)tan α·cos α·sin ⎣⎡⎦⎤32π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝sin αcos α·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αtan αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos α.故选A.11．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）.[解析]因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝ [解析]sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15. 13．已知cos θ＝－35，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝________. [解析]sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝cos θ＝－35. 14．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3. 15．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝ [解析]∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝1216．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2的结果是 [解析]∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－35,∴sin α＝35，且α是第二象限角, ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.而sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－(－cos α)＝cos α＝－4517．若cos(α＋π)＝－23，则sin(－α－3π2)＝[解析]因为cos(α＋π)＝－cos α＝－23，所以cos α＝23.所以sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2＝cos α＝23. 18．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. [解析]因为cos α＝15，且α为第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝265. 19．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于 [解析]∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 20．已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． [解析]因为cos(π＋α)＝－cos α＝－12，所以cos α＝12，又α为第一象限角．则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫122＝－32. 21．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan(2018π－α)＝ [解析]由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32，又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12，tan α＝ 3.因为tan(2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－ 322．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 [解析]∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13. 23．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于 [解析]cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 24．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值为________． [解析]cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12. 25．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值为________．[解析]cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－35. 26．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－13. 27．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45，则cos(α－85°)＝________.[解析]因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角，所以sin(5°＋α)＝－1－cos 2(5°＋α)＝－35，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－35.28．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( )A ．kB ．－kC ．±kD ．不确定[解析]c os 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k . 29．已知cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)＝________. [解析]sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan(π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89. 30．已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( )A.1－m 2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2[解析]s in 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. 31．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是 [解析]由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .32．化简sin400°sin (－230°)cos850°tan (－50°)的结果为________．[解析]sin400°sin (－230°)cos850°tan (－50°)＝sin (360°＋40°)[－sin (180°＋50°)]cos (720°＋90°＋40°)(－tan50°)＝sin40°sin50°sin40°tan50°＝sin50°sin50°cos50°＝cos50°.33．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为 [解析]因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32.34．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为[解析] f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.35．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (cos x )＝f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C. 36．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝[解析]原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.37．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________.[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3cos A ＝3sin A ， ①cos A ＝3cos B ， ②由①得tan A ＝33，故A ＝π6.由②得cos B ＝cos π63＝12，故B ＝π3.故C ＝π2.题型二利用诱导公式证明恒等式1．求证：tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.[解析]左边＝tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立． 2．求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.[解析]左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立． 3．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).[解析]右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边，所以原等式成立． 4．求证：cos (6π＋θ)sin (－2π－θ)tan (2π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋θsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝－tan θ.[解析]左边＝cos θsin (－θ)tan (－θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θsin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θsin θtan θ－sin θcos θ＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．5．求证：cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －5π2tan (6π－x )＝－1. [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －5π2tan (6π－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋x sin ⎝⎛⎭⎫x －π2－2πtan (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x －sin ⎝⎛⎭⎫x －π2tan x＝－sin xcos x tan x ＝－1＝右边，所以原等式成立．6．求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.[解析]左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝－(sin θ＋cos θ)2(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan (8π＋π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1＝tan (π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，所以等式成立．题型三诱导公式的综合应用1．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于________． [解析] cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∴α＝2－π2.2．已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－253π的值为________． [解析] ∵f (α)＝(－sin α)(－cos α)(－cos α)(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos 253π＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值． [解析]cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－13×13＝－19. 4．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan (435°－α)＋sin (α－165°)cos (195°＋α)·sin (105°＋α)的值．[解析]原式＝tan (360°＋75°－α)－sin (α＋15°)cos (180°＋15°＋α)·sin[180°＋(α－75°)]＝tan (75°－α)－sin (α＋15°)－cos (15°＋α)·[－sin (α－75°)]＝－1cos (15°＋α)·sin (15°＋α)＋sin (α＋15°)cos (15°＋α)·cos (15°＋α).因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以15°<α＋15°<105°.又cos(15°＋α)＝35，所以sin(15°＋α)＝45，故原式＝－135×45＋4535×35＝536.5．已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)的值．[解析] (1)因为点P ⎝⎛⎭⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)＝cos αtan α－sin α(－cos α)＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.6．已知tan θ＝2，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)的值．[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.7．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.[解析]由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.8．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ＝________. [解析]∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝3.sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 9．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)的值．[解析]因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. 所以f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝⎛⎭⎫－35＝－920. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin （π－α）＋cos （π＋α）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝________． [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以sin α＝2cos α.原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17. 11．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin （3π2－α）－sin （－α）的值．[解析]因为sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，所以－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，所以－sin(π－α)＝2cos(－α)，所以sin α＝－2cos α，且cos α≠0，所以原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.[解析]设θ的终边上一点为P (x,3x )(x ≠0)，则tan θ＝y x ＝3xx＝3.因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝－31－3＝32.13．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是[解析] sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.14．已知α，β∈(0，π2)，且α，β的终边关于直线y ＝x 对称，若sin α＝35，则sin β＝[解析]由α，β∈(0，π2)，且α，β的终边关于直线y ＝x 对称知α＋β＝π2，因此β＝π2－α，所以sin β＝sin(π2－α)＝cos α＝1－sin 2α＝4515．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，35)，求sin （π2＋α）＋2sin （π2－α）2cos （3π2－α）的值．[解析]因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋925＝1(a ＜0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫－32×－4535＝2.16．已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. [解析](1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.17．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解析] (1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α[－sin (π＋α)]＝cos α(－sin α)sin α＝－cos α (2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265. (3)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12. 18．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值． [解析]方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－35. 又α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916. 19．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α－sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α的值． [解析] cos (3π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α－sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α ＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin ⎣⎡⎦⎤3π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α，因为sin α＝55，所以2sin 2α＝10，即原式＝10. 20．在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，试判断△ABC 的形状．解析]∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即cos C ＝cos B . 又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．21．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4＜α＜π2，求sin α与cos α的值． [解析] sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ (③＋④)÷2得sin α＝1213，(③－④)÷2得cos α＝513. 22．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)，求下列各式的值． (1)sin α－cos α；(2)cos 2(π2＋α)－cos 2(－α)． [解析]由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23.将两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝29，所以2sin αcos α＝－79.又π2<α<π，所以sin α>0，cos α<0. (1)因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，又sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝43.(2)cos 2(π2＋α)－cos 2 (－α)＝sin 2 α－cos 2 α＝(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝23×43＝429. 23．已知函数f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）. (1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值；(3)若f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． [解析] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α. (2)f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－18，所以cos α·sin α＝18，可得(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32. (3)由(2)得f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2f (α)即为sin α＝－2cos α，联立sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得cos 2 α＝15，所以f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin αcos α＝2cos 2 α＝25. 24．是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解析]由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，所以sin 2α＝12. 又α∈(－π2，π2)，所以α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入②，得cos β＝32. 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 25．已知f (cos x )＝cos 17x .(1)求证：f (sin x )＝sin 17x ；(2)对于怎样的整数n ，能由f (sin x )＝sin nx 推出f (cos x )＝cos nx?[解析] (1)证明：f (sin x )＝f ⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎣⎡⎦⎤17⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π2－17x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－17x ＝sin 17x . (2)f (cos x )＝f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤n ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫n π2－nx ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －sin nx ，n ＝4k ，cos nx ，n ＝4k ＋1，sin nx ，n ＝4k ＋2，－cos nx ，n ＝4k ＋3.k ∈Z,故所求的整数为n ＝4k ＋1，k ∈Z .。

三角函数的诱导公式【六公式】

）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

1、3、2三角函数的诱导公式(五、六)

1、3、2三角函数的诱导公式（五、六）讲义编写者：前面我们学习了诱导公式一、二、三、四，本节课来学习诱导公式五、六.一、【学习目标】1、理解公式五、六；2、熟记公式一到六，并能熟练应用.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材26—27页内容，回答问题<1>终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系.结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x,y）,由于角π/2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π/2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是（y,x）.<2>理解并写出诱导公式五.结论：根据问题<1>，我们有：sinα=y，cosα=x，tanα=y/x；sin(π/2-α)=x,cos(π/2-α)=y，tan(π/2-α)=x/y.从而得到诱导公式五：cos(π/2-α)= sinα，sin(π/2-α)= cosα，tan(π/2-α)=cotα.<3>请你利用π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四及公式五写出诱导公式六.结论：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sinα，tan(π/2+α)=-cotα.公式一—六可以用一下十个字来概括奇变偶不变，符号看象限三、【综合练习与思考探索】练习一：教材例3、例4；练习二：教材4、5、6、7.四、【作业】1、必做题：习题1.3B组2；2、选做题：总结本节公式并形成文字到作业本上.五、【小结】本节主要学习了公式五、六，要求学生能掌握并理解.六、【教学反思】要求学生能在理解的基础上学习.。

第一章诱导公式五、六

答案：A
)
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1 π 2．若sin(π＋α)＝－3，则cos(2＋α)等于( 1 1 A.3 B．－3 2 2 2 2 C. 3 D．－ 3
)
答案：B
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3π π 3．化简：sin(π＋α)cos( 2 ＋α)＋sin( 2 ＋α)·cos(π＋α)＝ ________.
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1．诱导公式五 π π sin2－α＝cosα，cos2－α＝sinα. 2．诱导公式六 π π sin2＋α＝cosα，cos2＋α＝－sinα.
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5．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x π 解析：∵cosx＝sin(2kπ＋2－x)(k∈Z)，
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利用诱导公式五、六化简【例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝ 3 sin(π－α)cos(2π－α)sin(－α＋2π) 7 cos(－α－π)·cos(－α＋2π) (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cos(α－ 2 )＝5，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)．
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第2课时诱导公式五、六
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1.3.2三角函数的诱导公式(五、六)

1.3三角函数的诱导公式(五、六)一、学习目标：（1）借助单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式（五、六）（2）综合运用公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数并能解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

2、教学重难点：诱导公式（五、六）的推导及三角函数求值、化简和恒等式证明二、教学内容分析〖温故知新〗直接写出下列三角函数值（1）sin 43π=_______ （2）cos 74π=_______ （3）tan （-1140°）=_______ 操作并思考：在单位圆中任意画出一个任意角α与2π-α的终边。

终边与单位圆的交点分别为（x,y ）与（y,x ）由任意角的三角函数定义可知：cos x= siny=cos （2π-α）= sin （2π-α）= 由此可知sin α与sin （2π-α）以及sin α与cos （2π-α）的值有何关系？公式五：（1）___________________________（2）____________________________（3）___________________________2、讨论：利用公式二和公式五研究sin （2π+α）与cos （2π+α）的值与sin α以及 cos α的关系？公式六：（1）___________________________（2）____________________________（3）___________________________例1、求证：sin （32π-α）=-cos α cos （32π-α）=-sin α练习：sin （32π+α）=_____________ cos （32π+α）=_____________ 例2〖反思·小结〗（1）六个公式都可以化为2πk±α的形式，可以总结为一句话概括记忆：奇变偶不变，符号看象限。

（2）任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值。

1.3第2课时诱导公式五、六课件(共20张PPT)删减版文库素材

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第一章三角函数
跟踪训练
4．化简：sinπ2c－osαπc＋osαπ2 ＋α－sin2πs－inαπ－coαsπ2－α.
解：原式＝cos－αc－ossαin
α－sin－αsin sin α
α
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
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第一章三角函数
那天晚上，主人入睡后，狼和狐狸就去鸡舍，一起偷了几只鸡，几个家伙又吃又喝，第二天主人果然没有察觉。” “胡说!我才不和你这个小心眼的家伙搞合作!”磨盘怒气冲冲地下了逐客令：“别在这里碍手碍脚的，没有你，我事情会做得更多更好!” 磨心无法再呆下去了，只好离开。当它满怀希望一口咬下去的时候，那辣椒的辛刺味使它猝不及防，满嘴象触电一般麻木得失去知觉。凯特语言中心日语培训班 /pxbarticle/2020-07-17/305.html 他的理发匠非常清楚，他在为谁工作，并且知道，要把胡子刮干净。等到天亮，张良打开手中的书，他惊奇地发现自己得到的是《太公兵法》，这可是天下早已失传的极其珍贵的书呀，张良惊异不已。， “你们这些不知好歹的家伙，你们这群孤陋寡闻的东西，”苍蝇嗡嗡叫喊着：“你们都没看见我这身华丽的外衣?这么鲜艳美丽引人注目，你们懂得欣赏吗?” “干嘛光埋怨别人不反省自已呢，”蜜蜂在一旁看见了指责苍蝇：“如果你想靠这身赏心悦目的艳装来讨人欢心那就错了!假如你无法改变肮脏的恶习，还是时时给人带来疾病瘟疫，那么，就算你打扮得象个皇后，也同样不会得到人们的好感，你照样会得到被人们唾弃的下场
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第一章三角函数
2．诱导公式的作用 (1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一，化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数． (2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数． (3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．

诱导公式五、六课件

∴cos(π4－α)>0，
－sin2π4－α ＝
1－a2
，sin(
5π 4
＋α)＝
sin[π＋(π4＋α)]
＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4＋α)]
＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2.
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
诱导公式的使用已知 sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求 sin(54π＋α)．
[错解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4， ∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[32π－(4π－α)]＝cos(4π－α)＝ 1－a2.
D. 1－m2
[答案] A
已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用
口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·2π±α(k∈Z)的三
角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇
数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin[32π－(π4－α)]中，要把“4π－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组17个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
[正解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4，
角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇
偶性．如 sin(112π＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时，

《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)

＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
30
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
31
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32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝－sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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16
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角，所以cosπ3－α＝－ 23，所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.

《诱导公式五、六》三角函数

利用诱导公式五、六证明三角恒等式
总结词
在一些情况下，可以利用诱导公式五、六来证明一些三角恒等式。
详细描述
在一些情况下，要证明的三角恒等式形式可能较为复杂，此时可以利用诱导公式五、六来进行化简和变形，从而证明该恒等式。例如，可以利用诱导公式五、六来证明一些涉及到正弦、余弦、正切函数的恒等式，如两角和与差的三角函数公式等。
乘积化和差或和差化积的三角函数式。
利用诱导公式五、六求三角函数的值
总结词
在求解一些三角函数值的问题中，可以利用诱导公式五、六来得到所需的值。
详细描述
在一些情况下，直接使用三角函数的定义来求解其值可能较为繁琐。此时，可以利用诱导公式五、六来简化求解过程。例如，可以利用诱导公式五来求得一个在第二象限的角的正弦值或余弦值，也可以利用诱导公式六来求得一个在第四象限的角的正切值。
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差倍角公式来解决。
三角函数是一种在直角坐标系中表示角度的数学函数，它们具有周期性和对称性等性质，这些性质可以用来推导诱导公式五、六。
诱导公式五、六的内容
诱导公式五
$\sin(k\pi+\alpha)=\sin\alpha$，其中$k$是整数。
诱导公式六
$\cos(k\pi+\alpha)=(-1)^{k}\cos\alpha$，其中$k$是整数。
变种二

三角函数的诱导公式五、六

(2)ssiinn52απ－＋32απ··csions372ππ＋－αα. 【思路探索】对于(1)注意到 1°＋89°＝2°＋88°＝…＝90°，
利用诱导公式求解；对于(2)需利用诱导公式转化为 α 的三角函数
再求解．
【解】 (1)∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，… ∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋ sin246°) ＋ sin245°＝ (sin21°＋ cos21°) ＋ (sin22°＋ cos22°) ＋ … ＋ (sin244°＋cos244°)＋sin245°＝1＋1＋…＋ 1＋12＝829. (2)原式＝－sinsiπ2n＋32πα－coαs32－π－sinαα ＝ccoossαα··－－ssiinnαα＝1.
(2)已知 sin6π－α＝45，求 cos56π＋α·sin3π＋α的值．【思路探索】要注意求值式子中的角与已知角的关系：56π ＋α＝π－π6－α，π6－α＋3π＋α＝π2，再利用诱导公式求解．
【解】 ∵cos56π＋α＝cosπ－π6－α ＝－cos6π－α，又 sinπ3＋α＝sinπ2－6π－α＝cosπ6－α， ∴cos56π＋αsinπ3＋α＝－cos2π6－α ＝－1－sin2π6－α＝－1－1265 ＝－295.
D．－2 3 2
解析：sin51π2＋θ＝sinπ2－1π2＋θ＝
sinπ2－1π2－θ＝cos1π2－θ＝13.
答案：A
题型 2
利用诱导公式化简、求值源自例 2 化简下列各式． (1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°；
问题二：怎样求π2＋α 的正弦、余弦值呢？答：sinπ2＋α＝sinπ－2π－α ＝sinπ2－α＝cosα， cos2π＋α＝cosπ－π2－α ＝－cos2π－α＝－sinα，于是，sinπ2＋α＝cosα， cos2π＋α＝－sinα.

第3节第2课时诱导公式五、六

3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧
π6 ＋α＝π2 －π3 －α⇔π6 ＋α＋π3 －α＝π2 ，π4 ＋α＝π2
－π4 －α⇔π4 ＋α＋π4 －α＝π2 ，5π6 ＋α－π3 ＋α＝π2
解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，
∴α为第一或第四象限角．
①若 α 为第一象限角，
则 cosπ2 ＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－122＝－ 23；
②若 α 为第四象限角，则 cosπ2 ＋α＝－sin α
＝ 1－cos2α＝
1－122＝
3 2.
探究点三三角恒等式的证明
[典例精析]
3．求证：tan（2π
－α）sin（－2π －α sin3π2 ＋αcos3π2
）cos（6π ＋α
－α）＝
－tan α .
[解]
左边＝tsainn（2π－－α）π2si－n（α－coαs）2πc－os（π2－－αα）
答案：(1)B (2)12
[类题通法] 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[针对训练] 2．已知 cos(π ＋α)＝－12，求 cosπ2 ＋α的值．
第2课时诱导公式五、六
一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材 P26～P27 的内容，回答下列问题．如图所示，设 α 是任意角，其终边与单位圆交于点 P1(x，y)，与角 α 的终边关于直线 y＝x 对称的角的终边与单位圆交于点 P2.
(1)P2 点的坐标是什么？

高考数学复习知识点讲义课件43---诱导公式五、六

2．三角形中的诱导公式
在△ABC 中，有以下结论．
(1)sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
(2)cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
(3)tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
(4)sinA＋2 B＝sinπ2－C2 ＝cos C2，
(5)cosA＋2 B＝cosπ2－C2＝sin
()
A．89
89 B. 2
C．45
45 D. 2
(2) 已知
sin
π3－α
＝
1 2
，
α
是第三象限角，则
sin 76π＋α 的值为
________.
[解析] (1)因为 sin(90°－α)＝cos α， sin2α＋cos2α＝1，
所以 sin2α＋sin2(90°－α)＝1，因此有 sin21°＋sin289°＝1，sin22°＋sin288°＝1， sin23°＋sin287°＝1，…
解析：cosθ－π4＝sinπ2＋θ－π4＝sinθ＋π4＝35，注意到 θ 是第四象限角，即－34π＋2kπ＜θ－π4<－π4＋2kπ(k∈Z )，
所以 sinθ－π4＝－答案：－43
1－cos2θ－π4＝－45，所以 tanθ－π4＝csoinsθθ－－π4π4＝－43.
2．已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，则cocso1s21π2π＋－ααssiinnπ92－π＋αα＝________.
[方法技巧] 三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

第5章5.3诱导公式第2课时公式五_公式六(课件)

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精彩课堂Biblioteka 诱导公式中的角α有限制吗? 这里的α是任意角.
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奇变偶不变,符号看象限.
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4.知识应用
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利用平方关系确定三角函数值的符号时,一定要结合已知条件确定角是第几象限角.
课堂练习
A
B
课堂练习
D
课堂练习
课堂总结
布置作业教材练习第2,3题.
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2.公式六的推导问题2 在直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1. 作P1关于直线y=x的对称点P5,作P5关于y轴的对称点P6,又能得到什么结论? 作P5关于y轴的对称点P6,则这两点的坐标间有何关系? 横坐标互为相反数,纵坐标相同. 以OP6为终边的角γ与角α间有何关系?
第2课时公式五~公式六
导入新课
90°-α=β, sin α=cos β
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1.公式五的推导问题1 在直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1. 作P1关于直线y=x的对称点P5,以OP5为终边的角γ与角α有什么关系? 角γ与角α的三角函数值之间有什么关系? 以OP5为终边的角γ可以表示成什么形式? 点P1与点P5的坐标间有什么关系? 点P1的横坐标与P5的纵坐标相同,点P1的纵坐标与P5的横坐标相同.

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第2课时诱导公式五、六
【课标要求】 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六． 2．掌握五组诱导公式并灵活运用．【核心扫描】
1．诱导公式五、六的推导．(重点)
2．灵活运用诱导公式进行化简、求值与证明．(难点) 3．公式记忆．(易混点)
新知探究
题型探究
感悟提升
新知导学 1．诱导公式五、六
· tan2α
cos α· －sin α 2 ＝ sin α· tan α cos α ·
2 sin α 9 2 ＝－tan α＝－cos2α＝－16.
新知探究
题型探究
感悟提升
易错辨析对角的终边位置考虑不全面而出错
【示例】若|cos α|＝sin
[错解] 由|cos α|＝sin
3π －α，请指出角 2
【活学活用 2】求证： tan9π＋θ＋1 ＝ . tanπ＋θ－1
证明左边＝
3π π 2sinθ－ 2 cosθ＋2－1
1－2sin2π＋θ
3π －2sin 2 －θ· －sin
θ－1
1－2sin2θ θ－1
＝
π 2sinπ＋2－θsin
1 α，∴sin α＝－5，
又 α 是第三象限的角， ∴cos α＝－ 2 6 ∴f(α)＝ 5 .
31π 31π 5π (3)f－ 3 ＝－cos － 3 ＝－cos－6×2π＋ 3 ＝－cos 1 2 6 2 1－－5 ＝－ 5 ，
α 的终边的位置．
3π －α得， |cos 2
α|＝－cos α，所以 cos α≤0.
故角 α 的终边在第二或第三象限．
[错因分析] 由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin
3π －α得， |cos 2
α|＝－cos α，所以 cos α≤0.
[规律方法] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一
个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进
行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
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3 3.
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类型二利用诱导公式证明恒等式 tan 【例 2】求证：
3π 2π－αcos 2 －αcos 6π－α ＝－tan 3π 3π sin α＋ 2 cos α＋ 2
α.
[思路探索 ] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行化简推出右边．证明 tan －α· －sin α· cos －α 左边＝ π π sin 2π－2－α· cos2π－2－α
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3 3 sin－α－2πcos2π－α 2 ∴ · tan (π－α) π π cos2－αsin2＋α π π sin2－α· cos2＋α
＝
sin α· cos α
π ＋α＝－sin 2 1 1－22＝－
α＝－ 1－cos2α 3 2.
5π 2π π π ＋α· －α＝ cos π－－α· π－＋α＝－ sin sin 6 3 6 3
cos
5π 2π ＋α· －α的值． sin 6 3
[思路探索] 利用互余、互补的角的诱导公式解题．
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1 解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－2， 1 ∴cos α＝2，又 α 为第一象限角．则 cos ＝－ (2)cos cos
【活学活用 1】已知 sin
π ＋α＝ 6
π 3 －α的值． 3 ，求 cos 3
π π π π π π 解 ∵6＋α＋3－α＝2，∴3－α＝2－6＋α.
∴cos ＝sin
π π π －α＝cos －＋α 3 2 6 π ＋α＝ 6
答案 D
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3．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋„＋sin289°＝________.
解析原式＝ sin21° ＋ sin22° ＋ „ ＋ sin244° ＋ sin245° ＋ cos244°
＋„＋cos21° ＝(sin21° ＋cos21° )＋(sin22° ＋cos22° )＋„＋sin245°
5π cos 2 ＋x ∵ 5π sinx－ 2 tan6π－x
－tan α· －sin α· cos α ＝ π π sin －2－αcos －2－α
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＝－sin
sin2α
π π －αcos －α 2 2
sin2α ＝－cos α· sin α sin α ＝－cos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．
.
3π 1 α－＝，求 2 5
f(α)的值；
[思路探索] 本题充分利用诱导公式进行化简求值．
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解
－sin α· cos α· －cos α (1)f(α)＝＝－cos α. －cos αsin α
3π α－＝－sin 2
(2)∵cos
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类型三
诱导公式的综合应用
3π 2π－αsin－α＋ 2
sin α－3πcos 【例 3】已知 f(α)＝ cos －π－αsin －π－α (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限的角，且 cos 31π (3)若 α＝－ 3 ，求 f(α)的值．
5π 3＝
π 1 －cos 3＝－2.
新知探究题型探究感悟提升
[规律方法] 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三
角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
【活学活用 3】已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三
故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
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[防范措施] 角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为
象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
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课堂达标 1．下列各式中，不正确的是( A．sin(180° －α)＝sin α C．cos(90° ＋α)＝sin α )．
α，∴
π 1 tan 2＋α ＝－tan α. 新知探究来自题型探究感悟提升
类型一利用诱导公式求值
π 1 【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－2， α 为第一象限角，求 cos2＋α
的值． (2)已知 cos
π 1 －α＝，求 6 3
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互动探究探究点 1 你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
提示诱导公式六的推导：
π π ∵2＋α＝2－(－α)，由诱导公式五得： sin cos
π π ＋α＝sin －－α＝cos 2 2 π π ＋α＝cos －－α＝sin 2 2 π ＋α＝cos 2
解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2. sin α tan α 2 原式＝＝＝＝2. sin α－cos α tan α－1 2－1
＝______.
答案 2
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5π cos 2 ＋x 5．求证： 5π ＝－1. sinx－ 2 tan6π－x
1－2sin2θ
π －2sin2－θsin
＝
θ－1 －2cos θsin θ－1 ＝ 2 1－2sin2θ cos θ＋sin2θ－2sin2θ
新知探究题型探究感悟提升
sin θ＋cos θ2 sin θ＋cos θ ＝＝ . sin2θ－cos2θ sin θ－cos θ tan9π＋θ＋1 tan θ＋1 sin θ＋cos θ 右边＝＝＝ . tanπ＋θ－1 tan θ－1 sin θ－cos θ ∴左边＝右边，故原式成立．
B．cos(180° ＋α)＝－cos α D．tan(－α)＝－tan α
解析
根据诱导公式，知sin(180°－α)＝sin α，cos(180°＋α)＝
－cos α，cos(90°＋α)＝－sin α，tan(－α)＝－tan α，所以C项错误．故选C. 答案 C
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2．已知
π 这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如3－α 与 π π π π π π 2π π 6＋α，3＋α 与6－α，4－α 与4＋α 等互余，3＋θ 与 3 －θ，4＋ 3π θ 与 4 －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
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3 3 sin－α－2πcos2π－α 2 象限角，求 · tan (π－α)的值． π π cos2－αsin2＋α
解
3 方程 5x －7x－6＝0 的两根为 x1＝－5，x2＝2，
2
3 4 由 α 是第三象限角，得 sin α＝－5，则 cos α＝－5，
π π －α· ＋α sin 6 3